四川省泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数
A． B． C．1 D．
2．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
3．若为实数，则“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“”），即可获奖.已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为
A．9 B．10 C．12 D．16
5．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于
A． B． C．1 D．
6．若函数在处取得极值，则
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
A． B． C． D．
8．甲 乙 丙 丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．甲乙两人从1,2,3, 15这15个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是
A． B． C． D．
10．已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为
A． B．4 C． D．8
12．设函数，，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________
14．若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为_______．(用数字作答)
15．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近、可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）．
16．如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17.（12分）若函数在处取得极值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．
18．（12分）甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为
（Ⅰ）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；
（Ⅱ）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.
19．（12分）如图，四边形ABCD为圆柱的轴截面，EF是该圆柱的一条母线，，G是AD的中点．
（Ⅰ）证明：平面EBG；
（Ⅱ）若，求二面角的正弦值．
20．（12分）如图所示，、分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在处取极小值，求实数m的值；
（Ⅱ）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程．
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知定义在上的函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若实数，求的最小值及取得最小值时对应的的值．四川省泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）参考答案
1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．C 12．C
13． 14．9 15． 16．
17．解：（1），由，得．
（2），．
由，得或．
当时；②当时或．
当变化时，的变化情况如下表：
1 2
- 0 + 0 -
因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．
函数的极小值为，极大值为．
18．解：(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则.
(2) ，，
，
19．（1）由已知平面，平面，所以，
因为是圆的直径，所以，
因为，所以平面，平面，故，
因为，所以，易知：△△，
所以，从而，又，所以平面.
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，从而，
设位平面的法向量，则，所以，
由（1）知：平面的法向量为
因为，所以二面角的正弦值为.
20．解：（1）由题意，设，则由余弦定理可得：①，
又②，由①②得：，，于是，
∴椭圆的标准方程是：；
（2）当直线的斜率不存在时，，，则四边形的面积是，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，、，
将与联立并消去，整理得，恒成立，
∴，，则，
由于直线与直线垂直，且经过点，
∴直线的方程为，且点到直线的距离为，
∴，则四边形的面积：，
由于，故，
于是（当时取得最大值），综上，四边形面积的最大值为．
21．解：（1），由题意得，即，
当时，，
此时在上递减，在上递增，所以符合要求；当时，，
此时在上递增，在上递减，所以不符合要求.综上，
（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点
由得不等式恒成立，
令，求导得，
当，，所以在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，令，则在上递增，
又，且在上连续，
所以存在唯一，使得，
当时，，故递减；
当时，，故递增.
且，，
所以，
所以，即，
令，则，所以在上递减，在上递增，
又，所以
方法2：指数化 换元处理
由得，指数化得不等式恒成立，
令，则，不等式恒成立，
令，则，
当时，，所以不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以
所以，即，
令，则，所以在上递减，在上递增，
又，所以.
22．解：（1）将，，代入曲线的极坐标方程，
得曲线的直角坐标方程为，即．
（2）将（为参数），代入，可得．
设点，对应的参数分别为，，则，．
因为，
所以（其中），，，
所以，，
故曲线的普通方程为，即．
23．解：（1），，从而，．
（2）由（1）知：，又，
当且仅当，即，取得等号。
