甘肃省金昌市永昌县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

永昌县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数（为自然对数的底数），则等于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
2.下列四个命题中为真命题的是（ ）
A.已知，，，，是空间任意五点，则
B.若两个非零向量与满足，则四边形是菱形
C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D.对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
3.若直线是函数的切线，则实数的值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A.是函数的一个零点 B.是函数的极大值点
C.的单调递增区间是 D.无最小值
5.若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
10.下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，平面，垂足为，为上的点，，以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，设，则（ ）
A.
B.平面的一个法向量为
C.当时，点到平面的距离为
D.当时，点到直线的距离的平方为
12.已知函数，，则（ ）
A.有两个极值点 B.的图象与轴有三个交点
C.点是曲线的对称中心 D.若存在单调递减区间，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.，，，四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的情况种数是__________。
14.若的展开式中的系数为，则__________。
15.如图，已知平面，，，，，。若，，则与平面所成角的余弦值为__________。
16.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，若，则不等式的解集为__________。
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知向量，，。
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值。
18.（12分）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为。
（1）求的值；
（2）求的展开式的中间两项。
19.（12分）当时，函数取得极小值2。
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值。
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点。
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长度。
21.（12分）某地规划了一个工业园区，需要架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压电线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设电线。已知一座高压电线塔为2万元，距离为千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等为万元，所有电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万元。
（1）试写出关于的函数关系式；
（2）需要建多少座高压电线塔才能使有最小值？最小值是多少？
（参考数据：，）
22.（12分）已知函数，，讨论函数的极值。
永昌县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学答案
1.B [因为，所以。]
2.C [对于A，已知，，，，是空间任意五点，则，A为假命题；对于B，若两个非零向量与满足，则，，所以四边形是平行四边形，B为假命题；对于C，分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但是两个空间向量可以平移到同一平面内，则这两个向量可以是共面向量，C为真命题；对于D，对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，当且仅当时，，，，四点共面，D为假命题。]
3.C [由题意可知，,
因为直线是函数的切线，设切点坐标为，
所以
解得]
4.C [当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，无极大值点，所以B错误；单调递减区间为，单调递增区间为，所以C正确；当时，函数取到最小值，所以D错误；不能确定的值是否为0，所以A错误。]
5.D [，令，得，A错误；
令，可得，①
令，可得，②
得，B错误；
得，C错误；
令，可得，
即，
又，
所以，D正确。]
6.C [由，得，在上不单调，在上有极值点，当时，在上恒成立，在上单调递减，不满足题意；当时，令，得，则，解得。]
7.B [设，，，因为这三个向量不共面，故构成空间的一组基，且，，，则，，
，
，
，
所以，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为。]
8.D [因为，，，
故可构造函数，，
则，
所以在上单调递增，所以，即。]
9.BC [二项式的展开式共有10项，与首末两端“等距离”的二项式系数相等，中间两项的二项式系数最大，分别是第5项和第6项，故BC符合题意。]
10.BD [对于A，常数的导数等于0，A错误；
对于B，令，，则，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，利用公式可知D正确。]
11.ABD [由题意可知，，
因为，则，，，，，
因为，
所以，故A正确；
，，设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为，故B正确；
当时，，，所以点到平面的距离，故C错误；
当时，，，
点到直线的距离的平方，故D正确。]
12.AC [由题意得，令，则或，
令，则，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以有两个极值点，为，故A正确；
因为，，，
所以函数的图象在上与轴有一个交点，
当时，，即函数的图象在上与轴无交点，
综上所述，函数的图象与轴有一个交点，故B错误；
令函数，该函数的定义域为，
，
则函数是奇函数，点是曲线的对称中心，将函数的图象向上平移一个单位长度得到函数的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
若函数存在单调递减区间，
则有解，即有解，所以，故D错误。]
13.30
解析 根据题意，若，，，四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况；
若，，，四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人
参加，和参加同一科，则有种情况，
所以满足题意的情况共有（种）。
14.2
解析 因为的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为，所以。
15.
解析 依题意，以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，。
则，，，
设是平面的法向量，
则
令，则，，
所以是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，
，
则，
，
所以与平面所成角的余弦值为。
16.
解析 令，即，
，
，在上单调递增；又为偶函数，
，，
，则不等式等价于，即，即，
又在上单调递增，可得。
不等式的解集为。
17.解 （1）因为，
所以，解得，
所以，
且。
因为向量与垂直，
所以，即，
解得。
所以实数和的值分别为0和。
（2）因为向量与向量，共面，所以设，
所以，
即解得
所以实数的值为。
18.解 （1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，。
（2）由（1）可知，，
的展开式的通项为。
二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
，
。
的展开式的中间两项分别为，。
19.解 （1）因为函数，定义域为，
所以，
依题意可知，，，
解得，，
所以，令，得；
令，得。
因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，满足题意。
所以，。
（2）由（1）可知，
令，得；
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故。
20.（1）证明 平面，平面，，
底面是直角梯形，，，
，
，，
又，平面，
平面。
（2）解 如图，取的中点，连接，则，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，
则，，。
设，则，
，，，，
取，则，
为平面的一个法向量。
设为平面的法向量，
则即取，
则，，
则为平面的一个法向量，
，
解得。。
。
21.解 （1）由题意知，需要新建高压电线塔座，
所以
。
（2）由（1）得
，
令，得或（舍）。
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，有最小值，
最小值为。
此时需要新建高压电线塔的个数为。
故需要建19座高压电线塔才能使有最小值，最小值是44.72。
22.解 由题意得，函数的定义域为，
，
令，得，。
①当，即时，恒成立，
此时，函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内没有极值。
②当，即时，
当和时，，此时函数在区间和上单调递增；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值。
③当，即时，
当和时，，此时函数在区间和上单调递增；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值。
综上所述，当时，没有极值；
当时，有极大值，极小值；
当时，有极小值，极大值。