圆的方程（1）[上学期]
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备课时间：
上课时间：
课题：圆的方程（1）
教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从
圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题.
教学重点：根据条件求出圆的标准方程.
教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题.
教学方式：讲练结合
教学过程：
（1） 河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠
久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约
为7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？
要求圆的方程，需建立适当的直角坐标系，
并求出圆上任意一点P（x,y）所满足的关系式。
第一步以圆拱所对的弦所在的直线为x轴，弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（如右上图）。根据平面几何知识知道，圆拱所在圆的圆心O1必在y轴上，故可设O1（0,b）。
第二步设圆拱所在圆的半径为r，那么圆上任意一点P（x,y）应满足O1P=r，得
，即 （※）
因此，只需确定b和r的值，就能写出圆的方程。
第三步将点B（18.7，0），C（0，7.2）分别代入（※），得
解得。
故赵州桥圆拱所在的圆的方程为。
（二）新课讲解：
一般地，设是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则CP=。由两点间的距离公式得，
两边平方得：． （1）
反过来，若点P1的坐标是方程（1）的解，则，
即有。
这说明点P1在以为圆心，为半径的圆上。
方程（r＞0）做以圆心，为半径的圆的
方程。我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1、求圆心是（2，－3），且经过原点的圆的方程。
解：因为圆C经过原点，所以圆C的半径是。
因此，所求圆的方程是：。
练习：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图），那么半圆的方程为
。
将代入，得＜3。
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度。
因此，货车不能驶入这个隧道。
假设货车的最大宽度为a m，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
由0＜a＜4时，限高为。
练习：2、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高
，在建造时每隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到
）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，
由题意：，，
设圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
3、一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
板书设计：
教后感：
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上课时间：
课题：圆的方程（1）
教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从
圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题.
教学重点：根据条件求出圆的标准方程.
教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题.
教学方式：讲练结合
教学过程：
（1） 河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠
久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约
为7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？
要求圆的方程，需建立适当的直角坐标系，
并求出圆上任意一点P（x,y）所满足的关系式。
第一步以圆拱所对的弦所在的直线为x轴，弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（如右上图）。根据平面几何知识知道，圆拱所在圆的圆心O1必在y轴上，故可设O1（0,b）。
第二步设圆拱所在圆的半径为r，那么圆上任意一点P（x,y）应满足O1P=r，得
，即 （※）
因此，只需确定b和r的值，就能写出圆的方程。
第三步将点B（18.7，0），C（0，7.2）分别代入（※），得
解得。
故赵州桥圆拱所在的圆的方程为。
（二）新课讲解：
一般地，设是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则CP=。由两点间的距离公式得，
两边平方得：． （1）
反过来，若点P1的坐标是方程（1）的解，则，
即有。
这说明点P1在以为圆心，为半径的圆上。
方程（r＞0）做以圆心，为半径的圆的
方程。我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1、求圆心是（2，－3），且经过原点的圆的方程。
解：因为圆C经过原点，所以圆C的半径是。
因此，所求圆的方程是：。
练习：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图），那么半圆的方程为
。
将代入，得＜3。
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度。
因此，货车不能驶入这个隧道。
假设货车的最大宽度为a m，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
由0＜a＜4时，限高为。
练习：2、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高
，在建造时每隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到
）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，
由题意：，，
设圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
3、一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
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