人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形（不含相似）
一、阶段一（较易）
1．（2023八下·杭州期中）如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
2．（2023八下·拱墅月考）如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·抚远期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
4．（2022八下·辽阳期末）如图，中，平分，，垂足为D，E为中点，若，，则的长为 ．
5．（2022八下·香坊期末）如图，在中，，，，点D在外，连接、，点E是的中点，，，则线段的长 ．
6．（2022八下·德阳期中）如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。
7．（2021八下·亳州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF；
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离．
8．（2023·永嘉模拟）如图，在中，，，，其中，，，（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·鄞州期末）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 °.
10．（2022八上·余姚期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（2022八下·重庆市期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）.
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、阶段二（中等）
12．（2022八下·芜湖期中）如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
13．（2022八下·椒江期末）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为 ．
14．（2023九下·德化月考）如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且
（1）若，，求四边形的面积.
（2）求证：.
15．（2023·江北模拟）如图，正方形中，P为边上一点，点E与B关于直线对称，射线与的延长线相交于点F.若，，则的长为 .
16．（2023八上·义乌期末）如图，在中，，是边上的高线，过点D作交于点E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连结交于点H，若，求的长.
17．（2023九上·通川期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CEMN交AD于E，连接EM，CN，DN.
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EMCN.
18．（2023八上·宁海期末）如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
19．（2022八上·黄冈月考）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且.
（1）如图①，当是边的中点时，求证：；
（2）如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长.
20．（2022八上·苍南期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E.
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长.
三、阶段三（较难）
21．（2022八下·禹州期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F.若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……
（1）任务一：上面证明过程中得出“”的依据是 ；
（2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
（3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长.
22．（2023·浙江模拟）
（1）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，，点E，F分别在上，若，求证：.
（2）【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形.已知，道路上分别有景点M，N，且m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据：）
23．（2023八下·西安月考）如图
（1）发现：如图1，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点.
①线段与的数量关系为： ；的度数为 .
②可看作经过怎样的变换得到的？ .
（2）应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离.
24．（2023八下·福州月考）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若.探究线段三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.
25．（2023八下·南宁月考）
（1）【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是 .
（2）【类比应用】如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.
（3）【拓展延伸】在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.
26．（2023八上·江北期末）平行四边形中，，点E在边上，连接.
（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：.
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接.若平分，，，，.请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积.
27．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．（2022八上·潼南期中）如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
（2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.
（3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积.
29．（2022九上·浦城期中）
（1）如图1，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：．请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明．
（2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，中，，，P为内部一点，且，则 ．
30．（2022八下·临海期末）如图，在正方形中，是上一点（不与端点，重合），连接过点作的垂线，分别交，于点，延长到点，使得，连接，．
（1）求证：≌；
（2）①若，则 ；
改变的度数，的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出与之间的关系，若不改变，请说明理由；
（3）如图2，若，求与的长．
答案解析部分
1．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AE、BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴ED=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，
∵ AE平分∠FAD，
∴∠DAE=∠FAD=30°，
∴∠G=∠FAE=30°，
∴AF=FG=3+5=8，
∴EF⊥AG，
∴Rt△AEF中，.
故答案为：4.
【分析】延长AE、BC交于点G，利用ASA判断出△ADE≌△GCE，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，结合角平分线定义可得∠G=∠FAE=30°，由等角对等边得AF=FG=3+5=8，由等腰三角形的三线合一得EF⊥AG，最后在Rt△AEF中，根据含30°角直角三角形的性质即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝5
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AE＝4 ，
故答案为：B.
【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝5 ，由题意可得OE垂直平分AC， 则CE＝AE＝4， 结合勾股定理逆定理知△AEC是等腰直角三角形， 则AC＝AE， 据此计算.
3．【答案】解：如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 是的中点 ，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。
4．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
延长CD交AB于F
在△BDC和△BDF中
∴△BDC≌△BDF（ASA）
∴BF=BC=18，CD=DF
∴AF=AB-BF=12，
∵E为AC中点，
∴CE=EA
∵CD=DF，
∴DE=AF=6．
故答案为：6．
【分析】延长CD交AB于F，先利用“ASA”证明△BDC≌△BDF，可得BF=BC=18，CD=DF，再利用三角形的中位线可得DE=AF=6。
5．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD、BC相交于点F
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°=∠ACB，
又∵，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，BC=CF
在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，
∴
∴AF=13
∵AD=4，
∴DF=AF-AD=13-4=9
∵E是BD的中点，
∴CE是△BDF的中位线
∴
故答案为：．
【分析】先求出AF=AB，BC=CF，再求出CE是△BDF的中位线，最后计算求解即可。
6．【答案】证明：如图，连接EM、DM，
∵∠BEC=90°，
∴EM=BC，
同理DM=BC，
∴EM=DM，
∴△DME为等腰三角形，
∵F是DE的中点，
∴FM⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接EM、DM，根据直角三角形斜边中线的性质得出EM=BC，DM=BC，则有EM=DM，最后根据等腰三角形的性质求出FM⊥DE即可.
7．【答案】（1）证明：∵ DB⊥AB，
， 在 和 中，
∵点F是斜边AD的中点，
（2）解：连接CE，由（1）得
∴
∴
即C，E两点间的距离是
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先求出∠DEA=90°，再根据 点F是斜边AD的中点， 证明求解即可；
（2）先求出∠FEA=∠FAE，再求出∠EFC=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长DE至点H，使EH=DE，连接BH，过点C作CG⊥AB于点G，延长FB至点T，使BT=BD，连接HT，
∵∠A=45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG=CG，
∵∠F=∠ABC，EF⊥BC，设∠F=a，
∴∠EDB=∠FBE=90°-a，
∴∠FBD=∠FBE-∠ABC=90°-a-a=90°-2a，
∵BE⊥DH，EH=DE，
∴∠EBH=∠DBE=a，BH=BD，
∴∠FBH=∠FBE+∠EBH=90°-a+a=90°，
∴∠HBT=90°，
∵BT=BD=BH，
∴△HBT是等腰直角三角形，
∴∠T=45°，
设DB=HB=BT=x，AD=FB=y，
∴TF=x+y，AB=AD+DB=x+y，
∴FT=AB，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠T，
又∵∠F=∠ABC=a，
在△ABC与△TGH中，
∵∠A=∠T，AB=FT，∠ABC=∠F，
∴△ABC≌△TGH，
∴BC=FH，
设DE=z，
则FH=DE+EH+DF=z+z+2=2z+2，
∵ ，
∴2z+2= ，
解得z=，
即DE= .
故答案为：C.
【分析】延长DE至点H，使EH=DE，连接BH，过点C作CG⊥AB于点G，延长FB至点T，使BT=BD，连接HT，易得△ACG是等腰直角三角形，则AG=CG，由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得∠EBH=∠DBE=a，BH=BD，推出△HBT是等腰直角三角形，证出FT=AB，利用ASA判断出△ABC≌△TGH，得BC=FH，设DE=z，则FH=DE+EH+DF=z+z+2=2z+2，结合BC的长度建立方程，求解可得DE的长.
9．【答案】75
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D.连接BD，
∵△PCD中，∠CDP＝90°，∠APC＝60°，
∴∠DCP＝90°－∠APC＝30°，
∴PC＝2PD，
∵PC＝2PB，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠BDP＝∠DBP，
∵∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°，
∴∠BDP＝∠DBP＝30°，
∵∠ABP＝45°，
∴∠ABD＝∠ABP－∠DBP＝15°，
∵∠BAP＝∠APC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD＝15°，
∴BD＝AD，
∵∠DBP＝30°，∠DCP＝30°，
∴BD＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD＝AD，
∴AD＝DC，
∵∠CDA＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°.
故答案为：75.
【分析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连接BD，根据内角和定理可得∠DCP＝30°，则PC=2PD，由已知条件可知PC＝2PB，则BP＝PD，推出△BPD是等腰三角形，得到∠BDP＝∠DBP，由外角的性质可得∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°，则∠BDP＝∠DBP＝30°，由角的和差关系可得∠ABD=15°，∠BAP=15°，推出BD=AD，易得△ADC是等腰直角三角形，则∠ACD＝45°，然后根据∠ACB=∠DCP+∠ACD进行计算.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴CE＝4，
∴AE＝AC EC＝7 4＝3，
∴BE＝3，
∴BD＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD与AC交于点E，根据等角对等边推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝7，BC＝4，即可推出BD的长度．
11．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
，BP平分∠ABC，
又
，
CP是CDA的中线
△PAB的面积为，△PBC的面积为，
故答案为：A.
【分析】延长AP交BC于点D，证明，可得，，由三角形中线的性质可得，从而求出，继而得解.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，
，
，
又∵AF=AB，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，
∵AB+AE=EC，
∴AF+AE=EC，即EF=EC，
∴E为FC中点，
∵D为BC中点，
∴DE为△BCF的中位线，
∴BF=2DE，
∵DE=2，
∴AB=BF=4，
故答案为：B．
【分析】延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，先证出DE为△BCF的中位线，利用三角形中位线的性质可得BF=2DE，再结合DE的长求出AB=BF=4即可。
13．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作OH⊥AC于点H，连接CO、AO，
∵点E，F分别为AD和AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∵EF=5，
∴BD=10，
又∵∠DAB=∠BCD=90°，O为BD的中点，
∴OC=OA=BD=5，
∵AC=8，
∴AH=HC=AC=4，
∴在Rt△CHO中，OH===3，
∴O点到AC的距离为3.
故答案为：3.
【分析】如图所示，过点O作OH⊥AC于点H，连接CO、AO，易得EF是△ABD的中位线，得BD=10，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OC=OA=BD=5，由等腰三角形“三线合一”，可得AH=HC=AC=4，最后在Rt△CHO中利用勾股定理求得OH即可求解.
14．【答案】（1）解：连接，如图1，
在中，，为边的中线，
，，，
又，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
所以
，
（2）证明：延长至点，使得，连接，，如图，
，，
垂直平分，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接AD，由等腰直角三角形的性质得∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=CD，由同角的余角相等得∠EDA=∠CDF，用ASA判断出△AED≌△CFD，得AE=CF，从而可得AB=4，利用全等三角形面积相等可得四边形AEDF的面积等于△ADC的面积，从而利用三角形面积计算公式即可算出答案；
（2） 延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG， 易得DF是DE的垂直平分线，得EF=FG，用SAS判断出△BDE≌△CDG，得BE=CG，∠DCG=∠DBE，推出∠FCG=90°，从而在Rt△CFG中，利用勾股定理即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，设与，交于点N，H，
∵点E与B关于直线对称，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CN＝DP，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接FB，设BE与CD、CF交于点N、H，根据轴对称的性质可得CB=CE，由垂直平分线的性质可得FB=FE，利用SSS证明△CBF≌△CEF，得到∠FBC=∠FEC，∠BFC=∠EFC，结合等腰三角形的性质可推出△BFE是等腰直角三角形，由垂直平分线的性质可得BH=HE=FH，利用ASA证明△BCN≌△CDP，得到CN=DP，设CN=DP=x，则BC=4x，BN=x，根据三角函数的概念可得BH，据此求解.
16．【答案】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：作，交于G，交于点F，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又
，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
的长为.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，∠DAC=∠EAD，由平行线的性质可得∠EDA=∠DAC，则∠EAD=∠EDA，推出DE=AE，据此证明；
（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于点F，连接FH，易得△CDH、△EGH为等腰直角三角形，则DH=DC，∠DHC=45°，由平行线的性质可得∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB，进而推出AE=AF，得到△HEF是等腰直角三角形，证明△DEC≌△FCE，得到EF=DC，则GD=GH+DH=DC，AD=3DC，利用勾股定理可得CD的值，据此求解.
17．【答案】（1）证明：在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠MFD＝135°，
∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠NMB＝∠MDF，
在△MDF和△NMB中，
，
∴△MDF≌△NMB（ASA），
∴DM＝MN；
（2）证明：∵CEMN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
在△EDC和△MAD中，
，
∴△EDC≌△MAD（ASA），
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵ECMN，
∴四边形EMNC为平行四边形，
∴EMCN.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，根据正方形的性质可得AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，易得△FAM是等腰直角三角形，则∠AFM＝45°，∠MFD＝135°，由角平分线的概念可得∠CBN＝45°，推出∠DFM＝∠MBN，根据同角的余角相等可得∠NMB＝∠MDF，利用ASA证明△MDF≌△NMB，据此可得结论；
（2）易得DM⊥CE，由同角的余角相等可得∠DEC＝∠AMD，根据正方形的性质可得DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，利用ASA证明△EDC≌△MAD，得到EC＝DM，结合DM＝MN可得EC＝MN，推出四边形EMNC为平行四边形，据此证明.
18．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
又
∴平分
∵平分，，
∴
∴，
∴是边的垂直平分线，
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接AM，由等角的余角相等可得∠CAB=∠DEC，则AC=AE，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD平分∠ACE，根据角平分线的概念可得∠ACE=45°，则∠B=∠DCE=22.5°，易得△AMC是等腰直角三角形，据此求解.
19．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB，则BD＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，证△AEF是等边三角形，得AE＝EF＝AF，再利用AAS证△DEB≌△ECF，得BD＝EF，即可得出结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再利用AAS证△CEF≌△EDB，得BD＝EF＝2，即可得出答案．
20．【答案】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴AE＝BE，
∴DE＝ AB＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：作EG∥BC，交AD于G，
∵AE＝BE，
∴AG＝DG，
∴EG＝ BD＝ CD，
∵EG∥BC，
∴ ＝ ，
∴GH＝ DH，EH＝ CH，
∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝DC，
∴AD＝3DC，
∵AB＝AC＝2 ，AC2＝AD2+DC2，
∴40＝9DC2+DC2，
∴DC＝2，
∴DH＝DC＝2，
∴CH＝ ＝2 ，
∴EH＝ CH＝ ，
∴EH的长为 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BD＝CD，结合DE∥AC，可得AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE＝ AB，即得DE=AE，根据等腰三角形的判定即证；
（2）作EG∥BC，交AD于G， 可得AG=DG，利用三角形的中位线定理可得EG＝ BD＝ CD，根据平行线分线段成比例定理可得GH＝DH，EH＝CH，易证△CDH是等腰直角三角形，可得 DH＝DC，由勾股定理可得AC2＝AD2+DC2，从而求出CD=2，利用勾股定理求出CH=2 ，继而求出EH.
21．【答案】（1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）解：任务二：如图，取EF的中点G，连接AG，
∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC＝90°，.
在Rt△AEF中，点G是EF的中点，
∴AG＝EG=FG=EF.
∵EF＝2AB，
∴AB＝AG.
∴∠ABG＝∠AGB.
∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.
∵，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠ABG＝2∠CBF，
∴∠ABC＝3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
（3）解：.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1） 上面证明过程中得出“”的依据是：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
故答案为： 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ；
（3）任务三：取AC的中点H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵BF是∠CBE的角平分线，
∴，
∵∠FBE=∠CAB+∠F，
∴∠CAB+∠F=45°，
∵∠CBA=90°，点H是AC的中点，
∴BH=AH=CH=BF，
∴∠HAB=∠HBA，∠BHF=∠F，
∴∠CHB=2∠HAB，
∴∠F=2∠HAB，
∴，
∴∠F=30°，
过C作CT⊥BF于T，则△BCT是等腰直角三角形，
∵CF=4，
∴BT=CT= 2，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答；
（2）取EF的中点G，连接AG，易得AG =FG，则得∠F=∠GAF，AB=AG，再根据平行线的性质、等边对等角及三角形外角性质求出∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF，即可得出结论；
（3）取AC的中点H，连接BH，过点C作CT⊥BF于T，根据矩形的性质、角平分线定义，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质求出∠F=30°，再求出CT，BT，FT的长，根据线段的和差关系即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：延长到点M，使，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵（m）.
∴路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1） 延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，由同角的补角相等得∠D=∠ABM，用SAS判断出△ABM≌△ADF，得AM=AF，∠MAB=∠DAF，推出∠EAM=∠EAF，用SAS判断出△AEM≌△AEF，得ME=EF， 从而即可得出结论；
（2） 延长DC、AB交于点G，连接CN、CM， 由四边形的内角和得∠A=30°，由三角形的内角和定理得∠G=90°，由含30°角直角三角形的性质得AD=2DG， ， 进而可得DG、AD、AG的长，进一步求出AM、AN的长，判断出△DCM是等边三角形，得∠DCM=60°，判断出△CGN是等腰直角三角形，得∠GCN=45°，由（1）的结论可得出MN的长，从而就可解决本题了.
23．【答案】（1）AE=CD；60°；可看作绕点b顺时针旋转60°得到的
（2）解：若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下：
、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）解：.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
②由①知：，
，，，
，
可看作绕点顺时针旋转得到的，
故答案为：可看作绕点顺时针旋转得到的；
(3)解：过点作于，过点作，交延长线于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
.
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°，结合角的和差关系可得∠ABE=∠CBD，利用SAS证明△ABE≌△CBD，得到AE=CD，∠BAE=∠BCD，则∠CAE+∠BCD=60°，然后利用内角和定理进行计算；
②由①知△ABE≌△CBD，则AB=BC，BE=BD，AE=CD，据此解答；
（2）同（1）①进行解答；
（3）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD，交DA延长线于F，则△CDE是等腰直角三角形，CE=DE=，AE=AD-DE=8-，利用AAS证明△BFA≌△AEC，得到AF=CE，BF=AE，由DF=AD+AF求出DF，然后根据勾股定理进行计算.
24．【答案】（1）解：，
（2）解：关系式仍然成立.
证明：将沿直线对折，得，连接
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴在中，，
即；
解法二：将绕点A顺时针旋转得到.连接.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）解：当时，线段能构成一个等腰三角形.
如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取，
可得.
∴.
∴.
若使为等腰三角形，只需，
即，
∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为.
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） ，证明如下：
将绕A顺时针旋转后成，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）BD2+EC2=DE2，理由如下：将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△ABE'，连接DE'，由旋转的性质及角的和差得∠EAD=∠E'AD=45°，由SAS判断出△ADE'≌△ADE，得DE'=DE，由等腰直角三角形性质得∠ABC=∠C=45°，推出∠E'BD=90°，在Rt△E'BD中，由勾股定理得E'D2=E'B2+BD2，从而即可得出结论；
（2）BD2+EC2=DE2任然成立，理由如下：解法一： 将△ADB沿直线AD对折得△AFD，连接FE，由翻折知AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，推出AF=AC，∠FAE=∠EAC，用SAS证出△AFE≌△ACE， 得FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=135°，则∠DFE=90°，在Rt△DEF中由勾股定理得DF2+FE2=DE2，即可得出结论；解法二： 将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB，连接DT，由旋转得∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，推出∠TBC=90°，∠DAT=∠DAE，用SAS判断出△DAT≌△DAE， 得DT=DE，从而利用勾股定理即可得出结论；
（3） 当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，得AD=DF，EF=BE，则∠DFE=120°，若使△DEF为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，从而即可得出结论.
25．【答案】（1）AB=AF+AE
（2）解：.理由是：
取中点G，连接，如图2
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的长为或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：【探究发现】（1）如图1，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【拓展延伸】（3）解：当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，
当，，时，
，此时F在的延长线上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
当点E在延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：的长为或.
【分析】【探究发现】根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，由同角的余角相等可得∠BDF=∠ADE，利用ASA证明△BDF≌△ADE，得到BF=AE，据此解答；
【类比应用】
取AB的中点G，连接DG，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG=BC，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=60°，由角的和差关系可得∠GDF=∠ADE，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF=AE，据此解答；
【拓展延伸】当点E在线段AC上时，取AC的中点H，连接DH，当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，AE=4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得△ADF≌△HDE，得到AF=HE，则AH=CH=，CE=1，然后根据AF=HE=CH-CE进行计算；当点E在AC延长线上时，同理求解即可.
26．【答案】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）证明：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
（3）解：；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴.
【分析】（1）过点G作GK⊥AD于点K，由平行四边形的性质可得∠DAC=∠ACB，AB=CD，AD∥
BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，易得∠ABC=60°，∠ACD=∠BAC=90°，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠AEB=∠CBE=30°，则∩CBE=∠ACB，AE=AB，推出CG=BG，然后求出AG、AC、AE、KG的值，再根据S四边形EGCD=S△ACD-S△AGE进行计算；
（2）过点A作AJ⊥AM于点A，交FH延长线于点J，则点A，B，F，H四点共圆，则∠BHA=∠AFB=45°，推出△AHJ是等腰直角三角形，则JH=AH，利用SAS证明△ABH≌△AFJ，得到BH=FJ，据此证明；
（3）取AB的中点M，AE的中点N，连接PM、NQ、MN，由（1）得BE=3，易得四边形PMNQ为平行四边形，则PM=NQ，结合中点的概念可得BM=BR，证明△PBM≌△PBR，得到PR=PM，则NQ=PR，CQ+PQ+PR=CQ+NQ+，故当点N，Q，C三点共线时，CQ+NQ的值最小，过点C作CS⊥AD于点S，易得AC、CD、AE、AM、AD、CS、SD、MS、CM的值，据此不难求出CQ+PQ+PR的最小值，然后根据S△CEQ=S四边形EGCD-S△CDE进行计算.
27．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
28．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在AB上截取，连接ME，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）连接GE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵AE是GD的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）由同角的补角相等可得∠CAE=∠AEC，由等角对等边可得AC=CE，结合已知并根据角的构成可求解；
（2）在AB上截取AM=AD，结合题意用边角边可证，则∠AME=∠ADE，∠AEM=∠AED，由角的构成和等式的性质可得∠ADC=∠BME；由等边对等角得∠AEC=∠CAE，结合图形，由角得构成和三角形外角的性质得∠BEM=∠C，结合题意用角角边可证，则BM=AD，于是可得AB=2AD；
（3）连接GE，由题意易证AG=AD，由线段得垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得GE=ED，由全等三角形的性质得GE=CD=ED，过点C作CN⊥AE交于点N，易得，然后根据图形的构成可求解.
29．【答案】（1）证明：如图1，将绕点顺时针旋转到，
，≌，
∴，
∴
∴点E，点C，点D三点共线，
∵，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（2）解：理由如下：
如图2，将绕点B顺时针旋转到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
即；
（3）15°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如图，将翻转得到正方形．
连接，取中点E，
∵，
∴⊥．
将反向延长交于F点．
则且点F是的中点，
∴是以为底边的等腰三角形．
所以有，则是等边三角形．
∴，则
∴．
【分析】（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，则PB=PE，AP=CE，∠BCE=∠A=90°，易得∠ABP+∠CBQ=45°，∠FBC+∠CBE=45°，推出∠QBE=∠PBQ，利用SAS证明△BQE≌△BQP，得到PQ=QE，据此证明；
（2）同（1）进行证明；
（3）将△ABC翻转180°得到正方形ACBD，连接PD，取BC的中点E，由等腰三角形的性质可得PE⊥BC，将EP反向延长交AD于F点，则PF⊥AD且点F是AD的中点，推出△APD是以AD为底边的等腰三角形，则AP=PD=AC=AD，进而得到△APD是等边三角形，∠PAD=60°，据此求解.
30．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：①45；
②改变的度数，的度数不会发生改变，理由如下： 设，则， 由①知：， ，， ， ；
（3）解：如图2，过点作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由知：≌，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）①，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：45；
【分析】（1）由正方形性质得AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠CDE=∠DAF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①根据三角形的内角和定理可得∠DAF=30°，根据等腰三角形的判定定理可得AD=DG=CD，则∠DGH=∠DAF=30°，则∠CDG=30°，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠DCG=∠DGC=75°，然后根据∠AGC=∠DGC-∠DGA进行计算；
②设∠ADE=α，则∠DAF=∠DGF=90°-α，由①知AD=DG=CD，根据等腰三角形的性质可得∠FDG=∠ADF=α，∠CDG=2α-90°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠DCG、∠DGC，然后根据∠AGC=∠DGC-∠DGA进行计算；
（3）过点C作CM⊥AG于M，易得△CMG是等腰直角三角形，MG=CM，根据全等三角形的性质可得DH=CE=CH，利用勾股定理可得AH，根据△ADH的面积公式可得DF，证明△DFH≌△CMH，得到CM=DF=2则CM=MG=2，据此可得CG.
1 / 1人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形（不含相似）
一、阶段一（较易）
1．（2023八下·杭州期中）如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AE、BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴ED=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，
∵ AE平分∠FAD，
∴∠DAE=∠FAD=30°，
∴∠G=∠FAE=30°，
∴AF=FG=3+5=8，
∴EF⊥AG，
∴Rt△AEF中，.
故答案为：4.
【分析】延长AE、BC交于点G，利用ASA判断出△ADE≌△GCE，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，结合角平分线定义可得∠G=∠FAE=30°，由等角对等边得AF=FG=3+5=8，由等腰三角形的三线合一得EF⊥AG，最后在Rt△AEF中，根据含30°角直角三角形的性质即可得出答案.
2．（2023八下·拱墅月考）如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝5
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AE＝4 ，
故答案为：B.
【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝5 ，由题意可得OE垂直平分AC， 则CE＝AE＝4， 结合勾股定理逆定理知△AEC是等腰直角三角形， 则AC＝AE， 据此计算.
3．（2022八下·抚远期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
【答案】解：如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 是的中点 ，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。
4．（2022八下·辽阳期末）如图，中，平分，，垂足为D，E为中点，若，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
延长CD交AB于F
在△BDC和△BDF中
∴△BDC≌△BDF（ASA）
∴BF=BC=18，CD=DF
∴AF=AB-BF=12，
∵E为AC中点，
∴CE=EA
∵CD=DF，
∴DE=AF=6．
故答案为：6．
【分析】延长CD交AB于F，先利用“ASA”证明△BDC≌△BDF，可得BF=BC=18，CD=DF，再利用三角形的中位线可得DE=AF=6。
5．（2022八下·香坊期末）如图，在中，，，，点D在外，连接、，点E是的中点，，，则线段的长 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD、BC相交于点F
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°=∠ACB，
又∵，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，BC=CF
在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，
∴
∴AF=13
∵AD=4，
∴DF=AF-AD=13-4=9
∵E是BD的中点，
∴CE是△BDF的中位线
∴
故答案为：．
【分析】先求出AF=AB，BC=CF，再求出CE是△BDF的中位线，最后计算求解即可。
6．（2022八下·德阳期中）如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。
【答案】证明：如图，连接EM、DM，
∵∠BEC=90°，
∴EM=BC，
同理DM=BC，
∴EM=DM，
∴△DME为等腰三角形，
∵F是DE的中点，
∴FM⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接EM、DM，根据直角三角形斜边中线的性质得出EM=BC，DM=BC，则有EM=DM，最后根据等腰三角形的性质求出FM⊥DE即可.
7．（2021八下·亳州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF；
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离．
【答案】（1）证明：∵ DB⊥AB，
， 在 和 中，
∵点F是斜边AD的中点，
（2）解：连接CE，由（1）得
∴
∴
即C，E两点间的距离是
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先求出∠DEA=90°，再根据 点F是斜边AD的中点， 证明求解即可；
（2）先求出∠FEA=∠FAE，再求出∠EFC=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
8．（2023·永嘉模拟）如图，在中，，，，其中，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长DE至点H，使EH=DE，连接BH，过点C作CG⊥AB于点G，延长FB至点T，使BT=BD，连接HT，
∵∠A=45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG=CG，
∵∠F=∠ABC，EF⊥BC，设∠F=a，
∴∠EDB=∠FBE=90°-a，
∴∠FBD=∠FBE-∠ABC=90°-a-a=90°-2a，
∵BE⊥DH，EH=DE，
∴∠EBH=∠DBE=a，BH=BD，
∴∠FBH=∠FBE+∠EBH=90°-a+a=90°，
∴∠HBT=90°，
∵BT=BD=BH，
∴△HBT是等腰直角三角形，
∴∠T=45°，
设DB=HB=BT=x，AD=FB=y，
∴TF=x+y，AB=AD+DB=x+y，
∴FT=AB，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠T，
又∵∠F=∠ABC=a，
在△ABC与△TGH中，
∵∠A=∠T，AB=FT，∠ABC=∠F，
∴△ABC≌△TGH，
∴BC=FH，
设DE=z，
则FH=DE+EH+DF=z+z+2=2z+2，
∵ ，
∴2z+2= ，
解得z=，
即DE= .
故答案为：C.
【分析】延长DE至点H，使EH=DE，连接BH，过点C作CG⊥AB于点G，延长FB至点T，使BT=BD，连接HT，易得△ACG是等腰直角三角形，则AG=CG，由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得∠EBH=∠DBE=a，BH=BD，推出△HBT是等腰直角三角形，证出FT=AB，利用ASA判断出△ABC≌△TGH，得BC=FH，设DE=z，则FH=DE+EH+DF=z+z+2=2z+2，结合BC的长度建立方程，求解可得DE的长.
9．（2023八上·鄞州期末）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 °.
【答案】75
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D.连接BD，
∵△PCD中，∠CDP＝90°，∠APC＝60°，
∴∠DCP＝90°－∠APC＝30°，
∴PC＝2PD，
∵PC＝2PB，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠BDP＝∠DBP，
∵∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°，
∴∠BDP＝∠DBP＝30°，
∵∠ABP＝45°，
∴∠ABD＝∠ABP－∠DBP＝15°，
∵∠BAP＝∠APC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD＝15°，
∴BD＝AD，
∵∠DBP＝30°，∠DCP＝30°，
∴BD＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD＝AD，
∴AD＝DC，
∵∠CDA＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°.
故答案为：75.
【分析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连接BD，根据内角和定理可得∠DCP＝30°，则PC=2PD，由已知条件可知PC＝2PB，则BP＝PD，推出△BPD是等腰三角形，得到∠BDP＝∠DBP，由外角的性质可得∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°，则∠BDP＝∠DBP＝30°，由角的和差关系可得∠ABD=15°，∠BAP=15°，推出BD=AD，易得△ADC是等腰直角三角形，则∠ACD＝45°，然后根据∠ACB=∠DCP+∠ACD进行计算.
10．（2022八上·余姚期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴CE＝4，
∴AE＝AC EC＝7 4＝3，
∴BE＝3，
∴BD＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD与AC交于点E，根据等角对等边推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝7，BC＝4，即可推出BD的长度．
11．（2022八下·重庆市期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）.
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
，BP平分∠ABC，
又
，
CP是CDA的中线
△PAB的面积为，△PBC的面积为，
故答案为：A.
【分析】延长AP交BC于点D，证明，可得，，由三角形中线的性质可得，从而求出，继而得解.
二、阶段二（中等）
12．（2022八下·芜湖期中）如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，
，
，
又∵AF=AB，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，
∵AB+AE=EC，
∴AF+AE=EC，即EF=EC，
∴E为FC中点，
∵D为BC中点，
∴DE为△BCF的中位线，
∴BF=2DE，
∵DE=2，
∴AB=BF=4，
故答案为：B．
【分析】延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，先证出DE为△BCF的中位线，利用三角形中位线的性质可得BF=2DE，再结合DE的长求出AB=BF=4即可。
13．（2022八下·椒江期末）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作OH⊥AC于点H，连接CO、AO，
∵点E，F分别为AD和AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∵EF=5，
∴BD=10，
又∵∠DAB=∠BCD=90°，O为BD的中点，
∴OC=OA=BD=5，
∵AC=8，
∴AH=HC=AC=4，
∴在Rt△CHO中，OH===3，
∴O点到AC的距离为3.
故答案为：3.
【分析】如图所示，过点O作OH⊥AC于点H，连接CO、AO，易得EF是△ABD的中位线，得BD=10，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OC=OA=BD=5，由等腰三角形“三线合一”，可得AH=HC=AC=4，最后在Rt△CHO中利用勾股定理求得OH即可求解.
14．（2023九下·德化月考）如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且
（1）若，，求四边形的面积.
（2）求证：.
【答案】（1）解：连接，如图1，
在中，，为边的中线，
，，，
又，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
所以
，
（2）证明：延长至点，使得，连接，，如图，
，，
垂直平分，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接AD，由等腰直角三角形的性质得∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=CD，由同角的余角相等得∠EDA=∠CDF，用ASA判断出△AED≌△CFD，得AE=CF，从而可得AB=4，利用全等三角形面积相等可得四边形AEDF的面积等于△ADC的面积，从而利用三角形面积计算公式即可算出答案；
（2） 延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG， 易得DF是DE的垂直平分线，得EF=FG，用SAS判断出△BDE≌△CDG，得BE=CG，∠DCG=∠DBE，推出∠FCG=90°，从而在Rt△CFG中，利用勾股定理即可解决问题.
15．（2023·江北模拟）如图，正方形中，P为边上一点，点E与B关于直线对称，射线与的延长线相交于点F.若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，设与，交于点N，H，
∵点E与B关于直线对称，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CN＝DP，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接FB，设BE与CD、CF交于点N、H，根据轴对称的性质可得CB=CE，由垂直平分线的性质可得FB=FE，利用SSS证明△CBF≌△CEF，得到∠FBC=∠FEC，∠BFC=∠EFC，结合等腰三角形的性质可推出△BFE是等腰直角三角形，由垂直平分线的性质可得BH=HE=FH，利用ASA证明△BCN≌△CDP，得到CN=DP，设CN=DP=x，则BC=4x，BN=x，根据三角函数的概念可得BH，据此求解.
16．（2023八上·义乌期末）如图，在中，，是边上的高线，过点D作交于点E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连结交于点H，若，求的长.
【答案】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：作，交于G，交于点F，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又
，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
的长为.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，∠DAC=∠EAD，由平行线的性质可得∠EDA=∠DAC，则∠EAD=∠EDA，推出DE=AE，据此证明；
（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于点F，连接FH，易得△CDH、△EGH为等腰直角三角形，则DH=DC，∠DHC=45°，由平行线的性质可得∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB，进而推出AE=AF，得到△HEF是等腰直角三角形，证明△DEC≌△FCE，得到EF=DC，则GD=GH+DH=DC，AD=3DC，利用勾股定理可得CD的值，据此求解.
17．（2023九上·通川期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CEMN交AD于E，连接EM，CN，DN.
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EMCN.
【答案】（1）证明：在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠MFD＝135°，
∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠NMB＝∠MDF，
在△MDF和△NMB中，
，
∴△MDF≌△NMB（ASA），
∴DM＝MN；
（2）证明：∵CEMN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
在△EDC和△MAD中，
，
∴△EDC≌△MAD（ASA），
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵ECMN，
∴四边形EMNC为平行四边形，
∴EMCN.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，根据正方形的性质可得AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，易得△FAM是等腰直角三角形，则∠AFM＝45°，∠MFD＝135°，由角平分线的概念可得∠CBN＝45°，推出∠DFM＝∠MBN，根据同角的余角相等可得∠NMB＝∠MDF，利用ASA证明△MDF≌△NMB，据此可得结论；
（2）易得DM⊥CE，由同角的余角相等可得∠DEC＝∠AMD，根据正方形的性质可得DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，利用ASA证明△EDC≌△MAD，得到EC＝DM，结合DM＝MN可得EC＝MN，推出四边形EMNC为平行四边形，据此证明.
18．（2023八上·宁海期末）如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
又
∴平分
∵平分，，
∴
∴，
∴是边的垂直平分线，
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接AM，由等角的余角相等可得∠CAB=∠DEC，则AC=AE，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD平分∠ACE，根据角平分线的概念可得∠ACE=45°，则∠B=∠DCE=22.5°，易得△AMC是等腰直角三角形，据此求解.
19．（2022八上·黄冈月考）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且.
（1）如图①，当是边的中点时，求证：；
（2）如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB，则BD＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，证△AEF是等边三角形，得AE＝EF＝AF，再利用AAS证△DEB≌△ECF，得BD＝EF，即可得出结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再利用AAS证△CEF≌△EDB，得BD＝EF＝2，即可得出答案．
20．（2022八上·苍南期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E.
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长.
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴AE＝BE，
∴DE＝ AB＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：作EG∥BC，交AD于G，
∵AE＝BE，
∴AG＝DG，
∴EG＝ BD＝ CD，
∵EG∥BC，
∴ ＝ ，
∴GH＝ DH，EH＝ CH，
∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝DC，
∴AD＝3DC，
∵AB＝AC＝2 ，AC2＝AD2+DC2，
∴40＝9DC2+DC2，
∴DC＝2，
∴DH＝DC＝2，
∴CH＝ ＝2 ，
∴EH＝ CH＝ ，
∴EH的长为 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BD＝CD，结合DE∥AC，可得AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE＝ AB，即得DE=AE，根据等腰三角形的判定即证；
（2）作EG∥BC，交AD于G， 可得AG=DG，利用三角形的中位线定理可得EG＝ BD＝ CD，根据平行线分线段成比例定理可得GH＝DH，EH＝CH，易证△CDH是等腰直角三角形，可得 DH＝DC，由勾股定理可得AC2＝AD2+DC2，从而求出CD=2，利用勾股定理求出CH=2 ，继而求出EH.
三、阶段三（较难）
21．（2022八下·禹州期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F.若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……
（1）任务一：上面证明过程中得出“”的依据是 ；
（2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
（3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长.
【答案】（1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）解：任务二：如图，取EF的中点G，连接AG，
∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC＝90°，.
在Rt△AEF中，点G是EF的中点，
∴AG＝EG=FG=EF.
∵EF＝2AB，
∴AB＝AG.
∴∠ABG＝∠AGB.
∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.
∵，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠ABG＝2∠CBF，
∴∠ABC＝3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
（3）解：.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1） 上面证明过程中得出“”的依据是：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
故答案为： 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ；
（3）任务三：取AC的中点H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵BF是∠CBE的角平分线，
∴，
∵∠FBE=∠CAB+∠F，
∴∠CAB+∠F=45°，
∵∠CBA=90°，点H是AC的中点，
∴BH=AH=CH=BF，
∴∠HAB=∠HBA，∠BHF=∠F，
∴∠CHB=2∠HAB，
∴∠F=2∠HAB，
∴，
∴∠F=30°，
过C作CT⊥BF于T，则△BCT是等腰直角三角形，
∵CF=4，
∴BT=CT= 2，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答；
（2）取EF的中点G，连接AG，易得AG =FG，则得∠F=∠GAF，AB=AG，再根据平行线的性质、等边对等角及三角形外角性质求出∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF，即可得出结论；
（3）取AC的中点H，连接BH，过点C作CT⊥BF于T，根据矩形的性质、角平分线定义，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质求出∠F=30°，再求出CT，BT，FT的长，根据线段的和差关系即可得出结论.
22．（2023·浙江模拟）
（1）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，，点E，F分别在上，若，求证：.
（2）【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形.已知，道路上分别有景点M，N，且m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据：）
【答案】（1）证明：延长到点M，使，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵（m）.
∴路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1） 延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，由同角的补角相等得∠D=∠ABM，用SAS判断出△ABM≌△ADF，得AM=AF，∠MAB=∠DAF，推出∠EAM=∠EAF，用SAS判断出△AEM≌△AEF，得ME=EF， 从而即可得出结论；
（2） 延长DC、AB交于点G，连接CN、CM， 由四边形的内角和得∠A=30°，由三角形的内角和定理得∠G=90°，由含30°角直角三角形的性质得AD=2DG， ， 进而可得DG、AD、AG的长，进一步求出AM、AN的长，判断出△DCM是等边三角形，得∠DCM=60°，判断出△CGN是等腰直角三角形，得∠GCN=45°，由（1）的结论可得出MN的长，从而就可解决本题了.
23．（2023八下·西安月考）如图
（1）发现：如图1，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点.
①线段与的数量关系为： ；的度数为 .
②可看作经过怎样的变换得到的？ .
（2）应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离.
【答案】（1）AE=CD；60°；可看作绕点b顺时针旋转60°得到的
（2）解：若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下：
、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）解：.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
②由①知：，
，，，
，
可看作绕点顺时针旋转得到的，
故答案为：可看作绕点顺时针旋转得到的；
(3)解：过点作于，过点作，交延长线于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
.
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°，结合角的和差关系可得∠ABE=∠CBD，利用SAS证明△ABE≌△CBD，得到AE=CD，∠BAE=∠BCD，则∠CAE+∠BCD=60°，然后利用内角和定理进行计算；
②由①知△ABE≌△CBD，则AB=BC，BE=BD，AE=CD，据此解答；
（2）同（1）①进行解答；
（3）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD，交DA延长线于F，则△CDE是等腰直角三角形，CE=DE=，AE=AD-DE=8-，利用AAS证明△BFA≌△AEC，得到AF=CE，BF=AE，由DF=AD+AF求出DF，然后根据勾股定理进行计算.
24．（2023八下·福州月考）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若.探究线段三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.
【答案】（1）解：，
（2）解：关系式仍然成立.
证明：将沿直线对折，得，连接
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴在中，，
即；
解法二：将绕点A顺时针旋转得到.连接.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）解：当时，线段能构成一个等腰三角形.
如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取，
可得.
∴.
∴.
若使为等腰三角形，只需，
即，
∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为.
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） ，证明如下：
将绕A顺时针旋转后成，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）BD2+EC2=DE2，理由如下：将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△ABE'，连接DE'，由旋转的性质及角的和差得∠EAD=∠E'AD=45°，由SAS判断出△ADE'≌△ADE，得DE'=DE，由等腰直角三角形性质得∠ABC=∠C=45°，推出∠E'BD=90°，在Rt△E'BD中，由勾股定理得E'D2=E'B2+BD2，从而即可得出结论；
（2）BD2+EC2=DE2任然成立，理由如下：解法一： 将△ADB沿直线AD对折得△AFD，连接FE，由翻折知AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，推出AF=AC，∠FAE=∠EAC，用SAS证出△AFE≌△ACE， 得FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=135°，则∠DFE=90°，在Rt△DEF中由勾股定理得DF2+FE2=DE2，即可得出结论；解法二： 将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB，连接DT，由旋转得∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，推出∠TBC=90°，∠DAT=∠DAE，用SAS判断出△DAT≌△DAE， 得DT=DE，从而利用勾股定理即可得出结论；
（3） 当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，得AD=DF，EF=BE，则∠DFE=120°，若使△DEF为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，从而即可得出结论.
25．（2023八下·南宁月考）
（1）【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是 .
（2）【类比应用】如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.
（3）【拓展延伸】在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.
【答案】（1）AB=AF+AE
（2）解：.理由是：
取中点G，连接，如图2
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的长为或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：【探究发现】（1）如图1，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【拓展延伸】（3）解：当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，
当，，时，
，此时F在的延长线上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
当点E在延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：的长为或.
【分析】【探究发现】根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，由同角的余角相等可得∠BDF=∠ADE，利用ASA证明△BDF≌△ADE，得到BF=AE，据此解答；
【类比应用】
取AB的中点G，连接DG，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG=BC，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=60°，由角的和差关系可得∠GDF=∠ADE，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF=AE，据此解答；
【拓展延伸】当点E在线段AC上时，取AC的中点H，连接DH，当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，AE=4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得△ADF≌△HDE，得到AF=HE，则AH=CH=，CE=1，然后根据AF=HE=CH-CE进行计算；当点E在AC延长线上时，同理求解即可.
26．（2023八上·江北期末）平行四边形中，，点E在边上，连接.
（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：.
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接.若平分，，，，.请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积.
【答案】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）证明：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
（3）解：；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴.
【分析】（1）过点G作GK⊥AD于点K，由平行四边形的性质可得∠DAC=∠ACB，AB=CD，AD∥
BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，易得∠ABC=60°，∠ACD=∠BAC=90°，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠AEB=∠CBE=30°，则∩CBE=∠ACB，AE=AB，推出CG=BG，然后求出AG、AC、AE、KG的值，再根据S四边形EGCD=S△ACD-S△AGE进行计算；
（2）过点A作AJ⊥AM于点A，交FH延长线于点J，则点A，B，F，H四点共圆，则∠BHA=∠AFB=45°，推出△AHJ是等腰直角三角形，则JH=AH，利用SAS证明△ABH≌△AFJ，得到BH=FJ，据此证明；
（3）取AB的中点M，AE的中点N，连接PM、NQ、MN，由（1）得BE=3，易得四边形PMNQ为平行四边形，则PM=NQ，结合中点的概念可得BM=BR，证明△PBM≌△PBR，得到PR=PM，则NQ=PR，CQ+PQ+PR=CQ+NQ+，故当点N，Q，C三点共线时，CQ+NQ的值最小，过点C作CS⊥AD于点S，易得AC、CD、AE、AM、AD、CS、SD、MS、CM的值，据此不难求出CQ+PQ+PR的最小值，然后根据S△CEQ=S四边形EGCD-S△CDE进行计算.
27．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
28．（2022八上·潼南期中）如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
（2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.
（3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在AB上截取，连接ME，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）连接GE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵AE是GD的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）由同角的补角相等可得∠CAE=∠AEC，由等角对等边可得AC=CE，结合已知并根据角的构成可求解；
（2）在AB上截取AM=AD，结合题意用边角边可证，则∠AME=∠ADE，∠AEM=∠AED，由角的构成和等式的性质可得∠ADC=∠BME；由等边对等角得∠AEC=∠CAE，结合图形，由角得构成和三角形外角的性质得∠BEM=∠C，结合题意用角角边可证，则BM=AD，于是可得AB=2AD；
（3）连接GE，由题意易证AG=AD，由线段得垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得GE=ED，由全等三角形的性质得GE=CD=ED，过点C作CN⊥AE交于点N，易得，然后根据图形的构成可求解.
29．（2022九上·浦城期中）
（1）如图1，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：．请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明．
（2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，中，，，P为内部一点，且，则 ．
【答案】（1）证明：如图1，将绕点顺时针旋转到，
，≌，
∴，
∴
∴点E，点C，点D三点共线，
∵，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（2）解：理由如下：
如图2，将绕点B顺时针旋转到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
即；
（3）15°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如图，将翻转得到正方形．
连接，取中点E，
∵，
∴⊥．
将反向延长交于F点．
则且点F是的中点，
∴是以为底边的等腰三角形．
所以有，则是等边三角形．
∴，则
∴．
【分析】（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，则PB=PE，AP=CE，∠BCE=∠A=90°，易得∠ABP+∠CBQ=45°，∠FBC+∠CBE=45°，推出∠QBE=∠PBQ，利用SAS证明△BQE≌△BQP，得到PQ=QE，据此证明；
（2）同（1）进行证明；
（3）将△ABC翻转180°得到正方形ACBD，连接PD，取BC的中点E，由等腰三角形的性质可得PE⊥BC，将EP反向延长交AD于F点，则PF⊥AD且点F是AD的中点，推出△APD是以AD为底边的等腰三角形，则AP=PD=AC=AD，进而得到△APD是等边三角形，∠PAD=60°，据此求解.
30．（2022八下·临海期末）如图，在正方形中，是上一点（不与端点，重合），连接过点作的垂线，分别交，于点，延长到点，使得，连接，．
（1）求证：≌；
（2）①若，则 ；
改变的度数，的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出与之间的关系，若不改变，请说明理由；
（3）如图2，若，求与的长．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：①45；
②改变的度数，的度数不会发生改变，理由如下： 设，则， 由①知：， ，， ， ；
（3）解：如图2，过点作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由知：≌，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）①，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：45；
【分析】（1）由正方形性质得AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠CDE=∠DAF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①根据三角形的内角和定理可得∠DAF=30°，根据等腰三角形的判定定理可得AD=DG=CD，则∠DGH=∠DAF=30°，则∠CDG=30°，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠DCG=∠DGC=75°，然后根据∠AGC=∠DGC-∠DGA进行计算；
②设∠ADE=α，则∠DAF=∠DGF=90°-α，由①知AD=DG=CD，根据等腰三角形的性质可得∠FDG=∠ADF=α，∠CDG=2α-90°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠DCG、∠DGC，然后根据∠AGC=∠DGC-∠DGA进行计算；
（3）过点C作CM⊥AG于M，易得△CMG是等腰直角三角形，MG=CM，根据全等三角形的性质可得DH=CE=CH，利用勾股定理可得AH，根据△ADH的面积公式可得DF，证明△DFH≌△CMH，得到CM=DF=2则CM=MG=2，据此可得CG.
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