人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线做垂线（不含相似八九年级适用）
一、一阶段（较易）
1．（2023八下·永定期中）如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E
，平分
，
点D到的距离是
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据CD=BC-BD进行计算.
2．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
3．（2023八上·汉阴期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
4．（2023八上·武义期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=EF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
5．（2023八上·澄城期末）如图，在四边形中，，，，，则点到边的距离等于 ．
【答案】2
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∴∠BED=∠BDC=∠A=90°，
∴∠C+∠EDC=90°，∠BDE+∠EDC=90°，AD⊥AB，
∴∠C=∠BDE，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠BDE，
∴BD平分∠ADE，
∴AD=DE=2，
∴点D到BC边的距离为2
故答案为：2
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，利用垂直的定义可证得∠BED=∠BDC=∠A=90°，利用余角的性质可推出∠C=∠BDE，AD⊥AB，由此可推出∠ADB=∠BDE，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC边的距离.
6．（2022八上·平谷期末）如图，中，，平分交于点P，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点H，
平分，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】过点P作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积可得。
7．（2022八上·河北期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是 ．
【答案】50
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O作于点E，
∵平分于点D，
∴，
∴的面积=，
故答案为：50．
【分析】根据题意先求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
8．（2022八上·鞍山期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 .
【答案】（-4，3）
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，于点E，
∵平分，，，
∴．
∵点A到y轴的距离是4，
∴．
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标是．
故答案为：．
【分析】过点A作于点E，利用角平分线的性质可得，再求出，最后结合点A在第二象限，即可得到点A的坐标。
9．（2021八上·宁波期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE=EF，
∵S△BCE=
×BC×EF=5，
∴×5×EF=5，
∴EF=DE=2，
故答案为：2.
【分析】过E作EF⊥BC于F，由角平分线的性质可得DE=EF，根据S△BCE=
×BC×EF=5即可求解.
10．（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
二、二阶段（中等）
11．（2022八上·大连期末）如图，在四边形中，，平分，，则的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作，交的延长线于F，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴的面积，
故答案为：A．
【分析】过D作，交的延长线于F，先求出，再利用三角形的面积公式求出的面积即可。
12．（2023八上·绍兴期末）如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论；
（2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了.
13．（2023八上·平桂期末）如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，由同角的补角相等可得∠CBD＝∠EAD，利用AAS证明△AED≌△BFD，得到DE＝DF，推出点D在∠BCE的角平分线上，据此证明.
14．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
15．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
16．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
17．（2021八上·弋江期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证明△BAD≌△CAE即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N，根据全等三角形的性质可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，再根据可得AM=AN，可证点A在∠BFE平分线上，即可得到FA平分∠BFE。
18．（2022八上·临海期末）如图，在中，是的平分线，延长至点E，使，连接，若，的面积为1，则的面积是 .
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，
∵DECD，△BDE的面积为1，
∴S△BCD＝2S△BDE＝2，
∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC，
∴DG＝DH，
∵AC＝2BC，，，
∴S△ACD＝2S△BCD，
∴S△ACD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，根据DE=CD结合三角形的面积公式可得S△BCD＝2S△BDE＝2，根据角平分线的性质可得DG＝DH，推出S△ACD＝2S△BCD=4，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD进行计算.
19．（2022八上·杭州期中）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P.
（1）求线段OP的长度；
（2）连接OH，求∠AHO的度数；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM-S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值.
【答案】（1）解：∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1；
（2）解：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON＝360°-3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°-∠MOP.
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON.
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠AHO＝∠AHC＝45°；
（3）解：S△BDM-S△ADN的值不发生改变，等于.理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠DOM.
∵MD⊥ND，
即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°-∠MDA.
在△ODM和△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM-S△ADN＝S△BDM-S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO BO＝××3×3＝.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰直角三角形；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAP＝∠OBC，由已知条件可知AO=BO，利用ASA证明△OAP≌△OBC，得到OP＝OC，据此解答；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，根据四边形内角和为360°可得∠MON＝90°，根据同角的余角相等可得∠COM＝∠PON，利用AAS证明△COM≌△PON，得到OM＝ON，推出HO平分∠CHA，然后根据角平分线的概念进行计算；
（3）连接OD，根据等腰直角三角形的性质可得OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，则∠OAD＝45°，∠MOD＝135°，∠DAN＝135°＝∠DOM，由同角的余角相等可得∠MDO＝∠NDA，证明△ODM≌△ADN，得到S△ODM＝S△ADN，然后根据S△BDM-S△ADN＝S△BDM-S△ODM＝S△BOD＝S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
20．（2022八上·如皋月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
【答案】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，CD，利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，利用角平分线的性质可推出DE=DF，同时可证得∠DEB=∠DFC=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可知DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，利用HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，利用全等三角形的性质可证得AE=AF，由此可证得CF=AE-AC，再证明AB-AE=AE-AC，代入求出AE的长，然后根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.
三、三阶段（较难）
21．（2022八上·交城期中）综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：
过点P作，，垂足分别为E，F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：过点P作，垂足分别为，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分线，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得；
（2）过点P作，，垂足分别为E，F，利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，垂足分别为，利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
22．（2022八上·义乌期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：≌；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD=∠ACE，
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴①说法正确，符合题意；
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE+∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF+∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE+60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE+30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE=∠GEC-30°，
又∵∠GEC＝∠GBE+∠BGE，
∴∠BGE＝30°，
∴②说法正确，符合题意；
如图，过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴GT＝GJ=GK，
∴FG平分∠EFD，
∵∠BFE=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠GFJ=∠C＝60°，
∵∠GJF＝∠GKC＝90°，
∴△GJF≌△GKC（AAS），
∴∠TGF=∠CGK=90°-∠C=30°，
设∠GBE=x，则∠ABG=60°-x，∠BGK=90°-x，
∵BG=BG，GT=GK，
∴Rt△GTB≌Rt△GKB（HL），
∴∠BGT=∠BGK=90°-x，
∴∠BGF=∠BGT-∠TGF=90°-x-30°=60°-x，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴③说法正确，符合题意；
∵△GJF≌△GKC，
∴GF＝GC，
∵∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∠AGH＝∠BGF+∠AGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH+GF＝AG+GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH+FG，
∴④说法正确，符合题意.
故答案为：A．
【分析】①根据等边三角形性质，结合AD=CE，利用“SAS”证明△ABD≌△CAE即可；②利用①已证出△ABD≌△CAE可得∠CAE＝∠ABD，利用三角形外角性质及角和差关系可得∠AEC＝∠FBE+60°，再根据角平分线定义得∠GEC＝∠AEC＝∠FBE+30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE=∠GEC-30°，再等量代换即可求得∠BGE＝30°；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，根据角平分线性质及判定定理推出FG平分∠EFD，从而得∠GFJ=∠C＝60°，再证出△GJF≌△GKC，可得∠TGF=∠CGK=30°，设∠GBE=x，则∠ABG=60°-x，∠BGK=90°-x，易证Rt△GTB≌Rt△GKB，从而得∠BGT=∠BGK=90°-x，进而得到∠BGF=∠BGT-∠TGF=60°-x，即可证出∠ABG＝∠BGF；由②可知△GJF≌△GKC，得GF＝GC，由∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，可得∠BAH＝∠AGF，再通过三角形外角性质及角的和差关系等量代换可得∠AHG＝∠AGH，从而得到AH＝AG，进而证得AB＝AH+FG. 据此逐项分析，判断即可.
23．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S△CBD＝S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形性质得∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，根据角的和差关系得∠BCD=∠CAE，证明△BCD≌△CAE，得到BD＝CE，据此判断①；作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，则∠AFC＝120°，根据角平分线的概念可得∠CFH＝∠AFH＝60°，则∠CFH＝∠CFE＝60°，由角平分线的性质可得CM＝CN，证明△ECM≌△GCN，得到CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，则∠MCN＝∠ECG＝60°，易得AE＝HG，则AM＝HN，证明△AMC≌△HNC，得到∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，推出△ACH是等边三角形，据此判断②；由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，据此判断③；根据全等三角形的性质可得S△ACE＝S△CGH，S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，据此判断④.
24．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【分析】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB） PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
25．（2021八上·营山期中）如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【答案】（1）证明：由题意，在△ACF和△BDF中，
，
∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：
则∠AHC=∠AGB=90°，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACH≌△ABG （AAS）
∴AH=AG．
∴AD平分∠CDM．
（3）解：∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFD， 在△ACF和△BDF中， 利用三角形内角和即可推出∠BDC=∠BAC；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，利用AAS证明△ACH≌△ABG ，可得AH=AG，根据角平分线的判定即证结论；
（3）∠BAC的度数不变化，理由如下：在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，可得AD=AP，∠BAD=∠CAP，从而推出△ADP是等边三角形， 可得∠DAP=60°，最后根据角的和差及等量代换，由∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=∠DAP即可求解.
26．（2021八上·武昌期末）如图1，在 中， ， 分别是 和 的角平分线， 和 相交于D点.
（1）求证： 平分 ；
（2）如图2，过F作 于点P，连接 ，若 ， ，求证： ；
（3）如图3，若 ，求证： .
【答案】（1）证明：如图所示，
过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）证明：如图，作 ， ，在 上取一点 ，使 .
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：延长 至M，使 ，连接 .
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS⊥AC，DT⊥BC， 在AC上取一点Q，使 ，通过证明 和 得到 ，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长 至M，使 ，连接 ，通过证明 得到 ，再结合 即可得出结论.
27．（2020八上·上海月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE= ∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系 ．
【答案】（1）证明：如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）DE= B E+DC
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE= ∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
28．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
29．（2020八上·慈溪期末）如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ，交 于 .
（1）求证： ；
（2）如图1，连结 ，问 是否为 的平分线？请说明理由.
（3）如图2， 为 的中点，连结 交 于 ，用等式表示 与 的数量关系？并给出证明.
【答案】（1）证明：
是等腰直角三角形，且
（等腰三角形的三线合一性）
在等腰 中，
在 和 中，
；
（2）解： 是 的平分线，理由如下：
如图1，过点D分别作 ，则
由（1）已证：
，即
在 和 中，
是 的平分线；
（3）解： ，证明过程如下：
如图2，连接BR
由（1）已证： 是等腰直角三角形，
为底边 的中点
（等腰三角形的三线合一性）
是AB的垂直平分线
则在 中，
故 .
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可求出 ，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图1（见解析），过点D分别作 ，由题（1）两个三角形全等可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质 ，最后根据角平分线的判定即可得出结论；
（3）如图2（见解析），连接BR，先根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质可得 ，从而可求得 ，再根据勾股定理可得 ，最后根据等腰三角形的性质、等量代换即可得出答案.
30．（2019八上·和平月考）如图，已知等边 和等边 ，点 在 的延长线上， 的延长线交 于点M，连 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，
在△APB和△CEB中，
，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
∴∠PME=∠PBE=60゜，
作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，
∴∠AMB= ∠AME= ×120°=60°，
∵∠ABM=40°，
∴∠BAP=80°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，证得△APB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得到∠APB=∠CEB，于是得到∠PME=∠PBE=60゜，作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，通过△BNP≌△BFE（AAS），得到BN=BF，根据角平分线的性质得到BM平分∠AME，求得∠AMB= ∠AME= ×120°=60°，根据三角形的内角和即可得到结论．
1 / 1人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线做垂线（不含相似八九年级适用）
一、一阶段（较易）
1．（2023八下·永定期中）如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
3．（2023八上·汉阴期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
4．（2023八上·武义期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
5．（2023八上·澄城期末）如图，在四边形中，，，，，则点到边的距离等于 ．
6．（2022八上·平谷期末）如图，中，，平分交于点P，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·河北期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是 ．
8．（2022八上·鞍山期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 .
9．（2021八上·宁波期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 .
10．（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、二阶段（中等）
11．（2022八上·大连期末）如图，在四边形中，，平分，，则的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．（2023八上·绍兴期末）如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
13．（2023八上·平桂期末）如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
14．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
15．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
17．（2021八上·弋江期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
18．（2022八上·临海期末）如图，在中，是的平分线，延长至点E，使，连接，若，的面积为1，则的面积是 .
19．（2022八上·杭州期中）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P.
（1）求线段OP的长度；
（2）连接OH，求∠AHO的度数；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM-S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值.
20．（2022八上·如皋月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
三、三阶段（较难）
21．（2022八上·交城期中）综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
22．（2022八上·义乌期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：≌；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
23．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S△CBD＝S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
25．（2021八上·营山期中）如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
26．（2021八上·武昌期末）如图1，在 中， ， 分别是 和 的角平分线， 和 相交于D点.
（1）求证： 平分 ；
（2）如图2，过F作 于点P，连接 ，若 ， ，求证： ；
（3）如图3，若 ，求证： .
27．（2020八上·上海月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE= ∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系 ．
28．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
29．（2020八上·慈溪期末）如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ，交 于 .
（1）求证： ；
（2）如图1，连结 ，问 是否为 的平分线？请说明理由.
（3）如图2， 为 的中点，连结 交 于 ，用等式表示 与 的数量关系？并给出证明.
30．（2019八上·和平月考）如图，已知等边 和等边 ，点 在 的延长线上， 的延长线交 于点M，连 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E
，平分
，
点D到的距离是
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据CD=BC-BD进行计算.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
3．【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
4．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=EF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
5．【答案】2
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∴∠BED=∠BDC=∠A=90°，
∴∠C+∠EDC=90°，∠BDE+∠EDC=90°，AD⊥AB，
∴∠C=∠BDE，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠BDE，
∴BD平分∠ADE，
∴AD=DE=2，
∴点D到BC边的距离为2
故答案为：2
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，利用垂直的定义可证得∠BED=∠BDC=∠A=90°，利用余角的性质可推出∠C=∠BDE，AD⊥AB，由此可推出∠ADB=∠BDE，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC边的距离.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点H，
平分，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】过点P作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积可得。
7．【答案】50
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O作于点E，
∵平分于点D，
∴，
∴的面积=，
故答案为：50．
【分析】根据题意先求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
8．【答案】（-4，3）
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，于点E，
∵平分，，，
∴．
∵点A到y轴的距离是4，
∴．
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标是．
故答案为：．
【分析】过点A作于点E，利用角平分线的性质可得，再求出，最后结合点A在第二象限，即可得到点A的坐标。
9．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE=EF，
∵S△BCE=
×BC×EF=5，
∴×5×EF=5，
∴EF=DE=2，
故答案为：2.
【分析】过E作EF⊥BC于F，由角平分线的性质可得DE=EF，根据S△BCE=
×BC×EF=5即可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作，交的延长线于F，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴的面积，
故答案为：A．
【分析】过D作，交的延长线于F，先求出，再利用三角形的面积公式求出的面积即可。
12．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论；
（2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了.
13．【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，由同角的补角相等可得∠CBD＝∠EAD，利用AAS证明△AED≌△BFD，得到DE＝DF，推出点D在∠BCE的角平分线上，据此证明.
14．【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
15．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
16．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
17．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证明△BAD≌△CAE即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N，根据全等三角形的性质可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，再根据可得AM=AN，可证点A在∠BFE平分线上，即可得到FA平分∠BFE。
18．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，
∵DECD，△BDE的面积为1，
∴S△BCD＝2S△BDE＝2，
∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC，
∴DG＝DH，
∵AC＝2BC，，，
∴S△ACD＝2S△BCD，
∴S△ACD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，根据DE=CD结合三角形的面积公式可得S△BCD＝2S△BDE＝2，根据角平分线的性质可得DG＝DH，推出S△ACD＝2S△BCD=4，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD进行计算.
19．【答案】（1）解：∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1；
（2）解：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON＝360°-3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°-∠MOP.
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON.
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠AHO＝∠AHC＝45°；
（3）解：S△BDM-S△ADN的值不发生改变，等于.理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠DOM.
∵MD⊥ND，
即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°-∠MDA.
在△ODM和△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM-S△ADN＝S△BDM-S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO BO＝××3×3＝.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰直角三角形；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAP＝∠OBC，由已知条件可知AO=BO，利用ASA证明△OAP≌△OBC，得到OP＝OC，据此解答；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，根据四边形内角和为360°可得∠MON＝90°，根据同角的余角相等可得∠COM＝∠PON，利用AAS证明△COM≌△PON，得到OM＝ON，推出HO平分∠CHA，然后根据角平分线的概念进行计算；
（3）连接OD，根据等腰直角三角形的性质可得OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，则∠OAD＝45°，∠MOD＝135°，∠DAN＝135°＝∠DOM，由同角的余角相等可得∠MDO＝∠NDA，证明△ODM≌△ADN，得到S△ODM＝S△ADN，然后根据S△BDM-S△ADN＝S△BDM-S△ODM＝S△BOD＝S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
20．【答案】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，CD，利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，利用角平分线的性质可推出DE=DF，同时可证得∠DEB=∠DFC=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可知DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，利用HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，利用全等三角形的性质可证得AE=AF，由此可证得CF=AE-AC，再证明AB-AE=AE-AC，代入求出AE的长，然后根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.
21．【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：
过点P作，，垂足分别为E，F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：过点P作，垂足分别为，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分线，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得；
（2）过点P作，，垂足分别为E，F，利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，垂足分别为，利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
22．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD=∠ACE，
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴①说法正确，符合题意；
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE+∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF+∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE+60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE+30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE=∠GEC-30°，
又∵∠GEC＝∠GBE+∠BGE，
∴∠BGE＝30°，
∴②说法正确，符合题意；
如图，过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴GT＝GJ=GK，
∴FG平分∠EFD，
∵∠BFE=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠GFJ=∠C＝60°，
∵∠GJF＝∠GKC＝90°，
∴△GJF≌△GKC（AAS），
∴∠TGF=∠CGK=90°-∠C=30°，
设∠GBE=x，则∠ABG=60°-x，∠BGK=90°-x，
∵BG=BG，GT=GK，
∴Rt△GTB≌Rt△GKB（HL），
∴∠BGT=∠BGK=90°-x，
∴∠BGF=∠BGT-∠TGF=90°-x-30°=60°-x，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴③说法正确，符合题意；
∵△GJF≌△GKC，
∴GF＝GC，
∵∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∠AGH＝∠BGF+∠AGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH+GF＝AG+GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH+FG，
∴④说法正确，符合题意.
故答案为：A．
【分析】①根据等边三角形性质，结合AD=CE，利用“SAS”证明△ABD≌△CAE即可；②利用①已证出△ABD≌△CAE可得∠CAE＝∠ABD，利用三角形外角性质及角和差关系可得∠AEC＝∠FBE+60°，再根据角平分线定义得∠GEC＝∠AEC＝∠FBE+30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE=∠GEC-30°，再等量代换即可求得∠BGE＝30°；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，根据角平分线性质及判定定理推出FG平分∠EFD，从而得∠GFJ=∠C＝60°，再证出△GJF≌△GKC，可得∠TGF=∠CGK=30°，设∠GBE=x，则∠ABG=60°-x，∠BGK=90°-x，易证Rt△GTB≌Rt△GKB，从而得∠BGT=∠BGK=90°-x，进而得到∠BGF=∠BGT-∠TGF=60°-x，即可证出∠ABG＝∠BGF；由②可知△GJF≌△GKC，得GF＝GC，由∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，可得∠BAH＝∠AGF，再通过三角形外角性质及角的和差关系等量代换可得∠AHG＝∠AGH，从而得到AH＝AG，进而证得AB＝AH+FG. 据此逐项分析，判断即可.
23．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形性质得∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，根据角的和差关系得∠BCD=∠CAE，证明△BCD≌△CAE，得到BD＝CE，据此判断①；作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，则∠AFC＝120°，根据角平分线的概念可得∠CFH＝∠AFH＝60°，则∠CFH＝∠CFE＝60°，由角平分线的性质可得CM＝CN，证明△ECM≌△GCN，得到CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，则∠MCN＝∠ECG＝60°，易得AE＝HG，则AM＝HN，证明△AMC≌△HNC，得到∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，推出△ACH是等边三角形，据此判断②；由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，据此判断③；根据全等三角形的性质可得S△ACE＝S△CGH，S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，据此判断④.
24．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【分析】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB） PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
25．【答案】（1）证明：由题意，在△ACF和△BDF中，
，
∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：
则∠AHC=∠AGB=90°，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACH≌△ABG （AAS）
∴AH=AG．
∴AD平分∠CDM．
（3）解：∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFD， 在△ACF和△BDF中， 利用三角形内角和即可推出∠BDC=∠BAC；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，利用AAS证明△ACH≌△ABG ，可得AH=AG，根据角平分线的判定即证结论；
（3）∠BAC的度数不变化，理由如下：在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，可得AD=AP，∠BAD=∠CAP，从而推出△ADP是等边三角形， 可得∠DAP=60°，最后根据角的和差及等量代换，由∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=∠DAP即可求解.
26．【答案】（1）证明：如图所示，
过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）证明：如图，作 ， ，在 上取一点 ，使 .
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：延长 至M，使 ，连接 .
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS⊥AC，DT⊥BC， 在AC上取一点Q，使 ，通过证明 和 得到 ，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长 至M，使 ，连接 ，通过证明 得到 ，再结合 即可得出结论.
27．【答案】（1）证明：如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）DE= B E+DC
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE= ∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
28．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
29．【答案】（1）证明：
是等腰直角三角形，且
（等腰三角形的三线合一性）
在等腰 中，
在 和 中，
；
（2）解： 是 的平分线，理由如下：
如图1，过点D分别作 ，则
由（1）已证：
，即
在 和 中，
是 的平分线；
（3）解： ，证明过程如下：
如图2，连接BR
由（1）已证： 是等腰直角三角形，
为底边 的中点
（等腰三角形的三线合一性）
是AB的垂直平分线
则在 中，
故 .
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可求出 ，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图1（见解析），过点D分别作 ，由题（1）两个三角形全等可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质 ，最后根据角平分线的判定即可得出结论；
（3）如图2（见解析），连接BR，先根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质可得 ，从而可求得 ，再根据勾股定理可得 ，最后根据等腰三角形的性质、等量代换即可得出答案.
30．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，
在△APB和△CEB中，
，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
∴∠PME=∠PBE=60゜，
作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，
∴∠AMB= ∠AME= ×120°=60°，
∵∠ABM=40°，
∴∠BAP=80°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，证得△APB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得到∠APB=∠CEB，于是得到∠PME=∠PBE=60゜，作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，通过△BNP≌△BFE（AAS），得到BN=BF，根据角平分线的性质得到BM平分∠AME，求得∠AMB= ∠AME= ×120°=60°，根据三角形的内角和即可得到结论．
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