直线的位置关系（复习)[上学期]
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课件13张PPT。两条直线的位置关系--复习一、基础知识回顾（1）两直线平行①当两直线斜率都不存在时，②当两直线斜率都存在时，
设则（2）两直线垂直 ①两直线中有一条斜率不存在时，另一条直线的斜率为0②当两直线斜率都存在时，
设为k1, k2θ1L1L2θ2①直线L1到L2的角：直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角。图中θ1是L1到L2的角，θ2是L2到L1的角。（3）两直线的夹角②直线L1到L2的角公式：③直线L1与L2的夹角：当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅
有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角，
记夹角为α。当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是π/2。④直线L1和L2的夹角公式：夹角的范围是 00＜α≤900 过点P作直线l的垂线，P与垂足Q之间的线段PQ的长度①点到直线的距离是指PlQ(4)点到直线的距离公式特征：分子是P点坐标代入直线方程；
分母是直线方程未知数x、y系数平方和的算术根
②已知：P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0 则P点到直线L的距离d例1.设a，b，c 分别是⊿ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长.
则直线L1： xsinA + ay + c =0 和直线L2： bx－ysinB+ sinC = 0
的位置关系是（ ）.
A .平行 B. 重合 C.垂直 D.相交但不垂直解：二.重要题型剖析直线L1的斜率直线L2的斜率由正弦定理知所以直线L1和直线L2垂直,故选C例2：已知两直线L1： x+a2y+6=0，
L2：（a-2）x+3ay+2a=0，
问a为何值时L1与L2（1）平行（2）重合（3）相交解：(1)若a=0时，L1：x+6=0 L2：x=0，所以L1∥L2①当a=3时，L1: x+9y+6=0 L2 : x+9y+6=0∴L1、L2重合②当a=-1，L1: x+y+6=0 L2 : -3x-3y-2=0 ∴ L1、L2平行③当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交综合上述:当a=0或-1时L1与L2平行;当a=3时L1与L2重合;当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交例4.已知△ABC的三边方程分别是AB:4x-3y+10=0,
BC:y-2=0,CA:3x-4y-5=0
(1)求∠B的大小.
(2) 求∠BAC的内角平分线所在直线方程.
(3)求AB边上的高所在的直线方程.解:(1)∠B是直线BA到BC的角(2)设P(x,y)为∠BAC的内角平分线所在直线上任意一点解得7x-7y+5=0或x+y+15=0由图形知7x-7y+5=0为所求(3)设AB边上的高所在的直线方程为3x-4y-5+λ(y-2)=0即3x-(4- λ)y-(5+2 λ)=0由直线垂直的充要条件,得解得λ=8所以所求直线方程是3x+4y-21=0例5. 正方形的中心为(-6,3),它的一边所在直线方程为5x+12y+7=0，求其它边所在直线方程。解：设正方形ABCD的边AB的方程是5x+12y+7=0∵CD∥AB ，∴CD边所在直线方程设为5x+12y+m=0（m≠7）∵正方形的中心P（-6，3）到直线5x+12y+7=0的距离d∴正方形的中心P到直线CD的距离是1∴直线CD的方程是5x+12y-19=0又AD、CB与直线AB垂直，可设AD、BC的方程是12x-5y+n=0∴AD、BC的方程是12x-5y+100=0或12x-5y+74=0例6.求直线a：2x+y-4=0关于直线L：3x+4y-1=0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识，若直线a、b关于直线L对称，它们有下列几何性质：①若a、b相交，则L是a、b交角的平分线。②若点A在直线a上，那么，点A关于直线L的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥L，且AB中点D在L上。解：解得a与L的交点E（3，-2），且点E在直线b上解法一：设直线b的斜率是k，又知a的斜率是-2，L的斜率是所以直线b的方程是即2x+11y+16=0求直线a：2x+y-4=0关于直线L：3x+4y-1=0对称的直线b的方程解法二：在直线a上取一点A（2，0），设点A关于直线L的对称点B的坐标是（x0，y0）AB则直线AB的方程是即4x-3y-8=0解得AB和L的交点M的坐标由中点坐标公式所以直线b的方程是∴b的方程是2x+11y+16=0例7.已知直线l经过点P(2，3)，且和两条平行直线：3x+4y+8=0,3x+4y-7=0 分别交于A、B两点，且|AB|= 求直线l的方程分析 所求直线l经过点P(2，3)，要想使问题解决，或求出它的斜率，或者再找到一个位于直线l上的点，此题难点是如何将条件|AB|= 转化为有用的信息
解:两条平行直线：3x+4y+8=0,3x+4y-7=0之间的距离因为|AB|=所以直线l与3x+4y+8=0的夹角是45o设直线l的斜率为k．则有即7x+y-17=0或x-7y+19=03x+4y+8=03x+4y-7=0BPA
设则（2）两直线垂直 ①两直线中有一条斜率不存在时，另一条直线的斜率为0②当两直线斜率都存在时，
设为k1, k2θ1L1L2θ2①直线L1到L2的角：直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角。图中θ1是L1到L2的角，θ2是L2到L1的角。（3）两直线的夹角②直线L1到L2的角公式：③直线L1与L2的夹角：当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅
有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角，
记夹角为α。当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是π/2。④直线L1和L2的夹角公式：夹角的范围是 00＜α≤900 过点P作直线l的垂线，P与垂足Q之间的线段PQ的长度①点到直线的距离是指PlQ(4)点到直线的距离公式特征：分子是P点坐标代入直线方程；
分母是直线方程未知数x、y系数平方和的算术根
②已知：P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0 则P点到直线L的距离d例1.设a，b，c 分别是⊿ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长.
则直线L1： xsinA + ay + c =0 和直线L2： bx－ysinB+ sinC = 0
的位置关系是（ ）.
A .平行 B. 重合 C.垂直 D.相交但不垂直解：二.重要题型剖析直线L1的斜率直线L2的斜率由正弦定理知所以直线L1和直线L2垂直,故选C例2：已知两直线L1： x+a2y+6=0，
L2：（a-2）x+3ay+2a=0，
问a为何值时L1与L2（1）平行（2）重合（3）相交解：(1)若a=0时，L1：x+6=0 L2：x=0，所以L1∥L2①当a=3时，L1: x+9y+6=0 L2 : x+9y+6=0∴L1、L2重合②当a=-1，L1: x+y+6=0 L2 : -3x-3y-2=0 ∴ L1、L2平行③当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交综合上述:当a=0或-1时L1与L2平行;当a=3时L1与L2重合;当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交例4.已知△ABC的三边方程分别是AB:4x-3y+10=0,
BC:y-2=0,CA:3x-4y-5=0
(1)求∠B的大小.
(2) 求∠BAC的内角平分线所在直线方程.
(3)求AB边上的高所在的直线方程.解:(1)∠B是直线BA到BC的角(2)设P(x,y)为∠BAC的内角平分线所在直线上任意一点解得7x-7y+5=0或x+y+15=0由图形知7x-7y+5=0为所求(3)设AB边上的高所在的直线方程为3x-4y-5+λ(y-2)=0即3x-(4- λ)y-(5+2 λ)=0由直线垂直的充要条件,得解得λ=8所以所求直线方程是3x+4y-21=0例5. 正方形的中心为(-6,3),它的一边所在直线方程为5x+12y+7=0，求其它边所在直线方程。解：设正方形ABCD的边AB的方程是5x+12y+7=0∵CD∥AB ，∴CD边所在直线方程设为5x+12y+m=0（m≠7）∵正方形的中心P（-6，3）到直线5x+12y+7=0的距离d∴正方形的中心P到直线CD的距离是1∴直线CD的方程是5x+12y-19=0又AD、CB与直线AB垂直，可设AD、BC的方程是12x-5y+n=0∴AD、BC的方程是12x-5y+100=0或12x-5y+74=0例6.求直线a：2x+y-4=0关于直线L：3x+4y-1=0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识，若直线a、b关于直线L对称，它们有下列几何性质：①若a、b相交，则L是a、b交角的平分线。②若点A在直线a上，那么，点A关于直线L的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥L，且AB中点D在L上。解：解得a与L的交点E（3，-2），且点E在直线b上解法一：设直线b的斜率是k，又知a的斜率是-2，L的斜率是所以直线b的方程是即2x+11y+16=0求直线a：2x+y-4=0关于直线L：3x+4y-1=0对称的直线b的方程解法二：在直线a上取一点A（2，0），设点A关于直线L的对称点B的坐标是（x0，y0）AB则直线AB的方程是即4x-3y-8=0解得AB和L的交点M的坐标由中点坐标公式所以直线b的方程是∴b的方程是2x+11y+16=0例7.已知直线l经过点P(2，3)，且和两条平行直线：3x+4y+8=0,3x+4y-7=0 分别交于A、B两点，且|AB|= 求直线l的方程分析 所求直线l经过点P(2，3)，要想使问题解决，或求出它的斜率，或者再找到一个位于直线l上的点，此题难点是如何将条件|AB|= 转化为有用的信息
解:两条平行直线：3x+4y+8=0,3x+4y-7=0之间的距离因为|AB|=所以直线l与3x+4y+8=0的夹角是45o设直线l的斜率为k．则有即7x+y-17=0或x-7y+19=03x+4y+8=03x+4y-7=0BPA