圆的方程（2）.[上学期]

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课题：圆的方程（2）
教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；
3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．
教学重、难点： 2，3．
教学方式：讲练结合
教学过程：
将圆的标准方程：
展开，得。
由此可见，圆的方程具有如下形式：， （2）
其中D，E，F为常数。
将（2）配方得：． （3）
与圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当时，方程（2）表示以为圆心，
为半径的圆；
（2）当时，方程（2）表示一个点；
（3）当时，方程（2）无实数解，不表示任何图形。
结论：当时，方程（2）表示一个圆，此时，我们把方程（2）叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于；
（2）没有这样的二次项．
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．
（三）例题分析：
例1、已知顶点的坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为。
因为点A，B，C在所求的圆上，故有
故所求圆的方程是。
本题能否利用圆的标准方程求解？还有其他解法？
练习：1、求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为，
∵、、在圆上，
∴解得，
∴所求的圆方程为，
圆心坐标为，半径为．
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；
⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．
例2．某圆拱梁的示意图如右下图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到
）．
解：以线段AB所在的直线为x轴，线段AB
的中点O为坐标原点建立坐标系如图，
。
设圆拱所在圆的方程为，
因为点A，B，P在所求的圆上，故有
故圆拱所在的圆的方程是。
将点的横坐标代入上式，解得。
答：支柱的长度约为．
练习：2、一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若
，求实数的值．
解：设、，
由，消去得：， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，
由韦答定理：，
∵，∴，∴，即，
即， ②
∵，∴，
，代入②得：，即，
∴，适合，所以，实数的值为．
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教后感：
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