黑龙江省齐齐哈尔市齐市第八中高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

齐市第八中高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．16 B．2 C．4 D．1
2．有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
4．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站建设完毕，中国空间站将于2023年正式进入运营阶段．现空间站要安排甲、乙等6名航天员到3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（ ）
A．450种 B．720种 C．90种 D．360种
5．关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数和为128 B．各项系数和为
C．第三项和第四项的二项式系数相等 D．项的系数为
6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464 B．465 C．466 D．495
7．已知，且，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．，
C． D．
8．已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若，不相邻，有72种排法 B．若，不相邻，有48种排法
C．若，相邻，有48种排法 D．若，相邻，有24种排法
10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，则（ ）
A． B．的前10项和为150
C．的前11项和为 D．的前16项和为168
12．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄色球的个数恰好相等的概率为__________．（结果用最简分数表示）
14．橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》．意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变．某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为__________．
15．口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，．设为数列的前项和，则的概率为__________．
16．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则 __________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设函数在处取得极值．
（1）求、的值；
（2）求的单调区间．
18．（12分）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
19．（12分）已知向量，，设函数．
（1）求函数的最大值；
（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积．
20．（12分）某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
（2）按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．
21．（12分）已知数列的前项和为，从条件①：，且、条件②：为等比数列，且满足这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，，且．
高二数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B A A B A D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
AC AD ACD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．300 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：
（1），由题意得：，，
解得：，，
此时，
当时，，当或时，，故为极值点，满足题意，
所以，．
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
18．（12分）
解：（1）设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，，2．
，，
．
即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为．
（2）设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，，2．
，，，
由全概率公式，可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为．
19．（12分）
解：（1）因为，，
所以函数
当时，．
（2）为锐角三角形，．
，又，，，，
，，，即，
，．
．
20．（12分）
解：（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为，
由已知取1个产品为4等品的概率为，
依题意，，则，
即恰好有1个4等品的概率为；
（2）由已知10个产品中，1等品的有个，非1等品的有个，
依题意，，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
．
21．（12分）
解：（1）若选择①：且，则，
两式相减，，
为公比的等比数列，，，解得，；
若选择条件②：为等比数列，且满足，
，，
，．
（2），，
，，．
由恒成立得，，解得或．
故的取值范围为．
22．（12分）
解：（1），
在递减，在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
时，，递增，
时，，递减，
，．
（2）由题意得，，
，，，
令，解得：，
令，解得：，故在递增，在递减，
又，，，
故分别在和有零点，，（不妨设），
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减，
故在和有2个极值点，，
而，，，，，
，，，，
故原命题成立．