二面角[上学期]
图片预览
文档简介
课件21张PPT。空间两个平面二 面 角?二 面 角复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。 异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。二面角的定义这条直线叫做二面角的棱。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。 ??lABPQ 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的表示这两个半平面叫做二面角的面。二面角的画法l??二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D5∠AOB角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a??从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面
（棱）二面角?—l—?或二面角?—AB—?图形二面角的大小用它的平面角来度量二面角的度量∠A O B∠A1O1B1 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。l??ABA1B1注意：二面角的平面角必须满足： 平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小的范围:练习：
指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?BD ⊥lOO二面角A--BC--DOE二面角的平面角的作法：1、定义法
根据定义作出来2、垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到3、三垂线定理法
借助三垂线定理或
其逆定理作出来二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 图中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”AOD例1、已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4；求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD则由三垂线定理得 AD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt△ADO中，AO
AD例 2 如图，已知A、B是120?的二面角?—l—?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。l ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO O在Rt △COD中，DO=AB=3E解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
二面角?—l—?的平面角，即 ∠OAC ＝120?，∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴如图，过B作BE⊥AC于E，过E
作EF⊥PA于F，连接BF∵PC⊥平面ABC，例3．如图，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC解：由三垂线定理，有BF⊥PA, ∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角设PC=1,由E是AC的中点，APCBFE小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算D二面角河堤斜面课后练习：作业课本P39 3、5、6AB
（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a??从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面
（棱）二面角?—l—?或二面角?—AB—?图形二面角的大小用它的平面角来度量二面角的度量∠A O B∠A1O1B1 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。l??ABA1B1注意：二面角的平面角必须满足： 平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小的范围:练习：
指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?BD ⊥lOO二面角A--BC--DOE二面角的平面角的作法：1、定义法
根据定义作出来2、垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到3、三垂线定理法
借助三垂线定理或
其逆定理作出来二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 图中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”AOD例1、已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4；求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD则由三垂线定理得 AD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt△ADO中，AO
AD例 2 如图，已知A、B是120?的二面角?—l—?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。l ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO O在Rt △COD中，DO=AB=3E解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
二面角?—l—?的平面角，即 ∠OAC ＝120?，∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴如图，过B作BE⊥AC于E，过E
作EF⊥PA于F，连接BF∵PC⊥平面ABC，例3．如图，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC解：由三垂线定理，有BF⊥PA, ∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角设PC=1,由E是AC的中点，APCBFE小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算D二面角河堤斜面课后练习：作业课本P39 3、5、6AB