人教版初中数学几何辅助线进阶训练——一般四边形的辅助线：连对角线、延长对边、作平行
一、阶段一（较易）
1．（2019八上·平遥月考）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求 的长.
【答案】解：如图，分别延长 、 ，延长线相交于点 .
∵ ， ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等边三角形，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】延长AD和BC交于点E求出∠E的值，进而得出△CDE是等边三角形，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质求出BE的长度，即可得出答案.
2．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC，
∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，
，
是直角三角形且，
∴
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
3．（2021九上·文登期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴，
∴CE=BE-BC=2， ，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】延长AD、BC相交于点E，先求出，利用勾股定理求出DE的长，再利用割补法可得，最后将数据代入计算即可。
4．（2022八下·剑阁期末）如图，四边形 是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知 ．求四边形 的面积．
【答案】解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB=24m，BC=7m，
∴AC=，
在△ADC中，CD=15m，AD=20m，AC=25m，
∵，
∴△ADC为直角三角形，∠D=90°，
∴，
又∵，
∴，
答： 四边形ABCD的面积为234.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理（直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方）求出AC，利用勾股定理逆定理（如果三角形两条边边长的平方和等于第三边边长的平方，那么这个三角形是直角三角形）证得△ADC为直角三角形，分别求出△ABC和△ADC的面积，即可求出四边形的面积.
5．（2022八下·荔湾期末）已如：如图，四边形中，，求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接AC，
，
所以四边形ABCD的面积为：
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后利用三角的面积公式及割补法求出四边形的面积即可。
6．（2022八下·微山期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接DB，
在Rt△ABD中，AD＝，AB＝5，∠BAD＝90°，
∴，
∵BC＝10，CD＝8，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCB＝＝+24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接DB，先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，最后利用割补法求出四边形的面积即可。
7．（2022八下·铁岭期中）如图，在四边形ABCD中，．求：四边形ABCD的面积．
【答案】解：延长交于点E，如图所示：
∵，
∴
∴
∴
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】延长交于点E， 易求，可得CE=CD=6，AB=AE=2，根据
进行计算即可.
8．（2022八下·金乡县月考）已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=，
∵CD=1，AD=3，AC=，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积：
S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，再利用割补法求出四边形的面积S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+即可。
9．（2019八上·安顺期末）如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.
【答案】解：延长AD、BC，两条延长线交于点E,
∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠E=60°
∵∠ADC=120°
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
则CD=CE=DE
设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1
∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°
∴ x+4=2(x+1)
解得：x=2
∴CD=2.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据图形无法直接求出CD的长度，所以只能延长AD,BC构成等边三角形DCE，再根据直角三角形的性质求出CD的长度。
10．（2022八下·长汀期末）如图，四边形 中， ， ， ， ，求 的度数.
【答案】解：连接AC，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC的值，由等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，利用勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，然后根据∠BAD=∠BAC+∠DAC进行计算.
二、阶段二（中等）
11．（2021九上·甘井子期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠CFA＝90°，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，
∴四边形AECF是边长为3的正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 四边形AECF为矩形， 再利用AAS证明 △ABE≌△ADF ，最后求解即可。
12．（2021八下·兰山期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，并说明理由．
【答案】解：当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】中点四边形
【解析】【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线的性质可得EH∥FG，EH＝FG，证明出四边形EFGH是平行四边形，再根据EH⊥HG可证明平行四边形EFGH是矩形。
13．（2021八下·顺平期末）如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积．
【答案】解：如图，过点C作，
AB⊥BC，AB⊥AD，
四边形是矩形，
AB＝BC，
四边形是正方形，
，
CD，
在中，
，
，
四边形．
【知识点】勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】过点C作，先证出四边形是矩形，推出四边形是正方形，利用勾股定理得出DE的值，得出AD的值，再代入计算即可。
14．（2022八下·浦北月考）如图，在四边形中，，求的长.
【答案】解：延长相交于点，
中，
中，
设
在中，由勾股定理得，
.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】延长AD、BC相交于点E，根据内角和定理可得∠E的度数，由含30°角的直角三角形的性质可得CD=2CD=8，由BE=BC+CE可求出BE，设AB=x，则AE=2x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得x的值，即为AB的长.
15．（2021八上·台安月考）如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同校的补角相等得出，根据SAS证明 ，则 ， ，进而证明 ，根据SAS证明 ，得出ME=MN，则 ．
16．（2019九上·西城期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，若线段AE＝5，BE＝2，则S四边形ABCD的面积为多少？
【答案】解：作DF⊥AE于点F，如图，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠B，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE＝2，DF＝EC＝AE＝5
∵四边形ABCD的面积为△ABE面积、△DAF面积、矩形CDFE面积之和，
∴S四边形ABCD＝ ＝ ，
答：四边形ABCD的面积为25．
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 作DF⊥AE于点F，如图， 根据AAS可证△ABE≌△DAF，可得AF＝BE＝2，DF＝EC＝AE＝5，由于四边形ABCD的面积=△ABE面积+△DAF面积+矩形CDFE面积，据此进行计算即可.
17．（2020九上·银川期末）有一块如图所示的四边形空地，求此空地的面积.（结果保留根号）
【答案】解：如图，连接BD，过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥CD于F.
，
，
∴ ，
=
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可.
18．（2020八下·甘井子月考）四边形 中， ， 平分 ， ， ， ，求 的长.
【答案】解：延长CB分别交DE、DA的延长线于点H点和G点，如图：
∵ 平分 ，
∴∠ADE=∠HDC，
∵ ，∠DAE=90°，
∴∠DHC=90°，
∴△CDG是等腰三角形，
∴ ，
∵∠BEH=∠DEA，∠DAE=∠BAG,
∴∠ADE=∠GBA，
在△BGA和△DEA中
∵ ，
∴△BGA △DEA，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由DE平分∠CDA，∠C=∠AED可得∠DHC=90°，可得△CDG是等腰三角形， ，再证明△BGA △DEA，可得 ， ，利用勾股定理得DE=10.
19．（2017八下·濮阳期中）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40 m，∠ABC=120°，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2，请问需投资金多少元？（结果保留整数）
【答案】解：连接BD，AC，
∵菱形ABCD的周长为40 m，
∴菱形ABCD的边长为10 m，
∵∠ABC=120°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴对角线BD=10 m，AC=10 m，
∵E，F，G，H是菱形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH是矩形，矩形的边长分别为5 m，5 m，
∴矩形EFGH的面积为5 ×5 =50 （m2），即需投资金为50 ×10=500 ≈866（元）．
答：需投资金为866元．
【知识点】菱形的性质；中点四边形
【解析】【分析】连接BD，AC，由菱形ABCD的周长求出边长，再由∠ABC的度数确定出三角形ABD与三角形BCD都为等边三角形，进而求出BD与AC的长，由E、F、G、H分别为中点确定出四边形EFGH为矩形，求出矩形边长，进而求出矩形面积，求出所求即可．
20．（2019八上·港北期中）如图，在四边形 中， ， .求证： .
【答案】解：B作BE⊥AB交BC的延长线于点E，
则AB=BE，∠E=∠A，
∵ ， ，
∴∠E=∠C，∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，
∴∠BDE=75°，∠DBC=75°，
在△BCD与△DEB中，
∴△BCD≌△DEB（AAS），
∴CD=BE=AB.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】过点B作BE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=BE，∠E=∠C，由已知可得∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，可推出∠BDE=75°，∠DBC=75°，可证得△BCD≌△DEB，得CD=BE=AB.
三、阶段三（较难）
21．（2019八上·湄潭期中）如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
【答案】解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，从而利用SSS证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD.
22．（2019八下·襄城月考）如图，在四边形 中， 、 是对角线，已知 是等边三角形， ， ， ，求边 的长.
【答案】解：如图，将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得CE，连接DE、AE、CE，
则△CDE是等边三角形.
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE=DE, ∠ACB=60°, ∠CDE=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,
∴AE=BD=5，
∵∠ADC=30°,
∴∠ADE=90°,
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE= .
∴CD=4.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】以CD为边构造等边△CDE，则得到旋转型全等三角形，再根据勾股定理求解.
23．（2017·金华）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0，0)，A(3，3 )，B(9，5 )，C(14，0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA AB BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， ， (单位长度/秒)﹒当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．
（1）求AB所在直线的函数表达式.
（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.
（3）在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.
【答案】（1）解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b，
得 ；解得： ；
∴y= x+2 ；
（2）解：在△PQC中，PC=14-t，PC边上的高线长为 ；
∴
∴当t=5时，S有最大值；最大值为 .
（3）解： a.当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图1）；
可得方程
解得：，（舍去），此时t=.
b.当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图2）
可得方程，
解得：；（舍去），此时；
c.当6＜t≤10时，
①线段PQ的中垂线经过点C（如图3）
可得方程14-t=25-；
解得：t=.
②线段PQ的中垂线经过点B（如图4）
可得方程；
解得，（舍去）；
此时；
综上所述：t的值为，，，.
【知识点】一次函数-动态几何问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求直线AB方程即可。
（2）根据三角形的面积公式得到关于t的二次三项式，再由二次函数图象的性质求出S的最大值即可。
（3）根据t的值分情况讨论，依题意列出不同的方程从而求出t的值。
24．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
②解：AG⊥BE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
∵∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠ABE，
∵∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；
（2）解：由（1）可知AG⊥BE．
如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．
∴∠MON=90°，
又∵OA⊥OB，
∴∠AON=∠BOM．
∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OAN=∠OBM．
在△AON与△BOM中，
∴△AON≌△BOM（AAS）．
∴OM=ON，
∴矩形OMHN为正方形，
∴HO平分∠BHG．
（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．
与（1）同理，可以证明AG⊥BE．
过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，
与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，
可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，
∴∠BHO=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；
（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；
（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD= ，BC=4 ，求CD的长．
【答案】解：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，AE=DF，EF=AD= ．
设AE=DF=x，
∵直角△ABE中，∠B=45°，
∴BE= = =x．
∵在直角△CDF中，∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴CF= = = ．
又∵EF=BC+CF﹣BE，
∴ =4 + x﹣x，
解得：x=4 ．
在直角△CDF中，CD= = = = ．
【知识点】梯形
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，在直角△ABE和直角△CDF中利用三角函数，可以用x表示出BE，CF，然后根据EF=BC+CF﹣BE列方程求得x的值，再在直角△CDF中利用三角函数求得CD的长．
26．（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2 ，求PB+PE的最小值是多少？
【答案】解：如图，连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，
即 的最小值为线段DE的长，
∵四边形ABCD是菱形， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
又∵点E是AB的中点，
∴ ，
∴在 中， ，
故 的最小值是3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 如图，连接PD，BD，根据菱形的性质及线段垂直平分线的性质得出，从而得出
，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，根据菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理求出DE的长即可.
27．（2017八下·诸城期中）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，请求出这块草地面积．
【答案】解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如图所示：
∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠ABD=90°．
∴CE= CD=10，
∴BE=10 ，
∵∠A=45°，
∴AB=BD=2BE=20 ，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
= ×20 ×20 + ×20 ×10
=（600+100 ）m2．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．
28．（2022八上·金华开学考）如图：
【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ▲ ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】【问题背景】EF＝BE+FD
【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）【问题背景】：EF＝BE+FD，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD.
故答案为EF＝BE+FD；
【分析】（1）【问题背景】结论：EF＝BE+FD. 如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，利用“SAS”定理分别证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，再利用线段的和差关系等量代换即可得结论；
（2）【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立. 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，同【问题背景】证明方法类似，证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，利用线段的和差关系等量代换即可得到结论仍成立.
29．（2021九上·瓦房店月考）如图，四边形 和四边形 均为菱形，且 ．点 在线段 上，已知 ， ，且 ，连接 ， ，求 的长．
【答案】解：连接 ，交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， 平分 ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
在菱形 中，
有 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
有 ，
即 ．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
30．（2021八下·大连期中）四边形
是正方形，点E是边
上的点（与B、C不重合）．点F在正方形外角
的平分线
上，且
．求证：
．
【答案】证明：在 上取一点M，使 ，连接 ，
过点A作 交 延长线于点K，过点E作 交 延长线于点N．
∴．
∵四边形 是正方形，
∴， ，
∴，
即 ．
∴是等腰直角三角形．
，
∴，
∵是 的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ．
在 和 中，
， ，
∴
∴，
∴，
即 ，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】在上取一点M，使，连接，首先证明，证明出
，，再利用
得到
，再利用等量代换及角的运算可得
。
1 / 1人教版初中数学几何辅助线进阶训练——一般四边形的辅助线：连对角线、延长对边、作平行
一、阶段一（较易）
1．（2019八上·平遥月考）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求 的长.
2．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
3．（2021九上·文登期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积．
4．（2022八下·剑阁期末）如图，四边形 是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知 ．求四边形 的面积．
5．（2022八下·荔湾期末）已如：如图，四边形中，，求四边形的面积．
6．（2022八下·微山期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，求四边形ABCD的面积．
7．（2022八下·铁岭期中）如图，在四边形ABCD中，．求：四边形ABCD的面积．
8．（2022八下·金乡县月考）已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．
9．（2019八上·安顺期末）如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.
10．（2022八下·长汀期末）如图，四边形 中， ， ， ， ，求 的度数.
二、阶段二（中等）
11．（2021九上·甘井子期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝3，求四边形ABCD的面积．
12．（2021八下·兰山期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，并说明理由．
13．（2021八下·顺平期末）如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积．
14．（2022八下·浦北月考）如图，在四边形中，，求的长.
15．（2021八上·台安月考）如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
16．（2019九上·西城期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，若线段AE＝5，BE＝2，则S四边形ABCD的面积为多少？
17．（2020九上·银川期末）有一块如图所示的四边形空地，求此空地的面积.（结果保留根号）
18．（2020八下·甘井子月考）四边形 中， ， 平分 ， ， ， ，求 的长.
19．（2017八下·濮阳期中）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40 m，∠ABC=120°，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2，请问需投资金多少元？（结果保留整数）
20．（2019八上·港北期中）如图，在四边形 中， ， .求证： .
三、阶段三（较难）
21．（2019八上·湄潭期中）如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
22．（2019八下·襄城月考）如图，在四边形 中， 、 是对角线，已知 是等边三角形， ， ， ，求边 的长.
23．（2017·金华）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0，0)，A(3，3 )，B(9，5 )，C(14，0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA AB BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， ， (单位长度/秒)﹒当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．
（1）求AB所在直线的函数表达式.
（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.
（3）在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.
24．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD= ，BC=4 ，求CD的长．
26．（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2 ，求PB+PE的最小值是多少？
27．（2017八下·诸城期中）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，请求出这块草地面积．
28．（2022八上·金华开学考）如图：
【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ▲ ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
29．（2021九上·瓦房店月考）如图，四边形 和四边形 均为菱形，且 ．点 在线段 上，已知 ， ，且 ，连接 ， ，求 的长．
30．（2021八下·大连期中）四边形
是正方形，点E是边
上的点（与B、C不重合）．点F在正方形外角
的平分线
上，且
．求证：
．
答案解析部分
1．【答案】解：如图，分别延长 、 ，延长线相交于点 .
∵ ， ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等边三角形，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】延长AD和BC交于点E求出∠E的值，进而得出△CDE是等边三角形，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质求出BE的长度，即可得出答案.
2．【答案】解：连接AC，
∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，
，
是直角三角形且，
∴
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
3．【答案】解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴，
∴CE=BE-BC=2， ，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】延长AD、BC相交于点E，先求出，利用勾股定理求出DE的长，再利用割补法可得，最后将数据代入计算即可。
4．【答案】解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB=24m，BC=7m，
∴AC=，
在△ADC中，CD=15m，AD=20m，AC=25m，
∵，
∴△ADC为直角三角形，∠D=90°，
∴，
又∵，
∴，
答： 四边形ABCD的面积为234.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理（直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方）求出AC，利用勾股定理逆定理（如果三角形两条边边长的平方和等于第三边边长的平方，那么这个三角形是直角三角形）证得△ADC为直角三角形，分别求出△ABC和△ADC的面积，即可求出四边形的面积.
5．【答案】解：如图，连接AC，
，
所以四边形ABCD的面积为：
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后利用三角的面积公式及割补法求出四边形的面积即可。
6．【答案】解：连接DB，
在Rt△ABD中，AD＝，AB＝5，∠BAD＝90°，
∴，
∵BC＝10，CD＝8，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCB＝＝+24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接DB，先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，最后利用割补法求出四边形的面积即可。
7．【答案】解：延长交于点E，如图所示：
∵，
∴
∴
∴
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】延长交于点E， 易求，可得CE=CD=6，AB=AE=2，根据
进行计算即可.
8．【答案】解：连接AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=，
∵CD=1，AD=3，AC=，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积：
S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，再利用割补法求出四边形的面积S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+即可。
9．【答案】解：延长AD、BC，两条延长线交于点E,
∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠E=60°
∵∠ADC=120°
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
则CD=CE=DE
设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1
∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°
∴ x+4=2(x+1)
解得：x=2
∴CD=2.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据图形无法直接求出CD的长度，所以只能延长AD,BC构成等边三角形DCE，再根据直角三角形的性质求出CD的长度。
10．【答案】解：连接AC，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC的值，由等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，利用勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，然后根据∠BAD=∠BAC+∠DAC进行计算.
11．【答案】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠CFA＝90°，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，
∴四边形AECF是边长为3的正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 四边形AECF为矩形， 再利用AAS证明 △ABE≌△ADF ，最后求解即可。
12．【答案】解：当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】中点四边形
【解析】【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线的性质可得EH∥FG，EH＝FG，证明出四边形EFGH是平行四边形，再根据EH⊥HG可证明平行四边形EFGH是矩形。
13．【答案】解：如图，过点C作，
AB⊥BC，AB⊥AD，
四边形是矩形，
AB＝BC，
四边形是正方形，
，
CD，
在中，
，
，
四边形．
【知识点】勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】过点C作，先证出四边形是矩形，推出四边形是正方形，利用勾股定理得出DE的值，得出AD的值，再代入计算即可。
14．【答案】解：延长相交于点，
中，
中，
设
在中，由勾股定理得，
.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】延长AD、BC相交于点E，根据内角和定理可得∠E的度数，由含30°角的直角三角形的性质可得CD=2CD=8，由BE=BC+CE可求出BE，设AB=x，则AE=2x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得x的值，即为AB的长.
15．【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同校的补角相等得出，根据SAS证明 ，则 ， ，进而证明 ，根据SAS证明 ，得出ME=MN，则 ．
16．【答案】解：作DF⊥AE于点F，如图，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠B，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE＝2，DF＝EC＝AE＝5
∵四边形ABCD的面积为△ABE面积、△DAF面积、矩形CDFE面积之和，
∴S四边形ABCD＝ ＝ ，
答：四边形ABCD的面积为25．
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 作DF⊥AE于点F，如图， 根据AAS可证△ABE≌△DAF，可得AF＝BE＝2，DF＝EC＝AE＝5，由于四边形ABCD的面积=△ABE面积+△DAF面积+矩形CDFE面积，据此进行计算即可.
17．【答案】解：如图，连接BD，过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥CD于F.
，
，
∴ ，
=
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可.
18．【答案】解：延长CB分别交DE、DA的延长线于点H点和G点，如图：
∵ 平分 ，
∴∠ADE=∠HDC，
∵ ，∠DAE=90°，
∴∠DHC=90°，
∴△CDG是等腰三角形，
∴ ，
∵∠BEH=∠DEA，∠DAE=∠BAG,
∴∠ADE=∠GBA，
在△BGA和△DEA中
∵ ，
∴△BGA △DEA，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由DE平分∠CDA，∠C=∠AED可得∠DHC=90°，可得△CDG是等腰三角形， ，再证明△BGA △DEA，可得 ， ，利用勾股定理得DE=10.
19．【答案】解：连接BD，AC，
∵菱形ABCD的周长为40 m，
∴菱形ABCD的边长为10 m，
∵∠ABC=120°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴对角线BD=10 m，AC=10 m，
∵E，F，G，H是菱形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH是矩形，矩形的边长分别为5 m，5 m，
∴矩形EFGH的面积为5 ×5 =50 （m2），即需投资金为50 ×10=500 ≈866（元）．
答：需投资金为866元．
【知识点】菱形的性质；中点四边形
【解析】【分析】连接BD，AC，由菱形ABCD的周长求出边长，再由∠ABC的度数确定出三角形ABD与三角形BCD都为等边三角形，进而求出BD与AC的长，由E、F、G、H分别为中点确定出四边形EFGH为矩形，求出矩形边长，进而求出矩形面积，求出所求即可．
20．【答案】解：B作BE⊥AB交BC的延长线于点E，
则AB=BE，∠E=∠A，
∵ ， ，
∴∠E=∠C，∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，
∴∠BDE=75°，∠DBC=75°，
在△BCD与△DEB中，
∴△BCD≌△DEB（AAS），
∴CD=BE=AB.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】过点B作BE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=BE，∠E=∠C，由已知可得∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，可推出∠BDE=75°，∠DBC=75°，可证得△BCD≌△DEB，得CD=BE=AB.
21．【答案】解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，从而利用SSS证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD.
22．【答案】解：如图，将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得CE，连接DE、AE、CE，
则△CDE是等边三角形.
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE=DE, ∠ACB=60°, ∠CDE=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,
∴AE=BD=5，
∵∠ADC=30°,
∴∠ADE=90°,
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE= .
∴CD=4.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】以CD为边构造等边△CDE，则得到旋转型全等三角形，再根据勾股定理求解.
23．【答案】（1）解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b，
得 ；解得： ；
∴y= x+2 ；
（2）解：在△PQC中，PC=14-t，PC边上的高线长为 ；
∴
∴当t=5时，S有最大值；最大值为 .
（3）解： a.当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图1）；
可得方程
解得：，（舍去），此时t=.
b.当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图2）
可得方程，
解得：；（舍去），此时；
c.当6＜t≤10时，
①线段PQ的中垂线经过点C（如图3）
可得方程14-t=25-；
解得：t=.
②线段PQ的中垂线经过点B（如图4）
可得方程；
解得，（舍去）；
此时；
综上所述：t的值为，，，.
【知识点】一次函数-动态几何问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求直线AB方程即可。
（2）根据三角形的面积公式得到关于t的二次三项式，再由二次函数图象的性质求出S的最大值即可。
（3）根据t的值分情况讨论，依题意列出不同的方程从而求出t的值。
24．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
②解：AG⊥BE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
∵∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠ABE，
∵∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；
（2）解：由（1）可知AG⊥BE．
如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．
∴∠MON=90°，
又∵OA⊥OB，
∴∠AON=∠BOM．
∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OAN=∠OBM．
在△AON与△BOM中，
∴△AON≌△BOM（AAS）．
∴OM=ON，
∴矩形OMHN为正方形，
∴HO平分∠BHG．
（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．
与（1）同理，可以证明AG⊥BE．
过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，
与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，
可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，
∴∠BHO=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；
（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；
（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．
25．【答案】解：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，AE=DF，EF=AD= ．
设AE=DF=x，
∵直角△ABE中，∠B=45°，
∴BE= = =x．
∵在直角△CDF中，∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴CF= = = ．
又∵EF=BC+CF﹣BE，
∴ =4 + x﹣x，
解得：x=4 ．
在直角△CDF中，CD= = = = ．
【知识点】梯形
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，在直角△ABE和直角△CDF中利用三角函数，可以用x表示出BE，CF，然后根据EF=BC+CF﹣BE列方程求得x的值，再在直角△CDF中利用三角函数求得CD的长．
26．【答案】解：如图，连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，
即 的最小值为线段DE的长，
∵四边形ABCD是菱形， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
又∵点E是AB的中点，
∴ ，
∴在 中， ，
故 的最小值是3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 如图，连接PD，BD，根据菱形的性质及线段垂直平分线的性质得出，从而得出
，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，根据菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理求出DE的长即可.
27．【答案】解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如图所示：
∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠ABD=90°．
∴CE= CD=10，
∴BE=10 ，
∵∠A=45°，
∴AB=BD=2BE=20 ，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
= ×20 ×20 + ×20 ×10
=（600+100 ）m2．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．
28．【答案】【问题背景】EF＝BE+FD
【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）【问题背景】：EF＝BE+FD，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD.
故答案为EF＝BE+FD；
【分析】（1）【问题背景】结论：EF＝BE+FD. 如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，利用“SAS”定理分别证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，再利用线段的和差关系等量代换即可得结论；
（2）【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立. 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，同【问题背景】证明方法类似，证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，利用线段的和差关系等量代换即可得到结论仍成立.
29．【答案】解：连接 ，交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， 平分 ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
在菱形 中，
有 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
有 ，
即 ．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
30．【答案】证明：在 上取一点M，使 ，连接 ，
过点A作 交 延长线于点K，过点E作 交 延长线于点N．
∴．
∵四边形 是正方形，
∴， ，
∴，
即 ．
∴是等腰直角三角形．
，
∴，
∵是 的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ．
在 和 中，
， ，
∴
∴，
∴，
即 ，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】在上取一点M，使，连接，首先证明，证明出
，，再利用
得到
，再利用等量代换及角的运算可得
。
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