高2024届高二（下）期中考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，月2B铅笔把答题卡上对应题司的答策标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答策标号。在武卷上作答无效。
3.考武结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如所示的散点：
35
35
30
30
25
20
5
10
0
5101520253035
5101520253035
关系数为
相关系数为
35
35
3
25
20
。
2
15
10
10
5101520253035
5101520253035
相关系数为
和关系数为”4
下面关于相关系数的比较，正确的是(
A.4<片<片<5B.5C.52<<5<片
D.f<<5<
2.新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其铅误选项可能有0个、1个或2个，
这种趣型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之卜的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握
原即、内化方法、举一反”的教考衔接要求.若某道数学不定项选择题存在错误选项，
且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有()
A.24种
B.48种
C.36种
D.60种
高二数学试卷第1页共8负
3.某部门统计了某地区今什前7个月在线外卖的规模如下表：
丹份代马x
3
6
7
在线外卖规模y(T万元)
13
18
★
28
★
35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据顸糊，但这7个月的平均俏为23.若利用回归直线
方程立=bx-a米拟合预测，H7月相应于点(735)的残差为0.6，则á-乃=()
4.1.0
B.2.0
C.3.0
D.4.0
4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y='（x)的部分图像如图所示，则下列结论正确
的是()
A.x=1是f(x)的极小值点
=f'(x)
B.f(-2)>f(-1)
C.函数f(x)在(-1，)上有枚人俏
D.函数f(x)有三个极俏点
5.数列{an}的前h项和为S,对一切正整数，点(，Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，
2
b。=
ya,+yara
(∈N°H≥1)，则数列{b.}的前n项和为T=()
A.V2n+1-√2-1B.N2n-3-1
C.V2+3-V3
D.√2n-V2n-2
6.重庆，我国四大直辖市之一，在四人直辖市中，5A级旅游点最多，资源最为丰富，不
仪有山水自然风光，还有人文历史录戏.现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准
备从武隧喀斯特旅游区、巫山小一峡、南川金佛、人足石刻和西阳桃花源5个国家5A
级旅游景区中随机选择其中一个录区游玩.记市件A:甲和乙至少一人选择巫山小三峡，
事件B:叩和乙选择的景区不同，则条件概率P(BA)=()
.
6
A.
6
C.8
8
D.
高二数学试卷第2灾共8页高 2024 届高二（下）期中考试数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B B C D A D
1．C
【详解】由图知 r3， r1 所对应图中的散点呈现正相关，而且 r1 对应的相关性比 r3相关性更强，故0 r3 r1。由图
知 r2，r4所对应图中的散点呈现负相关，而且 r2对应的相关性比 r4相关性更强，故 r2 r4 0，因此 r2 r4 0 r3 r1，
故选 C.
2．C
4
【详解】当错误选项恰有 1个时，4个选项进行排列有A4 24种；当错误选项恰有 2个时，先排 2个正确选项，再
将 2 2 2个错误选项插入到 3个空位中，有A2A3 12种．故共有 24 12 36种．故选：C．
3．B
1
【详解】依题意， x (1 2 3 4 5 6 7) 4，而 y 23，于是得
7 4b
a 23，
而当 x 7时，35 (7b a ) 0.6 ，即7b a 35.6，联立解得 a 6.2,b 4.2，所以 a b 2.0 .故选：B
4．B
【详解】当 x 3时， f (x) > 0， f x 单调递增，当 3 x 1时， f x 0， f x 单调递减，
所以有 f 2 f 1 ，因此选项 B正确；当 1 x 1时， f (x) > 0， f x 单调递增，
所以 f x 在 1,1 上没有极大值，因此选项 C不正确；当 x 1时， f (x) > 0， f x 单调递增，因此 x 1不是 f x
的极值点，只有当 x 3时， x= 1函数有极值点，所以选项 A不正确，选项 D不正确，故选：B
5．C
【详解】由题意知 Sn n
2 2n①，
当 n 1时， S1 a1 3，当 n 2时， Sn 1 (n 1)
2 2(n 1) n 2 1 ②，①-②，得 an Sn Sn 1 2n 1，
若 n 1， a1 3，符合题意，所以 an 2n 1，则 an 1 2n 3，
b 2 2所以 n 2n 3 2n 1an an 1 2n 1 2n 3
，
则Tn b1 b2 bn 5 3 7 5 2 n 3 2 n 1 2n 3 3 .故选：C.
1
6．D
【详解】由题意可知事件 A发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为
C1 12C4 1 9 ,事件 A,B同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为C1C12 4 8，故
P ABP B A 8 ,故选：DP(A) 9
7．A
1
【详解】由题可知 2a 2b 1，即 a b ， E(X ) a 4b 3a 4(a b) 2，
2
D X a 1 2 2 2 3 2 a 2a，则D bX b2D X 2ab2 2b3 b2，
令 f b 2b 3 b 2 2，则 f b 6b 2b 2b 3b 1 ，则 f (b)在 0,
1 1 1
上单调递增，在3
, 上单调递减，所以
3 2
f b f 1 1max
1
，则D bX 的最大值为 .故选：A.
3 27 27
8．D
2
( ) = , ( ) = + 1 1 1【详解】设 2 ，则 '( ) = ，当 0 < < 时， '( ) > 0， ( )单调递增，当 > 2 2
时， '( ) < 0， ( ) 单调递减，则 ( ) = ( ) = = 0，所以 (3) = 3
3 < 0，所以 2 3 < 6，即 < ；
'( ) = 2
1 = 2 ，当 0 < < 时， '( ) < 0， ( )单调递减，当 > 时， '( ) > 0， ( )单调递增，则 ( ) =
2
( ) = 2
+ 1 = 0 9 3 1 9 6，所以 (3) = 2 + > 0， 2 + 1 > ，即 > ，所以 < < ，故选 D.2 2 2 2
二、多选题
9 10 11 12
AB BCD BD ABC
9．AB
【详解】对于 A，在回归直线方程 y 0.8x 12 中， 当解释变量 x 每增加一个单位时, 响应变量 y平均增加 0.8
个单位，故 A正确；
n n
2 2
对于 B，用随机误差的平方和，即:Q yi y i yi a bxi ，并使之达到最小；这样回归直线就是所有直
i 1 i 1
线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘, 所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所
n
2
以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 (yi bxi a) 最小的原理；故 B正确；
i 1
对于 C，对分类变量 X 与Y , 对它们的随机变量 2 的观测值越小，则“ X 与Y 有关系”的把握程度越小，故 C错误；
对于 D，样本相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关
系数为 1 , 故 D错误. 故选：AB.
2
10．BCD
2 2 1
【详解】对于 A，将甲乙捆绑有A2 种方法，若戊在丙丁之间有A2 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有A4
2 1 2 1 2
种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有A2 A2 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有A2 A2 A2 种排法，所
以总的排法有A2 A2 1 2 12 2 A4 A2 A2 A
2
2 24 ，故 A
4
错误；对于 B，若甲在最左端，有A4 24 种排法，若乙在最左端，
1 3
先排甲有A3 3 种排法，再排剩下的 3人有A3 6 ，所以总共有24 3 6 42 种排法，正确；对于 C，先将甲乙
1 1 1 1
丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有A4 种，再插戊有A5 种，总共有A4 A5 20 种，正确；对于 D，先
3 C2 3 3 A3分组，将甲乙丙丁分成 组有 4 种分法，再将分好的 组安排在 个社区有 3 种方法，共有C
2
4 A
3
3 36 种方法，
正确；故选：BCD.
11．BD
n 1 S nS n n 1 a1 an n n 1 a a【详解】对于 A，由 得： 1 n 1 n n 1 ，2 2
整理可得： an an 1， an 1 an 0，即数列 an 的公差大于 0，A错误；
对于 B，由 a2023S2022 a2023S2021 得： a2023 S2022 S2021 a2022a2023 0，
由 A知，数列 an 为递增数列， a2022 0， a2023 0，B正确；
对于 C，由 B知：当 n 2022时， an 0；当 n 2023时， an 0；
S 4044 a a n的最小值为 S2022 ，C错误；对于 D， S 1 40444044 2022 a2022 a2023 2022 S2 2023 S2021 0
，
4045
S a 1 a4045 4045 4045a2023 0， 使得 Sn 0成立的n的最小值为 4045，D正确.故选：BD.2
12．ABC
5 1
【详解】因为 a，c，a c成等比数列，所以 c2 ac a2，所以b2 ac且 e2 e 1 0，解得 e （负根舍），
2
2
e c 1 b
2 b ac c b
又 ，所以 ea a a a2
e，所以 ，即 E的一条渐近线的斜率为 e，故 A正确；
a a
b b
不妨设 F为左焦点，B为虚轴的上端点，则 A为右顶点，则 BF的斜率 kBF ，AB的斜率 kc AB
，所以
a
k k b
2
BF AB 1，所以 AB BF，故 B正确；ac
x2 21 y 1 2 2 1 2 2
设 P x1, y
a b y y y y b y y y b
1 ，Q x2 , y2 ， M x ,y 2 1 2 1 2 1 0 0 0 ，则 x2 2 ，作差后整理得 2 y2 x2 x x x a 2
，即 ，
1 2 1 x2 x1 x0 a
2
2 2 1 a b
k k b
2 c2 a2 ac c
所以 PQ OM 2 2 2 e，故 C正确；a a a a
3
2 2 2 2 2
设直线OP : y kx
1
，则直线OQ : y x，将 y kx代入双曲线方程b2x2 a2 y2 a2b2 x2 a b，得 ，则 y2 a b k
k b2 a2k 2 b2 a2k 2
，
2 a
2b2 k 2 1 1 a2b2 k 2 1
OP x2 y2 ，将 k换成 得 OQ 2 ，则
b2 a2k 2 k b2k 2 a2
1 1 b2 a2 k 2 1 b2 a2 1 1 5 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 与 b的值有关，故 D错误．故选：ABC．OP OQ a b k 1 a b a b 2b
三、填空题
13 14 15 16
5 1 320.4
2 ， . 1125 ,
e
13． 5
5
1 1
5 1 5
【详解】 x2 1 x x2 x x x ， x x
5 r
x 1 T Crx 5 r 1 1 r 的展开式的通项为 r 5 2rr 1 5 C5x ,r 0,1,2,3,4,5 ．
x x
3 4
令5 2r 1，则 r 3， 1 C35 10．令5 2r 3，则 r 4， 1 C45 5，
x2 1 x 1
5 1
故 的展开式中含 项的系数为 10 5 5．故答案为： 5
x x
14. 12
2
【详解】由题可得圆C1 : x a y2 4的圆心为C1 a,0 ，半径为 r1 2，
圆C2 : x
2 2 y b 1的圆心为C2 0,b ，半径为 r2 1 .因为两圆外切，可得 a2 b2 9，
（ a 0,b 0
b
）， 可看作平面直角坐标系中的定点 A 6,0 与圆弧 a2 b2 9 a 0,b 0 上的动点 P a,b 连线a 6
b 1 1
的斜率，结合图形可知，当点 P为 0,3 时， 最大，此时其最大值为 2 ．故答案为： .a 6 2
32
15． 0.4 ， .
125
【详解】由题设知： 98, 8，
1 P 0.25 X 0.25
∴ P(X 100) 0.4 .
2
P 2 2 2 2 (1 2) 2 2 2由题意，要使电路能正常工作的概率 (1
2 32
) .
5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
32
故答案为： 0.4 ， .
125
4
1 x
16． ,
ln xe
【详解】由 axex x x x x ln x 0 ，可得 axe x ln x 0 ， axe ln xe 0，可得
e a
，
xex
令 t xex 0 x 0 ，可得 a ln t≥ ，令 g x ln x 1 ln x x 0 ，有 g x ，t x x2
令 g x 0，可得0 x e；令 g x 0，可得 x e；可知函数 g x 的增区间为 0,e ，减区间为 e, ，
所以 g x 1 1 1 g e ，故 a max ，即 a的最小值为 ．e e e
四、解答题
17.【详解】（1）当 n 1时， 2S1 2a1 a
2 1 , 21 所以 a1 1 0，即 a1 1,又 an 为单调递增数列，所以 an 1 .
由 2Sn a
2
n n 2S
2
得 n 1 an 1 n 1，所以 2Sn 1 2S
2 2
n an 1 an 1 ,
2 2
整理得 2an 1 an 1 an 1 ,所以 a
2
n an 1 1
2 .所以 an a
，
n 1 1或-an an 1 1
若-an an 1 1，由 a1 1， a1 = a2 1则a2 = 0,矛盾。
所以 an 1 an 1 ,所以{an}是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以 an n ....................5分
an 2 n 2 1 1
（2）bn 2n 1
a a 2n 1
n n 1 n n 1 2n n 2n 1 n 1
T 1 1 1 1
1 1 1 1 1
所以 n
1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2n
n 2n 1
n 1 21 1 2n 1
n 1 2 .....................10分
18．【详解】（1）年龄平均数为：
x 5 0.01 24.5 0.02 29.5 0.03 34.5 0.09 39.5 0.03 44.5 0.02 49.5 38.75，
0.2 2
中位数为37 5 39 （岁）.....................5分
0.45 9
（2）因为年龄在 32,37 及 37,42 的频率分别为 0.15，0.45，故分层抽样抽取 8人中有 2人年龄在 32,37 ，6
人年龄在 37,42 . X 服从超几何分布，N = 8,M = 2, n = 3, X 的可能取值为 0，1，2，
C3P X 0 6 20 5 P X 1 C
1 2
2C6 30 15 P X 2 C
2 1
2C6 6 3 3 C8 56 14 C
3
8 56 28 C
3
8 56 28则 ， ， ，
X 的分布列为：
X 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28
5
E X 2 3 3故 ......................12分
8 4
6 6
19．【详解】（1） xi 168 x 28， yi 66， y 11
i 1 i 1
n 6
(xi x)(yi y) xi yi 6x y
r i 1 i 1 2017 6 28 11 169= =
n n 6 6
2 2 2 2 2 2 4962 6 282 838 6 112 258 112 (xi x) (yi y) xi 6x yi 6y
i 1 i 1 i 1 i 1
169
0.99．
4 1806
x和 y成线性正相关，满足一元回归模型．......................6分
6
xi y i 6x y
（2）b i 1 1696 258 0.66， a 11
169
258 28 7.34，2
x 2i 6x
i 1
y 0.66x 7.34，当 x 45时， y 22.36．......................12分
20．【详解】（1）取 AC中点 E，连接 A1E，D1E，
AB BC, A1A A1C， A1E AC ,BE AC ,A1E BE E ， AC 平面A1EB
又 BA1 平面A1EB， AC BA1
又 A1C1 AC， A1C1 B1A1 .....................6分
(2) AB2 A 2 21B AA1 A1B AB
同理 A1B BC,BC AB B A1B 平面ABC
以 B为坐标原点，过 B作 BE的垂线为 x轴， BE为 y轴， BA1为 z轴，如图建立
空间直角坐标系
令 AB 2，则 B(0,0,0)，C(1, 3,0) , A1(0,0,2) ,C1(2,0,2)
BC (1, 3,0) , BC1 (2,0, 2) , BA1 (0,0, 2)
设平面BCC1的一个法向量为n (x, y, z)，则
n BC 0 x 3
x 3y 0
n BC 0 ，即 ，取1 y 1 ， n ( 3,1, 3) 2x 2z 0
z 3
6
同理，平面A1BC的一个法向量为m ( 3,1,0)
cos n,m 3 1 2 77 ，2 7
二面角的正弦值为 21 .....................12分
7
21．【详解】（1）设 p(x, y)，由题意得
y 2 2kPAkPB
y 1 x y
x 2 x 2 2
2 1(x 2)
轨迹为去掉左右顶点的双曲线.....................5分
（2）设切点 (x0 , y0 )，显然直线斜率存在，则设 l : y k(x x0 ) y0
x2 y2 2
得 (1 k 2 )x2 2k(y kx )x (y kx 2y k(x x ) y 0 0 0 0
) 2 0
0 0
当 k 1时， 直线与渐近线平行，显然不可能是切线。
当 k x 1时，由 0 k 0 ，
y0
x
所以 y 0y (x x
2 2
0 ) y0 yy0 xx0 x0 y0 xx0 2 xx0 yy0 2所以切线方程为 ，
0 ，
2x 2 2x 2 4 4x 2 4 1 x 2
d1d2
0 0 0 0 2
所以 x 20 y
2 2
0 x0 y
2 x 20 y
2 2x 20 0 20 ，所以为定值 2......................12分
22．【详解】（1）（1）当 a 1时， f (x) ex x2 e, f (x) ex 2x，故 f (0) e0 2 0 1, f (0) 1 e，
故在点 (0, f (0))处的切线方程为 y x 1 e；.....................3分
（2）解：由题意知 f (x) ex 2mx 0有且只有一个根且 f (x)有正有负，
构建 g(x) f (x)，则 g (x) ex 2m .
①当m 0时， g (x) 0当 x R 时恒成立， g(x)在R 上单调递增，
g 1
1
因为 e 2m 1 0, g(0) 1 0，
2m
所以 g(x)有一个零点，即为 f (x)的一个极值点；
②当m 0时， g(x) f (x) ex 0在R上恒成立，即 f (x)无极值点；
③当m 0时，当 x ln( 2m), g (x) 0；当 x ln( 2m), g (x) 0，
7
所以 g(x)在 ( ,ln( 2m))单调递减，在 (ln( 2m), )上单调递增，
故 g(x)min g(ln( 2m)) 2m 2m ln( 2m)，
若 g(x)min 0，则 1 ln( 2m) 0
e
，即m< .
2
因为m 0，所以当 x 0时， g(x) 0，
当 x 0时， g(2ln( 2m)) 4m2 4m ln( 2m) 4m[ m ln( 2m)]，
令 m t，则 s(t) t ln(2t), t
e
，故 s (t)
t 1
0，
2 t
e , s(t) s e e e e故 s(t) 在 上为增函数.故 ln 1 ln2 0，
2 2 2 2 2
故 2m[ 2m ln( 2m)] 0 m e，故当 时， g(x)有两个零点，此时 f (x)有两个极值点，
2
当 g(ln( 2m)) 0时， g(x) 0当 x R 时恒成立，即 f (x)无极值点；
综上所述：m 0 ......................7分
（3）解：由题意知，对于任意的 x R ，使得 f (x) n恒成立，则当 n取最大值时，m n取到最小值.
当m 0时，因为 f (x) ex e 0 e e，故当 n e时，m n的最小值为 e；
当m 0时，当 x 0时， f (x) ex mx2 e mx2 e 1，所以 f (x)无最小值，即m n无最小值；
x
当m 0时，由（2）得 f (x)只有一个零点 x0，即 e 0 2mx0 0且 x0 0，
当 x x0时， f (x) 0，当 x x0时， f (x) 0，
所以 f (x)在 , x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增， f (x)min f x e x0 20 mx0 e n ，
m n m ex此时 0 mx20 e，
x0 x0 x0
ex0 2mx 0 m e e e m n ex0 x 2 1 x
1
因为 0 ，所以 ，代入得 0 e e 02x 2x 2x 2
x 0 2 e ，
0 0 0 x0
1 1 x 2
令 (x) e x x 2 e(x
e (x 1) (x 1)
0), (x)
2 x 2x2
(x 0)，
当 x 1时， (x) 0，当 1 x 0时， (x) 0，
所以 (x)在 ( , 1)上单调递减，在 ( 1,0)上单调递增，
(x) ( 1 1 3min 1) e ，此时m ,n e，e 2e 2e
所以m n
1
的最小值为 e ......................12分
e
8
