人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线作平行线、轴对称（不含相似八九年级适用）
一、阶段一（较易）
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝．求BC的长．
2．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
4．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB＝12，AC＝22，则MP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2018八上·双城期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
6．（2017八下·海安期中）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CE＝1cm，则BF＝ cm.
7．（2018九上·重庆月考）如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE.点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M.
（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF= ，求△ABE的面积；
（2）求证：DE=2CM.
8．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．（2022八上·余杭月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．
（1）如图1，若是边上的中点，求证：．
（2）过点作于点．
①如图2，若是边上的任意一点，求证：；
②若点是射线上一点，，，，求的长度．
二、阶段二（中等）
11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为
12．（2022八下·成都期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 ．
13．（2022八下·宁波期中）如图，在中，和的角平分线分别交于点E和F，若，则 .
14．（2022八下·化州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
15．（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
16．（2020八下·襄城期末）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，当点F是CD的中点时，若AB＝4，则BC＝ .
17．（2021八下·钦州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 .
18．（2021八下·重庆月考）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG.
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE.
19．（2021八下·宁波期中）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点P在边CD上，且PC平分∠BPD，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E.则EF＝ .
20．（2019九上·坪山月考）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则ED= ．
三、阶段三（困难）
21．（2020八下·丹东期末）如图， ，OC是 的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60度，交OB所在的直线于F，
（1）按要求画图，并完成证明；过点M作MH//OA，交射线OB于H，求证： 是等边三角形；
（2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；
（3）当点F落在射线OB反向延长线上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；
（4）点G是射线OA上一点，且满足OG=8，若MG=7，OF=1.5，请直接写出OE的长；
22．（2021八下·邛崃期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是 ，△CDE的周长是 .
23．（2020八下·广州月考）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作 EBFH．
（1）证明： EBFH是菱形；
（2）（如图2）若∠ABC＝90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB＝10，AD＝6，M是EF的中点，求CM的长．
（3）（如图3）若∠ABC＝60°，连结HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
24．（2018八下·柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN= .
25．（2023九上·双流期末）如图，在正方形中，，分别是其外角和的平分线，点E在射线上，点F在射线上，连接，，.已知.
（1）求证：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
（2）若为等腰直角三角形，探究线段，之间的数量关系；
（3）当时，请求出的值.
26．（2023九上·通川期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
27．（2022·兰州）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值．
28．（2017八下·万盛开学考）数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
同学们作了一步又一步的研究：
（1）、经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）、小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）、小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
29．（2017八下·罗山期中）探究题
【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）【探究展示】
直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系： ；
（2）【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
30．（2019八下·成华期末）如图1．在边长为10的正方形 中，点 在边 上移动（点 不与点 ， 重合）， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，将正方形 沿 所在直线折叠，则点 的对应点为点 ，点 落在点 处， 与 交于点 ，
（1）若 ，求 的长；
（2）随着点 在边 上位置的变化， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 的度数；
（3）随着点 在边 上位置的变化，点 在边 上位置也发生变化，若点 恰好为 的中点（如图2），求 的长．
答案解析部分
1．【答案】作BE⊥AD于E，
∴∠BEA=∠BED=90°．
∵∠A=45°，
∴∠ABE=45°．
∵∠ABD=75°，
∴∠EBD=30°．
∵∠DBC=30°，
∴∠DBE=∠DBC．
∵∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴BE=BC．
在Rt△ABE中，AB=2，由勾股定理，得BE=2
∴BC=2．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】作BE⊥AD于E，就可以得出△ABE为等腰直角三角形，由勾股定理就由求出BE的值，由△BDE≌△BDC就可以得出BC=BE得出结论．
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=2∠BOP=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=
PC=
×4=2．
所以PD=2
故选C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，作辅助线是关键
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL)，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选B．
【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长BP交AC于N，利用角边角定理求证△ABP≌△ANP，再利用M是BC中点，求证PM是△BNC的中位线，即可求出MP的长。
【解答】延长BP交AC于N
∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，
∴∠BAP=∠NAP，∠APB=∠APN=90°，
∴△ABP≌△ANP（ASA)，
∴AN=AB=12，BP=PN，
∴CN=AC-AN=22-12=10，
∵BP=PN，BM=CM，
∴PM是△BNC的中位线，
∴PM=CN=5．
故选C．
【点评】全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
5．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
6．【答案】2+
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形。
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE= EM= cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1+ +1=2+ cm.
故答案为：2+ .
【分析】根据已知ABCD是正方形及BE平分∠DBC，因此添加辅助线，过点E作EM⊥BD于点M，可得出EM=EC=1cm，再证明△DEM为等腰直角三角形，可求出DE的长，然后根据旋转的性质得出CF=CE，根据BF=BC+CF=CE+DE+CF，即可求出答案。
7．【答案】（1）解：由题意易得∠BDF=90°，
∵点E是BD的三等分点（DE＜BE）
∴设BE＝DF=2x，DE=x.
在Rt△BDF中，∠BDF=90°
∵BD +DF =BF
∴9x +4x =156解得x=
∴BE=2x= ，AO= BD=
∴△ABE面积= ·BE·AO= =18.
（2）证明：同时延长DF、BC交于点H.
∵O是BD中点，OC∥DF
∴M是BF中点，C是BH中点.
∴CM是△BFH的中位线.
即FH=2CM.
在△EBA与△FDC中
EB=FD；∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB
∴△EBA≌△FDC（SAS）.
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFH.
∵CM∥FH
∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°.
在△AED与△CFH中
∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF
∴△AED≌△CFH（AAS）
∴DE=FH=2CM.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的对角线平分一组对角可证∠BDC=45°，利用角平分线的定义可证得∠CDF=45°，可推出∠BDF=90°，设DE=x，由点E时BD的三等分点，表示出BE，DF，在Rt△BDF中，利用勾股定理求出x的值，可得到BE，BD，AO的长然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积。
（2）延长DF、BC交于点H，利用平行线分线段成比例定理可证点C时BH的中点，利用三角形中位线定理可证得FH=2CM；再利用SAS证明△EBA≌△FDC，可证得 AE=CF，∠AEB=∠CFD，再去证明 ∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH；然后利用AAS证明△AED≌△CFH，利用全等三角形对应边相等，可证得结论。
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠BEG=∠CFE，
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC，
∴EG=CE，
在Rt△BCE和Rt△BGE中
∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL）
∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF=EG，
在Rt△ABC中
，
∴AG=AB-BG=5-1=4，
设CF=x，则AE=3-x，
在Rt△AEG中
AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2，
解之：，
∴.
故答案为：C
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，易证EG∥CD，利用平行线的性质可得到∠BEG=∠CFE；利用角平分线的性质可推出EG=CE，利用HL可证得Rt△BCE≌Rt△BGE，利用全等三角形的性质可知BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，可推出CE=CF=EG；利用勾股定理求出AB的长，即可得到AG的长；设CF=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CF的长.
10．【答案】（1）证明：如图1中，连接 ．
， ，
平分 ，
， ，
；
（2）解：①证明：如图2，连接 ．
则 的面积 的面积 的面积，
即 ，
，
；
②如图3，连接 ，过点 作 于点 ．
的面积 的面积 的面积，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF；
（2）①连接AD，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 +△ACD的面积， 结合三角形的面积计算公式即可得出结论；②连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 -△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出DE-DF=BG，根据等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，利用勾股定理算出AH，再利用等面积法算出BG，最后根据ED=DF+BG即可算出答案.
11．【答案】2a
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长AD与BC，相交于F，
∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠FBD
∵∠ADB=∠BDF=90°，BD=BD
∴△BAD≌△BFD
∴AD=DF
∴AF=2AD=2a
∵∠DAC+∠AED=90°，∠EBC+∠BEC=90°，∠AED=∠BEC
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ACF=∠BCE=90°，AC=BC
∴Rt△ACF≌Rt△BCE
∴BE=AF=2a．
【分析】延长AD与BC，相交于F，先证△BAD≌△BFD，得AD=DF，AF=2a，再证Rt△ACF≌Rt△BCE，得BE=AF=2a．
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH=，
在Rt△DCH中，由勾股定理得，，
∴DE=DH+EH.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，则∠ADC=∠BDE=90°，根据同角的余角相等可得∠ADB=∠CDE，根据角平分线的概念可得∠DBE=∠ABD=45°，则BD=DE，证明△ABD≌△CED，得到AB=CE=1，则CH=EH=，在Rt△DCH中，由勾股定理得DH，然后根据DE=DH+EH进行计算.
13．【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：平行四边形中，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴AE=AB=10，DF=DC=10，
∵AD=BC=18，
∴AF=AD-DF=8，
∴EF=AE-AF=2，
延长使，
∴为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴.
故答案为：16.
【分析】延长BC至G，使CG=EF，连接EG，由平行线的性质和角平分线定义可得∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，由等角对等边可得AE=AB，DF=DC，结合平行四边形的性质可得AF=AD-DF，EF=AE-AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFCG是平行四边形，则CG=EF，EG=CF，所以∠BCF=∠G，则∠BEG=90°，然后用勾股定理求得CF=EG的值.
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN=2，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故答案为：B．
【分析】延长DM交AC于E，先利用“ASA”证明△ADM≌△AEM可得DM=EM，AE=AD=12，利用中位线的性质可得CE=2MN=4，求出AC的长，最后利用勾股定理求出即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
【分析】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=BH可求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如下图，延长EF与BC的延长线相交于点H，设BC= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠HCF=∠ABC=90°，CD=AB=4，AD=BC= ，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEF=∠H，
∵BE平分∠ABC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=4，
∴BE= ，DE=AD-AE= ，
∵点F是DC的中点，EF平分∠BED，
∴DF=FC，∠DEF=∠BEF=∠H，
∴△DEF≌△CHF，BH=BE= ，
∴DE=CH=BH-BC= ，
∴ ，解得： ，
∴BC= .
【分析】如下图，延长EF与BC的延长线相交于点H，由已知条件易证：AE=AB=4，BE= ，△DEF≌△CHF，从而可得DE=CH，∠DEF=∠H=∠BEH，从而可得BH=BE= ，设BC= ，则AD= ，由此可得DE=AD-AE= ，CH=BH-BC= ，由此可得 ，解此方程即可求得BC的值.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接EM，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E是边BC的中点，点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝BE＝CE，
∴△BME为等腰直角三角形，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为正方形外角的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠BEM＝45°，
∴∠AEM+∠CEF＝45°，
而∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝2 .
故答案为：2 .
【分析】取AB的中点M，连接EM，利用正方形的性质可证得BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，利用线段中点的定义可证得AM＝BM＝BE＝CE，可推出△BME为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质去证明∠MAE＝∠CEF；利用ASA证明△AME≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得AE=EF，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EF的长.
18．【答案】（1）解：如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED= ，
∴三角形BDE是等腰直角三角形， ，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵ ，
∴ ，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴ ，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意易证△BDE是等腰直角三角形， 由等腰直角三角形的性质和勾股定理易得结果；
（2） 在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，判定出△DMG≌△DEG及△AMG≌△BFA， 由全等三角形的判定和性质易得AM=BF，即可得结果.
19．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 作 交 于 ，
则 ， ，
∵PC平分∠BPD，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠BCP，
，
，BP=PC，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
矩形 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据角平分线的概念可得∠BPC=∠DPC，根据平行线的性质可得∠DPC=∠BCP，推出BP=PC，证明△NCF≌△MHF，得到CF=FH，则EF= CP，根据矩形的性质可得BC=AD=10，则BP=BC=10，利用勾股定理求出AP、CP，进而可得EF.
20．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图 ，
过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=2 ，∴BN=NM=2 ，∴BE=4 ．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB= =12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=4．故答案为4．
【分析】利用正方形的性质及三角形全等的判定与性质作答即可.
21．【答案】（1）证明：过点M作MH OA，交射线OB于点H， 如图所示，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠COB= ∠AOB= .
∵MH OA，
∴∠HMO=∠AOC=60°，
∴∠HMO=∠COB=∠MHO=60°，
∴△OMH是等边三角形 .
（2）解：OM=OF+OE ，
∵△OMH是等边三角形 ，
∴OM=MH=OH.
∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，
∴∠EMF=∠HMO =60°，
∴∠EMF–∠OMF =∠HMO–∠OMF，
即∠EMO=∠HMF .
又∵∠MOE=∠MHF=60°，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE=FH .
∵OM=OH=OF+FH，
∴OM=OF+OE .
（3）解：OM =OE-OF，
如图，
∵△OMH是等边三角形 ，
∴OM=MH=OH.
∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，
∴∠EMF=∠HMO =60°，
∴∠EMF+∠OMF =∠HMO+∠OMF，
即∠EMO=∠HMF .
又∵∠MOE=∠MHF=60°，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE=FH .
∵OM=OH= FH -OF，
∴OM=OE-OF .
（4）OE=3.5或6.5或1.5或4.5
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（4）如图，过点M作 交AO于点H，
，
，
设 ，
，
，
解得 或 ，
当 时， ，
∵OM=OF+OE，
∴ ；
当 时， ，
∵OM=OF+OE，
∴ ；
当点F落在射线OB反向延长线上时，同理可得OE的长度为4.5或6.5，
综上所述，OE的长度为1.5或3.5或4.5或6.5.
【分析】（1）根据题意画出图形即可，然后根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明；
（2）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论；
（3）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论；
（4）分两种情况：点F落在射线OB上或点F落在射线OB反向延长线上，然后分别进行讨论即可.
22．【答案】；
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，
∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，
∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∴AG+BG=AH+BM=5，
∵AC+BC=3+4=7，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7-5=2，
∴点P到边AB的距离是PG=，△CDE的周长是2.
故答案为：，2.
【分析】过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，根据角平分线的性质可得PG=PM=PH，易得四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'，得到PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，则∠HPM'+∠DPH=45°=∠DPE，证明△DPM'≌△DPE，得到DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，则△CDE的周长可转化为CH+CM，易得BG=BM，AG=AH，有勾股定理求出AB，据此求解.
23．【答案】（1）解：∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠CDE＝∠ADE，
∵CD∥AB，AB∥HF，
∴∠CDE＝∠AED＝∠HFE，
∵AD∥BC，
∴∠EDA＝∠FEH，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴ EBFH为菱形
（2）解：①∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，菱形EBFH为正方形；
②由（1）知△ADE为等腰直角三角形，故AE＝AD＝6，则BE＝10-6＝4，
∵连接BH，过点M作MN⊥BF于点N，
∵M是EF的中点，故点M时正方形EBFH对角线的交点，
则MN＝ EB＝ ×4＝2＝BN，
则CN＝BC+NB＝6+2＝8，
∴CM＝ ；
（3）解：延长DA交FH的延长线于点G，连接CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，AD∥BC，
而四边形EBFH为菱形，故EB∥HF，
∴DG∥CF，CD∥FG，
∴四边形DCFG为平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∵∠CDF＝∠GDF，
∵CD∥GF，
∴∠CDF＝∠GFD＝∠GDF，
∴DG＝GF，
∴平行四边形DCFG为菱形，
∵∠ABC＝60°，
∴△DGC、△CGF均为等边三角形，
∴∠CGD＝∠CGF＝60°，CG＝CF，
同理可得：四边形AEHG为平行四边形，故AG＝EH＝HF，
在△CAG和△CHF中，CG＝CF，AG＝HF，∠CGD＝∠CGF＝60°，
∴△CAG≌△CHF（SAS），
∴CA＝CH，∠ACG＝∠HCF，
∵∠ACH＝∠ACG+∠GCH＝∠GCH+∠HCF＝60°，
∴△ACH是等边三角形．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质证明即可；
（2）①根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行证明求解即可；
②先求出MN=2，再求出CN=8，利用勾股定理进行求解即可；
（3）先证明平行四边形DCFG为菱形 ，再证明 △CAG≌△CHF ，最后即可证明。
24．【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得AB=10，
在△BMC和△BMG中，
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG=BC=8，CM=MG，
∴AG=2，
同理，AH=AC=6，CN=NH，
∴GH=4，
∵CM=MG，CN=NH，
∴MN= GH=2.
故答案为：2.
【分析】如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，根据勾股定理可得AB=10，根据“ASA”可证△BMC≌△BMG，从而可得BG=BC=8，CM=MG，同理可得AH=AC=6，CN=NH，根据三角形中位线定理计算即可.
25．【答案】（1）证明：过点作，并截止，连接，
则：，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即为以线段，，为三边组成的三角形，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
即：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
（2）解：∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
则：，
∴，
∵，
∴，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
由（1）知：，
∴，
设，
∴，
解得：或（不合题意，舍掉）
∴.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥AF，并截取AH=AF，连接BH、EH，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，由同角的余角相等可得∠DAF=∠BAH，证明△ADF≌△ABH，得到AF=BH，∠ADF=∠ABH，根据角的和差关系可得∠EAH=∠FAE，证明△AFE≌△AHE，得到EH=EF，推出△BEH即为以线段BE、DF、EF为三边组成的三角形，根据角平分线的概念可得∠FDC=45°，∠EBP=45°，则∠ADF=∠ABH=∠ADC+∠FDC=135°，∠HBP=45°，∠EBH=90°，则△BEH为直角三角形，据此证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠FDC=45°，∠CBE=45°，则∠ADF=∠ABE=135°，证明△ADF∽△EBA，根据腰直角三角形的性质可得AE=EF=AF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）连接DB并延长交FE的延长线于点G，则∠CDB=∠ADB=45°，∠CBD=45°，∠FDB=∠DBE=90°，根据平行线的性质可得∠DFE=∠FDQ=45°，∠G=∠BDA=45°，推出△DFG、△BEG均为等腰直角三角形，则FG=DF，GE=BE，由（1）知EF2=BE2+DF2，则，设BE=x，DF=y，则2(y-x)2=x2+y2，表示出x，进而求解.
26．【答案】（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF＝∠ECF，
∵OC＝CH，CF＝CF，
在△OCF和△HCF中，
∴△OCF≌△HCF（SAS），
∴FH＝OF，
∵OF=5，
∴FH=5.
（2）证明：如图，在BF上截取BK＝CF，连接OK，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝180°-∠BOC-∠DBC＝45°，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°，
∵∠OBK＝180°-∠BOC-∠OGB＝90°-∠OGB，∠OCF＝180°-∠BFC-∠FGC＝90°-∠FGC，且∠OGB＝∠FGC，
∴∠OBK＝∠OCF，
在△OBK和△OCF中，
∴△OBK≌△OCF（SAS），
∴OK＝OF，∠BOK＝∠COF，
∵∠BOK+∠KOG＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠KOG＝90°，即∠HOF＝90°，
∴∠OHF＝∠OFH＝（180°-∠KOF）＝45°，
∴∠OFC＝∠OFK+∠BFC＝135°，
∵△OCF≌△HCF，
∴∠HFC＝∠OFC＝135°，
∴∠OFH＝360°-∠HFC-∠OFC＝90°，
∴∠FHO＝∠FOH＝ （180°-∠OFH）＝45°，
∴∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH，
∴OH∥FK，OK∥FH，
∴四边形OHFG是平行四边形，
∴OH＝FK，
∵BF＝FK+BK，
∴BF＝OH+CF．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可得∠OCF＝∠ECF，又有OC＝CH，CF＝CF，可证得△OCF≌△HCF，进而求得FH的长；
（2）如图，在BF上截取BK＝CF，连接OK，根据正方形性质及角的数量关系推出∠OBK＝∠OCF，从而证得△OBK≌△OCF，即得到OK＝OF，∠BOK＝∠COF，再通过全等性质及角的等量代换，得到∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH，进而得到OH∥FK，OK∥FH，可推出四边形OHFG是平行四边形，即得代OH＝FK，再由BF＝FK+BK，等量代换即得到BF＝OH+CF．
27．【答案】（1）解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝ ，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝ ．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，根据正方形的性质以及中点的概念可得AF＝BF＝BE＝CE，则∠BFE＝45°，∠AFE＝135°，根据角平分线的概念可得∠DCP＝45°，则∠ECP＝135°，推出∠AFE＝∠ECP，根据同角的余角相等可得∠PEC＝∠BAE，利用ASA证明△AFE≌△ECP，据此可得结论；
（2）AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理得∠CEP＝∠FAE，证△FAE≌△CEP，得∠ECP＝∠AFE，根据线段的和差关系得BF＝BE，由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝45°，则∠AFE=∠ECP＝135°，然后根据∠DCP=∠ECP-∠DCE进行计算；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，点D与G关于CP对称，AP+DP的最小值为AG的长，然后利用勾股定理计算即可.
28．【答案】（1）解：正确．
∵M是AB的中点，E是BC的中点 AB=BC
∴AM=EC BM=BE
∴∠BME=45°
∠AME=135°
∵CF是∠DCG的平分线
∴∠DCF=45°
∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90°
∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴△AME≌△BCF（ASA）
∴AE=EF
（2）解：正确．
在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME．
∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，
∵CF是∠DCG的平分线 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF
（3）解：正确．
在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°
∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，从而证出AE=EF；
（2）在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME．再证明△AME≌△ECF，从而证出AE=EF；
（3）在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．证法与②同.
29．【答案】（1）AM=AD+MC
（2）AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立
【知识点】全等三角形的应用；正方形的判定与性质
【解析】【解答】证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．
30．【答案】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=10，
由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，
在Rt△AEM中，∵EM2=AM2+AE2，
∴x2=42+（10-x）2，
∴x= ．
∴BE= ．
（2）解：如图1-1中，作BH⊥MN于H．
∵EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AMB=∠BMN，
∵BA⊥MA，BH⊥MN，
∴BA=BH，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM，BA=BH，
∴Rt△BAM≌△BHM（HL），
∴∠ABM=∠MBH，
同法可证：∠CBP=∠HBP，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH= ∠ABH+ ∠CBH= ∠ABC=45°．
∴∠PBM=45°．
（3）解：如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，
∵PC=PD=5，
∴PM+x=5，DM=10-x，
在Rt△PDM中，（x+5）2=（10-x）2+25，
∴x= ，
∴AM= ，
设EB=EM=m，
在Rt△AEM中，则有m2=（10-m）2+（ ）2，
∴m= ，
∴AE=10- ，
∵AM⊥EF，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠ABM=∠EFG，
∵FG=BC=AB，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM≌△FGE（AAS），
∴EG=AM= ，
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，在Rt△AEM中，根据EM2=AM2+AE2，构建方程即可解决问题．（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH，∠CBP=∠HBP，即可解决问题．（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，在Rt△DPM中，利用勾股定理构建方程求出x，再在Rt△AEM中，利用勾股定理求出BE，EM，AE，再证明AM=EG即可解决问题．
1 / 1人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线作平行线、轴对称（不含相似八九年级适用）
一、阶段一（较易）
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝．求BC的长．
【答案】作BE⊥AD于E，
∴∠BEA=∠BED=90°．
∵∠A=45°，
∴∠ABE=45°．
∵∠ABD=75°，
∴∠EBD=30°．
∵∠DBC=30°，
∴∠DBE=∠DBC．
∵∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴BE=BC．
在Rt△ABE中，AB=2，由勾股定理，得BE=2
∴BC=2．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】作BE⊥AD于E，就可以得出△ABE为等腰直角三角形，由勾股定理就由求出BE的值，由△BDE≌△BDC就可以得出BC=BE得出结论．
2．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=2∠BOP=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=
PC=
×4=2．
所以PD=2
故选C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，作辅助线是关键
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL)，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选B．
【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
4．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB＝12，AC＝22，则MP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长BP交AC于N，利用角边角定理求证△ABP≌△ANP，再利用M是BC中点，求证PM是△BNC的中位线，即可求出MP的长。
【解答】延长BP交AC于N
∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，
∴∠BAP=∠NAP，∠APB=∠APN=90°，
∴△ABP≌△ANP（ASA)，
∴AN=AB=12，BP=PN，
∴CN=AC-AN=22-12=10，
∵BP=PN，BM=CM，
∴PM是△BNC的中位线，
∴PM=CN=5．
故选C．
【点评】全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
5．（2018八上·双城期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
6．（2017八下·海安期中）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CE＝1cm，则BF＝ cm.
【答案】2+
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形。
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE= EM= cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1+ +1=2+ cm.
故答案为：2+ .
【分析】根据已知ABCD是正方形及BE平分∠DBC，因此添加辅助线，过点E作EM⊥BD于点M，可得出EM=EC=1cm，再证明△DEM为等腰直角三角形，可求出DE的长，然后根据旋转的性质得出CF=CE，根据BF=BC+CF=CE+DE+CF，即可求出答案。
7．（2018九上·重庆月考）如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE.点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M.
（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF= ，求△ABE的面积；
（2）求证：DE=2CM.
【答案】（1）解：由题意易得∠BDF=90°，
∵点E是BD的三等分点（DE＜BE）
∴设BE＝DF=2x，DE=x.
在Rt△BDF中，∠BDF=90°
∵BD +DF =BF
∴9x +4x =156解得x=
∴BE=2x= ，AO= BD=
∴△ABE面积= ·BE·AO= =18.
（2）证明：同时延长DF、BC交于点H.
∵O是BD中点，OC∥DF
∴M是BF中点，C是BH中点.
∴CM是△BFH的中位线.
即FH=2CM.
在△EBA与△FDC中
EB=FD；∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB
∴△EBA≌△FDC（SAS）.
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFH.
∵CM∥FH
∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°.
在△AED与△CFH中
∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF
∴△AED≌△CFH（AAS）
∴DE=FH=2CM.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的对角线平分一组对角可证∠BDC=45°，利用角平分线的定义可证得∠CDF=45°，可推出∠BDF=90°，设DE=x，由点E时BD的三等分点，表示出BE，DF，在Rt△BDF中，利用勾股定理求出x的值，可得到BE，BD，AO的长然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积。
（2）延长DF、BC交于点H，利用平行线分线段成比例定理可证点C时BH的中点，利用三角形中位线定理可证得FH=2CM；再利用SAS证明△EBA≌△FDC，可证得 AE=CF，∠AEB=∠CFD，再去证明 ∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH；然后利用AAS证明△AED≌△CFH，利用全等三角形对应边相等，可证得结论。
8．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
9．（2022八上·余杭月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠BEG=∠CFE，
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC，
∴EG=CE，
在Rt△BCE和Rt△BGE中
∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL）
∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF=EG，
在Rt△ABC中
，
∴AG=AB-BG=5-1=4，
设CF=x，则AE=3-x，
在Rt△AEG中
AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2，
解之：，
∴.
故答案为：C
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，易证EG∥CD，利用平行线的性质可得到∠BEG=∠CFE；利用角平分线的性质可推出EG=CE，利用HL可证得Rt△BCE≌Rt△BGE，利用全等三角形的性质可知BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，可推出CE=CF=EG；利用勾股定理求出AB的长，即可得到AG的长；设CF=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CF的长.
10．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．
（1）如图1，若是边上的中点，求证：．
（2）过点作于点．
①如图2，若是边上的任意一点，求证：；
②若点是射线上一点，，，，求的长度．
【答案】（1）证明：如图1中，连接 ．
， ，
平分 ，
， ，
；
（2）解：①证明：如图2，连接 ．
则 的面积 的面积 的面积，
即 ，
，
；
②如图3，连接 ，过点 作 于点 ．
的面积 的面积 的面积，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF；
（2）①连接AD，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 +△ACD的面积， 结合三角形的面积计算公式即可得出结论；②连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 -△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出DE-DF=BG，根据等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，利用勾股定理算出AH，再利用等面积法算出BG，最后根据ED=DF+BG即可算出答案.
二、阶段二（中等）
11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为
【答案】2a
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长AD与BC，相交于F，
∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠FBD
∵∠ADB=∠BDF=90°，BD=BD
∴△BAD≌△BFD
∴AD=DF
∴AF=2AD=2a
∵∠DAC+∠AED=90°，∠EBC+∠BEC=90°，∠AED=∠BEC
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ACF=∠BCE=90°，AC=BC
∴Rt△ACF≌Rt△BCE
∴BE=AF=2a．
【分析】延长AD与BC，相交于F，先证△BAD≌△BFD，得AD=DF，AF=2a，再证Rt△ACF≌Rt△BCE，得BE=AF=2a．
12．（2022八下·成都期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH=，
在Rt△DCH中，由勾股定理得，，
∴DE=DH+EH.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，则∠ADC=∠BDE=90°，根据同角的余角相等可得∠ADB=∠CDE，根据角平分线的概念可得∠DBE=∠ABD=45°，则BD=DE，证明△ABD≌△CED，得到AB=CE=1，则CH=EH=，在Rt△DCH中，由勾股定理得DH，然后根据DE=DH+EH进行计算.
13．（2022八下·宁波期中）如图，在中，和的角平分线分别交于点E和F，若，则 .
【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：平行四边形中，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴AE=AB=10，DF=DC=10，
∵AD=BC=18，
∴AF=AD-DF=8，
∴EF=AE-AF=2，
延长使，
∴为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴.
故答案为：16.
【分析】延长BC至G，使CG=EF，连接EG，由平行线的性质和角平分线定义可得∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，由等角对等边可得AE=AB，DF=DC，结合平行四边形的性质可得AF=AD-DF，EF=AE-AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFCG是平行四边形，则CG=EF，EG=CF，所以∠BCF=∠G，则∠BEG=90°，然后用勾股定理求得CF=EG的值.
14．（2022八下·化州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN=2，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故答案为：B．
【分析】延长DM交AC于E，先利用“ASA”证明△ADM≌△AEM可得DM=EM，AE=AD=12，利用中位线的性质可得CE=2MN=4，求出AC的长，最后利用勾股定理求出即可。
15．（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
【分析】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=BH可求解.
16．（2020八下·襄城期末）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，当点F是CD的中点时，若AB＝4，则BC＝ .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如下图，延长EF与BC的延长线相交于点H，设BC= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠HCF=∠ABC=90°，CD=AB=4，AD=BC= ，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEF=∠H，
∵BE平分∠ABC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=4，
∴BE= ，DE=AD-AE= ，
∵点F是DC的中点，EF平分∠BED，
∴DF=FC，∠DEF=∠BEF=∠H，
∴△DEF≌△CHF，BH=BE= ，
∴DE=CH=BH-BC= ，
∴ ，解得： ，
∴BC= .
【分析】如下图，延长EF与BC的延长线相交于点H，由已知条件易证：AE=AB=4，BE= ，△DEF≌△CHF，从而可得DE=CH，∠DEF=∠H=∠BEH，从而可得BH=BE= ，设BC= ，则AD= ，由此可得DE=AD-AE= ，CH=BH-BC= ，由此可得 ，解此方程即可求得BC的值.
17．（2021八下·钦州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接EM，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E是边BC的中点，点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝BE＝CE，
∴△BME为等腰直角三角形，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为正方形外角的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠BEM＝45°，
∴∠AEM+∠CEF＝45°，
而∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝2 .
故答案为：2 .
【分析】取AB的中点M，连接EM，利用正方形的性质可证得BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，利用线段中点的定义可证得AM＝BM＝BE＝CE，可推出△BME为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质去证明∠MAE＝∠CEF；利用ASA证明△AME≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得AE=EF，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EF的长.
18．（2021八下·重庆月考）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG.
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE.
【答案】（1）解：如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED= ，
∴三角形BDE是等腰直角三角形， ，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵ ，
∴ ，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴ ，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意易证△BDE是等腰直角三角形， 由等腰直角三角形的性质和勾股定理易得结果；
（2） 在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，判定出△DMG≌△DEG及△AMG≌△BFA， 由全等三角形的判定和性质易得AM=BF，即可得结果.
19．（2021八下·宁波期中）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点P在边CD上，且PC平分∠BPD，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E.则EF＝ .
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 作 交 于 ，
则 ， ，
∵PC平分∠BPD，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠BCP，
，
，BP=PC，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
矩形 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据角平分线的概念可得∠BPC=∠DPC，根据平行线的性质可得∠DPC=∠BCP，推出BP=PC，证明△NCF≌△MHF，得到CF=FH，则EF= CP，根据矩形的性质可得BC=AD=10，则BP=BC=10，利用勾股定理求出AP、CP，进而可得EF.
20．（2019九上·坪山月考）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则ED= ．
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图 ，
过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=2 ，∴BN=NM=2 ，∴BE=4 ．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB= =12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=4．故答案为4．
【分析】利用正方形的性质及三角形全等的判定与性质作答即可.
三、阶段三（困难）
21．（2020八下·丹东期末）如图， ，OC是 的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60度，交OB所在的直线于F，
（1）按要求画图，并完成证明；过点M作MH//OA，交射线OB于H，求证： 是等边三角形；
（2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；
（3）当点F落在射线OB反向延长线上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；
（4）点G是射线OA上一点，且满足OG=8，若MG=7，OF=1.5，请直接写出OE的长；
【答案】（1）证明：过点M作MH OA，交射线OB于点H， 如图所示，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠COB= ∠AOB= .
∵MH OA，
∴∠HMO=∠AOC=60°，
∴∠HMO=∠COB=∠MHO=60°，
∴△OMH是等边三角形 .
（2）解：OM=OF+OE ，
∵△OMH是等边三角形 ，
∴OM=MH=OH.
∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，
∴∠EMF=∠HMO =60°，
∴∠EMF–∠OMF =∠HMO–∠OMF，
即∠EMO=∠HMF .
又∵∠MOE=∠MHF=60°，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE=FH .
∵OM=OH=OF+FH，
∴OM=OF+OE .
（3）解：OM =OE-OF，
如图，
∵△OMH是等边三角形 ，
∴OM=MH=OH.
∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，
∴∠EMF=∠HMO =60°，
∴∠EMF+∠OMF =∠HMO+∠OMF，
即∠EMO=∠HMF .
又∵∠MOE=∠MHF=60°，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE=FH .
∵OM=OH= FH -OF，
∴OM=OE-OF .
（4）OE=3.5或6.5或1.5或4.5
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（4）如图，过点M作 交AO于点H，
，
，
设 ，
，
，
解得 或 ，
当 时， ，
∵OM=OF+OE，
∴ ；
当 时， ，
∵OM=OF+OE，
∴ ；
当点F落在射线OB反向延长线上时，同理可得OE的长度为4.5或6.5，
综上所述，OE的长度为1.5或3.5或4.5或6.5.
【分析】（1）根据题意画出图形即可，然后根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明；
（2）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论；
（3）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论；
（4）分两种情况：点F落在射线OB上或点F落在射线OB反向延长线上，然后分别进行讨论即可.
22．（2021八下·邛崃期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是 ，△CDE的周长是 .
【答案】；
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，
∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，
∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∴AG+BG=AH+BM=5，
∵AC+BC=3+4=7，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7-5=2，
∴点P到边AB的距离是PG=，△CDE的周长是2.
故答案为：，2.
【分析】过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，根据角平分线的性质可得PG=PM=PH，易得四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'，得到PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，则∠HPM'+∠DPH=45°=∠DPE，证明△DPM'≌△DPE，得到DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，则△CDE的周长可转化为CH+CM，易得BG=BM，AG=AH，有勾股定理求出AB，据此求解.
23．（2020八下·广州月考）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作 EBFH．
（1）证明： EBFH是菱形；
（2）（如图2）若∠ABC＝90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB＝10，AD＝6，M是EF的中点，求CM的长．
（3）（如图3）若∠ABC＝60°，连结HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
【答案】（1）解：∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠CDE＝∠ADE，
∵CD∥AB，AB∥HF，
∴∠CDE＝∠AED＝∠HFE，
∵AD∥BC，
∴∠EDA＝∠FEH，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴ EBFH为菱形
（2）解：①∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，菱形EBFH为正方形；
②由（1）知△ADE为等腰直角三角形，故AE＝AD＝6，则BE＝10-6＝4，
∵连接BH，过点M作MN⊥BF于点N，
∵M是EF的中点，故点M时正方形EBFH对角线的交点，
则MN＝ EB＝ ×4＝2＝BN，
则CN＝BC+NB＝6+2＝8，
∴CM＝ ；
（3）解：延长DA交FH的延长线于点G，连接CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，AD∥BC，
而四边形EBFH为菱形，故EB∥HF，
∴DG∥CF，CD∥FG，
∴四边形DCFG为平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∵∠CDF＝∠GDF，
∵CD∥GF，
∴∠CDF＝∠GFD＝∠GDF，
∴DG＝GF，
∴平行四边形DCFG为菱形，
∵∠ABC＝60°，
∴△DGC、△CGF均为等边三角形，
∴∠CGD＝∠CGF＝60°，CG＝CF，
同理可得：四边形AEHG为平行四边形，故AG＝EH＝HF，
在△CAG和△CHF中，CG＝CF，AG＝HF，∠CGD＝∠CGF＝60°，
∴△CAG≌△CHF（SAS），
∴CA＝CH，∠ACG＝∠HCF，
∵∠ACH＝∠ACG+∠GCH＝∠GCH+∠HCF＝60°，
∴△ACH是等边三角形．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质证明即可；
（2）①根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行证明求解即可；
②先求出MN=2，再求出CN=8，利用勾股定理进行求解即可；
（3）先证明平行四边形DCFG为菱形 ，再证明 △CAG≌△CHF ，最后即可证明。
24．（2018八下·柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN= .
【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得AB=10，
在△BMC和△BMG中，
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG=BC=8，CM=MG，
∴AG=2，
同理，AH=AC=6，CN=NH，
∴GH=4，
∵CM=MG，CN=NH，
∴MN= GH=2.
故答案为：2.
【分析】如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，根据勾股定理可得AB=10，根据“ASA”可证△BMC≌△BMG，从而可得BG=BC=8，CM=MG，同理可得AH=AC=6，CN=NH，根据三角形中位线定理计算即可.
25．（2023九上·双流期末）如图，在正方形中，，分别是其外角和的平分线，点E在射线上，点F在射线上，连接，，.已知.
（1）求证：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
（2）若为等腰直角三角形，探究线段，之间的数量关系；
（3）当时，请求出的值.
【答案】（1）证明：过点作，并截止，连接，
则：，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即为以线段，，为三边组成的三角形，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
即：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
（2）解：∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
则：，
∴，
∵，
∴，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
由（1）知：，
∴，
设，
∴，
解得：或（不合题意，舍掉）
∴.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥AF，并截取AH=AF，连接BH、EH，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，由同角的余角相等可得∠DAF=∠BAH，证明△ADF≌△ABH，得到AF=BH，∠ADF=∠ABH，根据角的和差关系可得∠EAH=∠FAE，证明△AFE≌△AHE，得到EH=EF，推出△BEH即为以线段BE、DF、EF为三边组成的三角形，根据角平分线的概念可得∠FDC=45°，∠EBP=45°，则∠ADF=∠ABH=∠ADC+∠FDC=135°，∠HBP=45°，∠EBH=90°，则△BEH为直角三角形，据此证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠FDC=45°，∠CBE=45°，则∠ADF=∠ABE=135°，证明△ADF∽△EBA，根据腰直角三角形的性质可得AE=EF=AF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）连接DB并延长交FE的延长线于点G，则∠CDB=∠ADB=45°，∠CBD=45°，∠FDB=∠DBE=90°，根据平行线的性质可得∠DFE=∠FDQ=45°，∠G=∠BDA=45°，推出△DFG、△BEG均为等腰直角三角形，则FG=DF，GE=BE，由（1）知EF2=BE2+DF2，则，设BE=x，DF=y，则2(y-x)2=x2+y2，表示出x，进而求解.
26．（2023九上·通川期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
【答案】（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF＝∠ECF，
∵OC＝CH，CF＝CF，
在△OCF和△HCF中，
∴△OCF≌△HCF（SAS），
∴FH＝OF，
∵OF=5，
∴FH=5.
（2）证明：如图，在BF上截取BK＝CF，连接OK，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝180°-∠BOC-∠DBC＝45°，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°，
∵∠OBK＝180°-∠BOC-∠OGB＝90°-∠OGB，∠OCF＝180°-∠BFC-∠FGC＝90°-∠FGC，且∠OGB＝∠FGC，
∴∠OBK＝∠OCF，
在△OBK和△OCF中，
∴△OBK≌△OCF（SAS），
∴OK＝OF，∠BOK＝∠COF，
∵∠BOK+∠KOG＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠KOG＝90°，即∠HOF＝90°，
∴∠OHF＝∠OFH＝（180°-∠KOF）＝45°，
∴∠OFC＝∠OFK+∠BFC＝135°，
∵△OCF≌△HCF，
∴∠HFC＝∠OFC＝135°，
∴∠OFH＝360°-∠HFC-∠OFC＝90°，
∴∠FHO＝∠FOH＝ （180°-∠OFH）＝45°，
∴∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH，
∴OH∥FK，OK∥FH，
∴四边形OHFG是平行四边形，
∴OH＝FK，
∵BF＝FK+BK，
∴BF＝OH+CF．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可得∠OCF＝∠ECF，又有OC＝CH，CF＝CF，可证得△OCF≌△HCF，进而求得FH的长；
（2）如图，在BF上截取BK＝CF，连接OK，根据正方形性质及角的数量关系推出∠OBK＝∠OCF，从而证得△OBK≌△OCF，即得到OK＝OF，∠BOK＝∠COF，再通过全等性质及角的等量代换，得到∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH，进而得到OH∥FK，OK∥FH，可推出四边形OHFG是平行四边形，即得代OH＝FK，再由BF＝FK+BK，等量代换即得到BF＝OH+CF．
27．（2022·兰州）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值．
【答案】（1）解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝ ，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝ ．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，根据正方形的性质以及中点的概念可得AF＝BF＝BE＝CE，则∠BFE＝45°，∠AFE＝135°，根据角平分线的概念可得∠DCP＝45°，则∠ECP＝135°，推出∠AFE＝∠ECP，根据同角的余角相等可得∠PEC＝∠BAE，利用ASA证明△AFE≌△ECP，据此可得结论；
（2）AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理得∠CEP＝∠FAE，证△FAE≌△CEP，得∠ECP＝∠AFE，根据线段的和差关系得BF＝BE，由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝45°，则∠AFE=∠ECP＝135°，然后根据∠DCP=∠ECP-∠DCE进行计算；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，点D与G关于CP对称，AP+DP的最小值为AG的长，然后利用勾股定理计算即可.
28．（2017八下·万盛开学考）数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
同学们作了一步又一步的研究：
（1）、经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）、小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）、小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）解：正确．
∵M是AB的中点，E是BC的中点 AB=BC
∴AM=EC BM=BE
∴∠BME=45°
∠AME=135°
∵CF是∠DCG的平分线
∴∠DCF=45°
∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90°
∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴△AME≌△BCF（ASA）
∴AE=EF
（2）解：正确．
在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME．
∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，
∵CF是∠DCG的平分线 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF
（3）解：正确．
在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°
∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，从而证出AE=EF；
（2）在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME．再证明△AME≌△ECF，从而证出AE=EF；
（3）在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．证法与②同.
29．（2017八下·罗山期中）探究题
【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）【探究展示】
直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系： ；
（2）【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【答案】（1）AM=AD+MC
（2）AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立
【知识点】全等三角形的应用；正方形的判定与性质
【解析】【解答】证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．
30．（2019八下·成华期末）如图1．在边长为10的正方形 中，点 在边 上移动（点 不与点 ， 重合）， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，将正方形 沿 所在直线折叠，则点 的对应点为点 ，点 落在点 处， 与 交于点 ，
（1）若 ，求 的长；
（2）随着点 在边 上位置的变化， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 的度数；
（3）随着点 在边 上位置的变化，点 在边 上位置也发生变化，若点 恰好为 的中点（如图2），求 的长．
【答案】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=10，
由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，
在Rt△AEM中，∵EM2=AM2+AE2，
∴x2=42+（10-x）2，
∴x= ．
∴BE= ．
（2）解：如图1-1中，作BH⊥MN于H．
∵EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AMB=∠BMN，
∵BA⊥MA，BH⊥MN，
∴BA=BH，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM，BA=BH，
∴Rt△BAM≌△BHM（HL），
∴∠ABM=∠MBH，
同法可证：∠CBP=∠HBP，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH= ∠ABH+ ∠CBH= ∠ABC=45°．
∴∠PBM=45°．
（3）解：如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，
∵PC=PD=5，
∴PM+x=5，DM=10-x，
在Rt△PDM中，（x+5）2=（10-x）2+25，
∴x= ，
∴AM= ，
设EB=EM=m，
在Rt△AEM中，则有m2=（10-m）2+（ ）2，
∴m= ，
∴AE=10- ，
∵AM⊥EF，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠ABM=∠EFG，
∵FG=BC=AB，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM≌△FGE（AAS），
∴EG=AM= ，
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，在Rt△AEM中，根据EM2=AM2+AE2，构建方程即可解决问题．（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH，∠CBP=∠HBP，即可解决问题．（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，在Rt△DPM中，利用勾股定理构建方程求出x，再在Rt△AEM中，利用勾股定理求出BE，EM，AE，再证明AM=EG即可解决问题．
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