人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造中位线（适用于八年级）
一、阶段一
1．（2023·儋州模拟）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
2．（2022·安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·宁海期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝ BC，过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝BC，连接DF，若AB＝4，则DF的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
4．（2022·岱岳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则 BEF的面积是 ．
5．（2022八下·青山期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC，若EF=4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．（2022八下·温州期中）如图，□ABCD的顶点C在等边 的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=5，AB=CF=3，则CG的长为 ．
7．（2022八下·盂县期中）如图 ，已知矩形 ABCD ，AD = 12， CD = 9 ，点 R 、P 分别是 DC ，BC 上的定点，点 E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，若CR = 4 ，则 EF =（ ）
A．12 B．6.5 C．9 D．不能确定
8．（2022八下·恩平期中）如图，将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则底部BD＝ cm，支撑架CD的长度为 cm．
9．（2022八上·南宁期末）已知是边长为10的等边三角形，为的中点，，交线段于，交的延长线于.若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021九上·平昌期中）如图， ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想.
二、阶段二
11．（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
12．（2022八上·招远期末）如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
13．（2022九上·郑州开学考）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
14．（2022八下·滕州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是 ．
15．（2022八下·南山期末）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，//，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2022·和平模拟）如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 ．
17．（2022八下·赞皇期中）如图，，、相交于P，E、F分别为、的中点，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
20．（2021·沂水模拟）如图，在中，分别是边上的中线，于点O，点F是的中点，若，则的长是（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
三、阶段三
21．（2023九下·靖江月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .
22．（2022·乌兰浩特模拟）如图，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
23．（2022八下·温州期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF=8，EF=5，则 ABCD的周长为 ．
24．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
25．（2021九上·佛山月考）如图，在四边形 中， ， °， ， ，点 分别为 上的动点（含端点）， 分别为 的中点，则 长度的最小值为 ．
26．（2021八下·蔡甸期末）在 中， ， ， 为 形内一点，以 为腰作等腰 ，使 ，连接 、 ，若 、 分别是 、 的中点， ，则 的长为 .
27．（2022八下·本溪期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022八下·大兴期末）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，且，，连接EF，G为EF的中点，连接OE，交AD于点H，连接GH．
（1）求证：H是OE的中点；
（2）求GH的长．
29．（2022八下·淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是 .
30．（2021八下·宣汉期末）如图1，点是线段上一点，分别以、为直角边，在同侧作等腰直角三角形和，点、分别是斜边、的中点，点是线段的中点，连接、.
（1）观察猜想，图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：将图1中的绕着点顺时针旋转，如图2，点、、依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）若将图1中和都换成等边三角形，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，点、、P依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG=S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE=S△EBC=×20=10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG=S△BDE=×10=5.
故答案为：B.
【分析】连接DE，根据三角形中位线定理得DG∥AC，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△ADG=S△EDG，进而根据等底同高三角形面积相等得S△BCE=S△ABC，S△BDE=S△EBC，S△EDG=S△BDE，再代入计算即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF至F，使CF=CA，
∵∠BCA=120°，
∴∠ACF=60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴AF=AC=2，
∵D是AB的中点，E是BC的一点， 平分的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED=FA=.
故答案为：C.
【分析】延长CF至F，使CF=CA，证明△CFA是等边三角形，得出AF=AC，结合平分的周长，推出ED是△ABF的中位线，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点H，
∵EF∥BC，E为AC的中点，
∴HE为△ABC的中位线，
∴BH=AB=2，HE=BC，
∵CD=BC，EF=BC，
∴HF=BD，
∴四边形BDFH为平行四边形，
∴DF=BH=2.
故答案为：B.
【分析】如图，延长FE交AB于点H，易推出HE为△ABC的中位线，可得BH=AB=2，HE=BC，再由CD=BC，EF=BC，即得HF=BD，从而推出四边形BDFH为平行四边形，即得DF=BH=2.
4．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BF于H ．
∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF= AD=2 ， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2 ，
∴EF=BE=2 ，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH= EF= ， FH= EH= ，
∴BF=2FH=2 ，
S△EFB=
故答案为 ．
【分析】过点E作EH⊥BF于H，利用三角形中位线定理以及直角三角形斜边上中线的性质证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题。
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接，
点D，E分别是边AB，AC的中点，
延长BC到点F， CF=BC，
，
四边形是平行四边形
∠ACB=90°，∠A=30°，
故答案为：C
【分析】连接DC，延长BC使CF=BC，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，可证得CF=DE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形CDEF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到CD，AB的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BC的长，由此可求出DE的长.
6．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长DC交EF于点H，
∵ ABCD，AD=5，AB=CF=3，
∴AD∥BC，BC=5，CD=CF=3，
∴BF=BC+CF=5+3=8，∠FCH=∠EBF，
∵等边△BEF，
∴∠F=BEF=∠EBF=∠FCH=60°，EF=BF=8，
∴△FCH是等边三角形，
∴CH=CF=FH=3，
∴HE=EF-HF=8-3=5，
又∵G为DE的中点，
∴CG为△DHE的中位线，
∴CG=HE=×5=.
故答案为：.
【分析】延长DC交EF于点H，根据平行四边形性质可得AD∥BC，BC=5，CD=CF=3，从而得BF=8，∠FCH=∠EBF，再由等边三角形性质得∠F=BEF=∠EBF=∠FCH=60°，EF=BF=8，进而证出△FCH是等边三角形，利用等边三角形性质可求出HE的长，最后根据中位线性质定理得CG=HE，代入数据计算即可求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，
在Rt△ADR中， AD = 12，DR=CD-CR=9-4=5，
由勾股定理可得：
AR= ，
因为点 E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，
所以EF是△APR的中位线，
所以EF=AR=6.5.
故答案为：B.
【分析】连接AR，先利用勾股定理求出AR的长，再利用三角形中位线的性质可得EF=AR=6.5。
8．【答案】18；
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵EF⊥AB，CF=17，BC=CE=8，
∴EF= ＝15，
如图，取BC中点G，
∵点F恰为CD的中点，
∴FGBD，BD=2FG，
∵AB⊥BD，
∴FG⊥AB，
∵CG=BC=4cm，
∴EG=8+4=12（cm），
∵EF=15cm，
∴FG=＝9，
∴BD=2FG=18（cm），
∴CD=＝2（cm） ，
故答案为：18 ；2．
【分析】取BC中点G，根据三角形中位线的性质可得FG∥BD，BD=2FG，利用勾股定理求出FG的长，即可得到BD=2FG=18，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作DM∥BC交AB于M，
∵，
∴，
∵为的中点，是等边三角形，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】作DM∥BC交AB于M，根据三角形的中位线定理及等边三角形的性质得MD=DC=BM=5，结合已知由ME=BM-BE算出ME的长，进而利用AAS判断△DEM≌△DFC，根据全等三角形对应边相等即可得出答案.
10．【答案】解：DF∥EG，DF=EG，证明如下：
连接AO，
∵BE是AC的中线，
∴E是AC的中点，
又∵G是OC的中点，
∴GE是△ACO的中位线，
∴ ，GE∥AO，
同理可证明DF是△ABO的中位线，
∴ ，DF∥AO，
∴DF∥EG，DF=EG.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接AO，根据中线的概念可得E是AC的中点，推出GE是△ACO的中位线，得到GE=AO，GE∥AO，同理可得DF=AO，DF∥AO，据此解答.
11．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
12．【答案】2.5
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2.5．
【分析】延长交于点G，先利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BE的中点M，连接FM和CM，
∵F是AE的中点，M为BE的中点，
∴FM是△ABE的中位线，
∴FM∥AB，FM=AB，
∵E为CD的中点，即EC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB，
∴FM∥EC，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴EG=EM=EM=BE=2.
故答案为：2.
【分析】取BE的中点M，连接FM和CM，根据中位线定理求出FM∥AB，FM=AB，然后再证明四边形EFMC是平行四边形，得出EG=EM，结合EM=EM，即可解答.
14．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，DB
点E、F分别为DM、MN的中点，
EF是的中位线
由题意得，当N与点B重合时，DN最大，此时EF的值最大
由勾股定理得，DB=
的最大值为6.5
故答案为：6.5．
【分析】连接DN，DB，先利用三角形的中位线的性质可得，再利用勾股定理求出DB的长即可。
15．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8．
∴，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=10，
连接BF并延长交AD于G，
∵，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF=FG，AG=BC=6，
∴DG=10-6=4，
∵E是BD的中点，
∴EF= DG=2．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，
，
，
，
∵点N为CE的中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点M为BD的中点，
是的中位线，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【分析】连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，根据，证出，得出，得出是的中位线，再证出，得出，即可得解。
17．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中， ，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝AG＝×4＝2，
故答案为：B．
【分析】连接CF并延长，交AB于G，先利用“ASA”证出△DFC≌△BFG，可得BG＝CD＝6，CF＝FG，利用线段的和差求出AG的长，再利用中位线的性质可得EF＝AG＝×4＝2。
18．【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
20．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
，
，
分别是边上的中线，
是的中位线，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
故答案为：B．
【分析】取的中点，连接，先证明四边形是平行四边形，再结合，得到平行四边形是菱形，最后利用菱形的性质可得。
21．【答案】6.5
【知识点】垂线段最短；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作，交AE于点M；过点D作，交BC于点N
∵∠EDF＝90°，
∴
∴最小时，EF取最小值
∵，
∴当点和点M重合，点和点N重合时，、DF分别取最小值，即最小值，最小值，
最小值为
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵D是AB的中点
∴、为Rt△ABC中位线
∵AC＝5，BC＝12
∴，
∴最小值
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DM⊥AE，交AE于点M；过点D作DN⊥BC，交BC于点N，由勾股定理可得 ，故当DE2+DF2最小时，EF取最小值，即当点E和点M重合，点F和点N重合时，DE、DF分别取最小值，即DF最小值为DN，DE最小值为DM，EF的最小值为，由题意可得DM、DN为Rt△ABC中位线，据此可得DM、DN的值，进而可得EF的最小值.
22．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH//AB，连接并延长交于，连接，
∵BD//CH，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，，
，
故答案为：A．
【分析】作CH//AB，连接并延长交于，连接，先证明，得出，，在中，，，利用勾股定理得出EH的值，利用三角形中位线定理即可得出答案。
23．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长BE交CD的延长线与H点，过点E作EG⊥BF，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠EAB=∠EDH，∠EBA=∠EHD，
又∵E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，BE=EH，
∵BF⊥CD，EG⊥BF，
∴EG∥HF
∴EG为△BHF的中位线，
∴GF=BF=×8=4，
∴EG==3，
∴HF=6，
∵F为CD的中点，
∴AB=DH=DC=2DF=2FC，
设FC=x，则HF=DH+DF=2x+x=3x=6，
∴x=2，
∴AB=4，BC==2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（4+2）=8+4.
故答案为：8+4.
【分析】连接BE，延长BE交CD的延长线与H点，过点E作EG⊥BF，先由平行四边形性质及E为AD的中点，可证明△AEB≌△DEH，可得AB=DH，BE=EH，从而可证明EG为△BHF的中位线，求得GF=4，从而得EG=3，进而得出HF=6，由F为CD的中点，可推得AB=DH=DC=2DF=2FC，设FC=x，则HF= 3x=6，解得x=2，从而求得AB=4，BC=2，即可求出平行四边形的周长.
24．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
25．【答案】2
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作DH⊥AB于H，连接DN，如图
∵ ， °
∴ °
∵DH⊥AB
∴∠DHB=90°
∴四边形BCDH是矩形
∴BH=CD=5
∴AH=AB-BH=3
在Rt△DHA中，由勾股定理得：
∵ 分别为 的中点
∴
当DN最小时，EF最小，而当DN⊥AB时，DN最小，即此时点N与点H重合，DN的最小值为4
∴ =2
即EF的最小值为2
故答案为：2
【分析】作DH⊥AB于H，连接DN，则四边形BCDH是矩形得出BH=CD=5，AH=AB-BH=3，由勾股定理求出DH，再由三角形最危险的了即可得出，再求出DN的最小值即可。
26．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，取BD的中点F，连接FM，FN，
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵M是ED的中点，F是BD的中点，
∴FM是△BED的中位线，
∴FM= BE，FM∥BE，
∴∠DFM=∠EBD，
同理得FN= CD，FN∥CD，
∴FM=FN，∠FNB=∠DCB，
∵∠DFN=∠DBC+∠FNB=∠DBC+∠DCB，
∴∠MFN=∠DFM+∠DFN= 180°-120°=60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN=FN=1，
∴CD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BD，取BD的中点F，连接FM，FN，证明△AEB≌△ADC（SAS），可得BE=CD，根据三角形中位线定理，可得FM= BE，FM∥BE，FN= CD，FN∥CD，利用平行线的性质及三角形内角和定理可求出∠MFN=90°，可证△FMN是等边三角形，可得MN=FN=1，从而求出CD.
27．【答案】C
【知识点】三角形的综合；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点F，延长、交于点G，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点E是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：C．
【分析】延长交于点F，延长、交于点G，根据已知条件证明，得出，得出是的中位线，即可得解。
28．【答案】（1）证明：取AD中点M，连接OM．
∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴O是BD的中点．
∵M是AD的中点，
∴OM是的中位线，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴H是OE的中点．
（2）解：连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，M是AD中点，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，，．
由勾股定理得：．
∵G是EF中点，H是OE中点，
∴GH是的中位线，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ，再求出FM=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
29．【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，，
，
∴，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴，
∴点P在BH上，
∵，
∴，
∴，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，
∴PC的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形BEDH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可知当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，利用勾股定理求出CH的长即可.
30．【答案】（1）PM＝PN；PM⊥PN
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=90°，
∴∠HOD=90°，
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=90°，
∴PM⊥PN；
（3）解：（1）中结论不成立，PM=PN，∠MPN=120°，
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=60°，
∴∠HOD=120°
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=120°.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∠AEC+∠EAC=90°
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠EAC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P是线段AD的中点，
∴PM，PN分别是三角形ABD和三角形ADE的中位线，
∴，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，
∴∠NPD+∠MPA=90°，
∴∠MPN=90°，
∴PM⊥PN.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，结合∠AEC+∠EAC=90°可得∠BDC+∠EAC=90°，易得PM，PN分别是△ABD和△ADE的中位线，则PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，则∠NPD+∠MPA=90°，据此解答；
（2）连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，根据对顶角的性质可得∠BHO=∠AHC，则∠BOH=∠ACH=90°，同理可得PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，则∠MPN=∠GOD=90°，据此解答；
（3）连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，根据等边三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，根据对顶角的性质可得∠BHO=∠AHC，则∠BOH=∠ACH=60°，进而可得∠HOD的度数，同理可得PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，则∠MPN=∠GOD，据此解答.
1 / 1人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造中位线（适用于八年级）
一、阶段一
1．（2023·儋州模拟）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG=S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE=S△EBC=×20=10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG=S△BDE=×10=5.
故答案为：B.
【分析】连接DE，根据三角形中位线定理得DG∥AC，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△ADG=S△EDG，进而根据等底同高三角形面积相等得S△BCE=S△ABC，S△BDE=S△EBC，S△EDG=S△BDE，再代入计算即可得出答案.
2．（2022·安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF至F，使CF=CA，
∵∠BCA=120°，
∴∠ACF=60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴AF=AC=2，
∵D是AB的中点，E是BC的一点， 平分的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED=FA=.
故答案为：C.
【分析】延长CF至F，使CF=CA，证明△CFA是等边三角形，得出AF=AC，结合平分的周长，推出ED是△ABF的中位线，即可解答.
3．（2022八下·宁海期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝ BC，过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝BC，连接DF，若AB＝4，则DF的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点H，
∵EF∥BC，E为AC的中点，
∴HE为△ABC的中位线，
∴BH=AB=2，HE=BC，
∵CD=BC，EF=BC，
∴HF=BD，
∴四边形BDFH为平行四边形，
∴DF=BH=2.
故答案为：B.
【分析】如图，延长FE交AB于点H，易推出HE为△ABC的中位线，可得BH=AB=2，HE=BC，再由CD=BC，EF=BC，即得HF=BD，从而推出四边形BDFH为平行四边形，即得DF=BH=2.
4．（2022·岱岳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则 BEF的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BF于H ．
∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF= AD=2 ， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2 ，
∴EF=BE=2 ，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH= EF= ， FH= EH= ，
∴BF=2FH=2 ，
S△EFB=
故答案为 ．
【分析】过点E作EH⊥BF于H，利用三角形中位线定理以及直角三角形斜边上中线的性质证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题。
5．（2022八下·青山期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC，若EF=4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接，
点D，E分别是边AB，AC的中点，
延长BC到点F， CF=BC，
，
四边形是平行四边形
∠ACB=90°，∠A=30°，
故答案为：C
【分析】连接DC，延长BC使CF=BC，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，可证得CF=DE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形CDEF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到CD，AB的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BC的长，由此可求出DE的长.
6．（2022八下·温州期中）如图，□ABCD的顶点C在等边 的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=5，AB=CF=3，则CG的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长DC交EF于点H，
∵ ABCD，AD=5，AB=CF=3，
∴AD∥BC，BC=5，CD=CF=3，
∴BF=BC+CF=5+3=8，∠FCH=∠EBF，
∵等边△BEF，
∴∠F=BEF=∠EBF=∠FCH=60°，EF=BF=8，
∴△FCH是等边三角形，
∴CH=CF=FH=3，
∴HE=EF-HF=8-3=5，
又∵G为DE的中点，
∴CG为△DHE的中位线，
∴CG=HE=×5=.
故答案为：.
【分析】延长DC交EF于点H，根据平行四边形性质可得AD∥BC，BC=5，CD=CF=3，从而得BF=8，∠FCH=∠EBF，再由等边三角形性质得∠F=BEF=∠EBF=∠FCH=60°，EF=BF=8，进而证出△FCH是等边三角形，利用等边三角形性质可求出HE的长，最后根据中位线性质定理得CG=HE，代入数据计算即可求解.
7．（2022八下·盂县期中）如图 ，已知矩形 ABCD ，AD = 12， CD = 9 ，点 R 、P 分别是 DC ，BC 上的定点，点 E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，若CR = 4 ，则 EF =（ ）
A．12 B．6.5 C．9 D．不能确定
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，
在Rt△ADR中， AD = 12，DR=CD-CR=9-4=5，
由勾股定理可得：
AR= ，
因为点 E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，
所以EF是△APR的中位线，
所以EF=AR=6.5.
故答案为：B.
【分析】连接AR，先利用勾股定理求出AR的长，再利用三角形中位线的性质可得EF=AR=6.5。
8．（2022八下·恩平期中）如图，将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则底部BD＝ cm，支撑架CD的长度为 cm．
【答案】18；
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵EF⊥AB，CF=17，BC=CE=8，
∴EF= ＝15，
如图，取BC中点G，
∵点F恰为CD的中点，
∴FGBD，BD=2FG，
∵AB⊥BD，
∴FG⊥AB，
∵CG=BC=4cm，
∴EG=8+4=12（cm），
∵EF=15cm，
∴FG=＝9，
∴BD=2FG=18（cm），
∴CD=＝2（cm） ，
故答案为：18 ；2．
【分析】取BC中点G，根据三角形中位线的性质可得FG∥BD，BD=2FG，利用勾股定理求出FG的长，即可得到BD=2FG=18，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
9．（2022八上·南宁期末）已知是边长为10的等边三角形，为的中点，，交线段于，交的延长线于.若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作DM∥BC交AB于M，
∵，
∴，
∵为的中点，是等边三角形，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】作DM∥BC交AB于M，根据三角形的中位线定理及等边三角形的性质得MD=DC=BM=5，结合已知由ME=BM-BE算出ME的长，进而利用AAS判断△DEM≌△DFC，根据全等三角形对应边相等即可得出答案.
10．（2021九上·平昌期中）如图， ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想.
【答案】解：DF∥EG，DF=EG，证明如下：
连接AO，
∵BE是AC的中线，
∴E是AC的中点，
又∵G是OC的中点，
∴GE是△ACO的中位线，
∴ ，GE∥AO，
同理可证明DF是△ABO的中位线，
∴ ，DF∥AO，
∴DF∥EG，DF=EG.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接AO，根据中线的概念可得E是AC的中点，推出GE是△ACO的中位线，得到GE=AO，GE∥AO，同理可得DF=AO，DF∥AO，据此解答.
二、阶段二
11．（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
12．（2022八上·招远期末）如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
【答案】2.5
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2.5．
【分析】延长交于点G，先利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
13．（2022九上·郑州开学考）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BE的中点M，连接FM和CM，
∵F是AE的中点，M为BE的中点，
∴FM是△ABE的中位线，
∴FM∥AB，FM=AB，
∵E为CD的中点，即EC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB，
∴FM∥EC，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴EG=EM=EM=BE=2.
故答案为：2.
【分析】取BE的中点M，连接FM和CM，根据中位线定理求出FM∥AB，FM=AB，然后再证明四边形EFMC是平行四边形，得出EG=EM，结合EM=EM，即可解答.
14．（2022八下·滕州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是 ．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，DB
点E、F分别为DM、MN的中点，
EF是的中位线
由题意得，当N与点B重合时，DN最大，此时EF的值最大
由勾股定理得，DB=
的最大值为6.5
故答案为：6.5．
【分析】连接DN，DB，先利用三角形的中位线的性质可得，再利用勾股定理求出DB的长即可。
15．（2022八下·南山期末）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，//，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8．
∴，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=10，
连接BF并延长交AD于G，
∵，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF=FG，AG=BC=6，
∴DG=10-6=4，
∵E是BD的中点，
∴EF= DG=2．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质计算求解即可。
16．（2022·和平模拟）如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，
，
，
，
∵点N为CE的中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点M为BD的中点，
是的中位线，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【分析】连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，根据，证出，得出，得出是的中位线，再证出，得出，即可得解。
17．（2022八下·赞皇期中）如图，，、相交于P，E、F分别为、的中点，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中， ，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝AG＝×4＝2，
故答案为：B．
【分析】连接CF并延长，交AB于G，先利用“ASA”证出△DFC≌△BFG，可得BG＝CD＝6，CF＝FG，利用线段的和差求出AG的长，再利用中位线的性质可得EF＝AG＝×4＝2。
18．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
20．（2021·沂水模拟）如图，在中，分别是边上的中线，于点O，点F是的中点，若，则的长是（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
，
，
分别是边上的中线，
是的中位线，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
故答案为：B．
【分析】取的中点，连接，先证明四边形是平行四边形，再结合，得到平行四边形是菱形，最后利用菱形的性质可得。
三、阶段三
21．（2023九下·靖江月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .
【答案】6.5
【知识点】垂线段最短；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作，交AE于点M；过点D作，交BC于点N
∵∠EDF＝90°，
∴
∴最小时，EF取最小值
∵，
∴当点和点M重合，点和点N重合时，、DF分别取最小值，即最小值，最小值，
最小值为
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵D是AB的中点
∴、为Rt△ABC中位线
∵AC＝5，BC＝12
∴，
∴最小值
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DM⊥AE，交AE于点M；过点D作DN⊥BC，交BC于点N，由勾股定理可得 ，故当DE2+DF2最小时，EF取最小值，即当点E和点M重合，点F和点N重合时，DE、DF分别取最小值，即DF最小值为DN，DE最小值为DM，EF的最小值为，由题意可得DM、DN为Rt△ABC中位线，据此可得DM、DN的值，进而可得EF的最小值.
22．（2022·乌兰浩特模拟）如图，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH//AB，连接并延长交于，连接，
∵BD//CH，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，，
，
故答案为：A．
【分析】作CH//AB，连接并延长交于，连接，先证明，得出，，在中，，，利用勾股定理得出EH的值，利用三角形中位线定理即可得出答案。
23．（2022八下·温州期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF=8，EF=5，则 ABCD的周长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长BE交CD的延长线与H点，过点E作EG⊥BF，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠EAB=∠EDH，∠EBA=∠EHD，
又∵E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，BE=EH，
∵BF⊥CD，EG⊥BF，
∴EG∥HF
∴EG为△BHF的中位线，
∴GF=BF=×8=4，
∴EG==3，
∴HF=6，
∵F为CD的中点，
∴AB=DH=DC=2DF=2FC，
设FC=x，则HF=DH+DF=2x+x=3x=6，
∴x=2，
∴AB=4，BC==2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（4+2）=8+4.
故答案为：8+4.
【分析】连接BE，延长BE交CD的延长线与H点，过点E作EG⊥BF，先由平行四边形性质及E为AD的中点，可证明△AEB≌△DEH，可得AB=DH，BE=EH，从而可证明EG为△BHF的中位线，求得GF=4，从而得EG=3，进而得出HF=6，由F为CD的中点，可推得AB=DH=DC=2DF=2FC，设FC=x，则HF= 3x=6，解得x=2，从而求得AB=4，BC=2，即可求出平行四边形的周长.
24．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
25．（2021九上·佛山月考）如图，在四边形 中， ， °， ， ，点 分别为 上的动点（含端点）， 分别为 的中点，则 长度的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作DH⊥AB于H，连接DN，如图
∵ ， °
∴ °
∵DH⊥AB
∴∠DHB=90°
∴四边形BCDH是矩形
∴BH=CD=5
∴AH=AB-BH=3
在Rt△DHA中，由勾股定理得：
∵ 分别为 的中点
∴
当DN最小时，EF最小，而当DN⊥AB时，DN最小，即此时点N与点H重合，DN的最小值为4
∴ =2
即EF的最小值为2
故答案为：2
【分析】作DH⊥AB于H，连接DN，则四边形BCDH是矩形得出BH=CD=5，AH=AB-BH=3，由勾股定理求出DH，再由三角形最危险的了即可得出，再求出DN的最小值即可。
26．（2021八下·蔡甸期末）在 中， ， ， 为 形内一点，以 为腰作等腰 ，使 ，连接 、 ，若 、 分别是 、 的中点， ，则 的长为 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，取BD的中点F，连接FM，FN，
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵M是ED的中点，F是BD的中点，
∴FM是△BED的中位线，
∴FM= BE，FM∥BE，
∴∠DFM=∠EBD，
同理得FN= CD，FN∥CD，
∴FM=FN，∠FNB=∠DCB，
∵∠DFN=∠DBC+∠FNB=∠DBC+∠DCB，
∴∠MFN=∠DFM+∠DFN= 180°-120°=60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN=FN=1，
∴CD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BD，取BD的中点F，连接FM，FN，证明△AEB≌△ADC（SAS），可得BE=CD，根据三角形中位线定理，可得FM= BE，FM∥BE，FN= CD，FN∥CD，利用平行线的性质及三角形内角和定理可求出∠MFN=90°，可证△FMN是等边三角形，可得MN=FN=1，从而求出CD.
27．（2022八下·本溪期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的综合；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点F，延长、交于点G，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点E是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：C．
【分析】延长交于点F，延长、交于点G，根据已知条件证明，得出，得出是的中位线，即可得解。
28．（2022八下·大兴期末）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，且，，连接EF，G为EF的中点，连接OE，交AD于点H，连接GH．
（1）求证：H是OE的中点；
（2）求GH的长．
【答案】（1）证明：取AD中点M，连接OM．
∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴O是BD的中点．
∵M是AD的中点，
∴OM是的中位线，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴H是OE的中点．
（2）解：连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，M是AD中点，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，，．
由勾股定理得：．
∵G是EF中点，H是OE中点，
∴GH是的中位线，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ，再求出FM=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
29．（2022八下·淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，，
，
∴，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴，
∴点P在BH上，
∵，
∴，
∴，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，
∴PC的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形BEDH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可知当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，利用勾股定理求出CH的长即可.
30．（2021八下·宣汉期末）如图1，点是线段上一点，分别以、为直角边，在同侧作等腰直角三角形和，点、分别是斜边、的中点，点是线段的中点，连接、.
（1）观察猜想，图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：将图1中的绕着点顺时针旋转，如图2，点、、依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）若将图1中和都换成等边三角形，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，点、、P依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）PM＝PN；PM⊥PN
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=90°，
∴∠HOD=90°，
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=90°，
∴PM⊥PN；
（3）解：（1）中结论不成立，PM=PN，∠MPN=120°，
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=60°，
∴∠HOD=120°
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=120°.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∠AEC+∠EAC=90°
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠EAC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P是线段AD的中点，
∴PM，PN分别是三角形ABD和三角形ADE的中位线，
∴，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，
∴∠NPD+∠MPA=90°，
∴∠MPN=90°，
∴PM⊥PN.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，结合∠AEC+∠EAC=90°可得∠BDC+∠EAC=90°，易得PM，PN分别是△ABD和△ADE的中位线，则PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，则∠NPD+∠MPA=90°，据此解答；
（2）连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，根据对顶角的性质可得∠BHO=∠AHC，则∠BOH=∠ACH=90°，同理可得PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，则∠MPN=∠GOD=90°，据此解答；
（3）连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，根据等边三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，根据对顶角的性质可得∠BHO=∠AHC，则∠BOH=∠ACH=60°，进而可得∠HOD的度数，同理可得PM=BD，PN=AE，PM∥BD，PN∥AE，推出PM=PN，根据平行线的性质可得∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，则∠MPN=∠GOD，据此解答.
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