吉林省长春市朝阳区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

长春市朝阳区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在等差数列中，，，则
A． B．8 C．10 D．
2．设函数，则
A．37 B．21 C．35 D．-1
3．设随机变量X的分布列为，，则 的值为
A． B． C． D．
4．在的二项展开式中，项的系数为
A．6 B．4 C．2 D．1
5．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
6．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的
A． B．
C． D．
7．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为
A．48 B．96 C．144 D．288
8．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．函数的一个单调递增区间是
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
10．已知，则下列选项正确的有
A． B．
C． D．
11．已知事件，满足，，，则
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数有极小值
B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．将4个不同的小球分成3组，每组至少一个，共有______种分法.
14．已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：3，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____．
15. 在的展开式中，的系数为__________.
16．已知函数的导数为，若，，则不等式的解集为__________.
四、解答题（本题共5小题，满分70分，17题满分10分，18-22各小题满分均为12分，要求写出必要的解题过程）.
17．已知等比数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18． 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值.
19．已知函数，其中
(1) 当时，求函数的单调区间；
(2) 若恒成立，求的最小值.
20．“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人；乙组一共有人，其中男生人，女生人. 现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列.
21．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值.
22．已知函数．
(1) 求的极值；
(2) 求证：．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
长春市朝阳区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A B B A C C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9 10 11 12
ABD BD ACD AD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 6 14. 0.0125
15. 240 16. (0,+)
四、解答题（本题共5小题，共70分）
17.(1) ..... (2) ......
18.（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面. .......
（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量.
，.
取，有
∴，，
则，.
∴平面.
（法三）证明：连接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.
平面的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
过D做于，连接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴为二面角的平面角.
在中，，
∴.
∴平面与平面的夹角的余弦值为. .......
19.（1）由已知条件得，其中的定义域为，
则，当时，，当时，，
可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； .......
（2）①由恒成立，即恒成立，
令，则，当时，，
当时，，所以在上单调递增，上单调递减，
，所以a的最小值为 .......
20.（Ⅰ） .......
（Ⅱ）可能取值为, .......
, .......
, .......
, .......
, .......
的分布列为
0 1 2 3
.......
21.（1）设椭圆的半焦距为.
由题意得
解得.
所以椭圆的方程为. .......
（2）由得.
由，解得.
设，，则，
所以，
，
因为，所以，
则，则，
则，
解得：或.
当时，直线过点，则不满足.
所以. .......
22.(1)由题，为增函数，且，故在上，单调递减；在上，单调递增；故有极小值，且无极大值 .......
(2)要证，即证，因为，设，则，当时，，当时，由（1）可得，即，故，综上有当时，即在上为增函数.故在上为增函数.又，故在上，单调递减；在上，单调递增.故，即，故，即得证 .......