泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
2．复数
A． B． C．1 D．
3．要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为
A．92 B．93 C．95 D．96
4．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
5．若为实数，则“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．设x，y满足约束条件，则的最大值为
A．3 B．5 C．7 D．9
7．若函数在处取得极值，则
A．2 B．3 C．4 D．5
8．甲 乙 丙 丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为
A． B． C．2 D．1
10．下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
12．若关于x的不等式，对恒成立，则实数a的取值范围是
A．（－∞，－3] B．（－∞，3] C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________
14．某产品发传单的费用x与销售额y的统计数据如表所示：
发传单的费用x万元 1 2 4 5
销售额y万元 10 26 35 49
根据表可得回归方程，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．
15．若“，使得”为假命题，则实数的取值范围为______
16．双曲线:的左右焦点分别为，过斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率是_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17.（12分）若函数在处取得极值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．
18．（12分）为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中，两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.
（Ⅰ）若组同学的平均成绩大于组同学的平均成绩，分别求，两组同学成绩的中位数；
（Ⅱ）若，两组同学的平均成绩相同，分别求出，两组同学成绩的方差和，并由此分析两组同学的成绩；
（III）若从组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在分，又有成绩在分的概率.
19．（12分）如图，点O是正方形ABCD的中心， ，， ，DE=1， ．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点B到平面AFC的距离．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上，且与轴垂直．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在处取极小值，求实数m的值；
（Ⅱ）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程．
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知定义在上的函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若实数，求的最小值及取得最小值时对应的的值．泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（文史类）参考答案
1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．D 10．A 11．B 12．A
13． 14．8． 15． 16．
17．解：（1），由，得．
（2），．
由，得或．
当时；②当时或．
当变化时，的变化情况如下表：
1 2
- 0 + 0 -
因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．
函数的极小值为，极大值为．
18．解：（1）组的平均分，
设模糊数字对应的分数为，因为组的平均成绩大于组的平均成绩，
即，，
所以组的中位数为，组的中位数为.
（2）由组的平均分与组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，
∴.
，.
由于，，所以组和组的成绩整体水平相当，但组的成绩更稳定一些.
（3）组成绩在分同学分别记为，，成绩在分同学分别记为，，，.
随机选取3名同学参加学校红歌合唱包含基本事件：
，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，，
有20种，其中既有成绩在分，又有成绩在分的共16种.故概率.
19．(1)证明： 因为四边形ABCD是正方形，故 ,而，
且平面EOD,
所以平面EOD, 平面EOD,故，
又，而平面ABCD ,
故DE⊥平面ABCD .
(2)由，作 ,垂足为M,则,连接AM,
由（1）知DE⊥平面ABCD，故FM⊥平面ABCD,由CD＝2EF＝2，可得 ,
则 ，则 ,
而 , 则 ,故 为直角，
故 ,设点B到平面AFC的距离为h,则 ,
即 ，解得 ，即点B到平面AFC的距离为.
20．解：（1）由已知：，，即，故，∴，，故椭圆方程为；
（2）当斜率不存在时：.当斜率存在时：设其方程为：，设由得，故，故，由已知：，
即：，故，
到直线的距离：，，
，，
此时，综上：当斜率不存在或斜率存在时，面积最大值为．
21．解：（1），
由题意得，即，当时，，
此时在上递减，在上递增，所以符合要求；
当时，，
此时在上递增，在上递减，所以不符合要求.综上，
（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点
由得不等式恒成立，
令，求导得，
当，，所以在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，令，则在上递增，
又，且在上连续，
所以存在唯一，使得，
当时，，故递减；
当时，，故递增.
且，，
所以，
所以，即，
令，则，所以在上递减，在上递增，
又，所以
方法2：指数化 换元处理
由得，指数化得不等式恒成立，
令，则，不等式恒成立，
令，则，
当时，，所以不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以
所以，即，
令，则，所以在上递减，在上递增，
又，所以.
22．解：（1）将，，代入曲线的极坐标方程，
得曲线的直角坐标方程为，即．
（2）将（为参数），代入，可得．
设点，对应的参数分别为，，则，．
因为，
所以（其中），，，
所以，，
故曲线的普通方程为，即．
23．解：（1），，从而，．
（2）由（1）知：，又，
当且仅当，即，取得等号。
