高州中学2022—2023学年度第二学期高二期中考试
数学科参考答案
A 解析：，故，
故在点处的切线方程为，化简得
2.B 解析： 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A·A种排法。而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A种排法，故共有A·A·A＝24种排法。
3.C 解析：二项式展开式的通项为，令，
解得，所以，故的系数为；
4.B 解析：设事件：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件：化学排第四节. ，，故满足条件的概率是.
5.A 解析：令，则，∴在上单调递增.
∵不等式可化为，即，∴，
则不等式的解集为.
6.D 解析：由，又是函数的极大值点，
，则，，令，得，
则当时，的极小值为
7.D 解析：去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数为，
对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则前行数字个数之和为，当时，，
故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去所有23个1，再加上杨辉三角中第13行第二个数字12即可，故所求数列的前项和为：.
C 解析：考查函数，由，得
由得，所以在上单调递增，在上单调递减，
选项,，，故本选项正确，不合题意；
选项：即故本选项正确，不合题意；
选项即,故本选项错误，符合题意；
选项即，即
即故本选项正确，不合题意．
BD 解析：圆，即圆心坐标为，半径，如图所示：
圆心到直线的距离， ，所以A选项错误；
，选项B正确；
由，作直线的平行线，使两直线的距离为1，这样的平行线有两条，一条与圆 相切，另一条过圆心与圆相交，可知圆上到直线l的距离为1的点共3个，C选项错误， D选项正确.
10．AD
解析：对于选项A，当时，；当时，，故选项A正确；
对于选项B，，令可得，有，可知函 数的减区间为，增区间为，故选项B错误；
对于选项C，由上可知，时，，选项C不正确；
对于选项D，，令，有 ，令可得，故函数的增区间为 ，减区间为，可得，项D正确．
11.【答案】ACD
解析：由椭圆方程知：，，；
对于A，离心率，A正确；
对于B，为椭圆左焦点，，B错误；
对于C，当为椭圆上下顶点时，，，
，，
则当在椭圆上运动时，，则大小可以是，C正确；
对于D，当椭圆上下顶点时，，满足为等腰三角形；
，即，
能成立，根据椭圆对称性知：此时有点满足题意；
同理可知：时，有点满足题意；
满足为等腰三角形的点有个，D正确.
12.【答案】ACD
【详解】平面平面，平面， 平面，故正确；
，故错误；
连接，作交于，连接，
平面，为与平面 所成的角，
平面，为与平面所成角．
直线，与平面所成角的大小相等， ，
所以，
又，，所以点在的中垂线上， 即点在线段上运动，
当点与点重合时，，故正确；
，为棱上靠近的三等分点，，，，
，，
当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为；
当点在点处时，线段的长度取得最小值，最小值为，
线段的长度的取值范围为，故正确．
13.125 解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，
又a0＝C1720＝1，a8＝C(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.
解析：事件A的选法有CC＋CC＋CC＝26种，事件B的选法有CC＝6，
所以P(B|A)＝＝
15. 【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得，易知该四棱柱为长方体， ，异面直线与所成角为（或其补角），
，，，
∴.
解析：函数f(x)=x2ex-a的导数为f′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2),令f′(x)=0,则x=0或-2,
函数在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e-2-a=-a,
函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是
17.（1）证明：
，又 2分
是以-1为首项，-1为公比的等比数列 4分
由（1）得， 5分
6分
7分
①当为偶数时，
②当为奇数时， 10分
18（12分）【解析】
（1）在△中，由余弦定理得，
所以或． 2分
当时，，则，不合题意，舍去；
当时，，则，符合题意．所以． 3分
在△中，， 4分
所以或（舍）． 5分
所以． 6分
（2）记，则．在△中，，
所以为锐角，得，，即，， 7分
法一：，同理． 8分
由知：， 10分
所以． 12分
法二：，．
所以.
19．（12分）【解析】（1）由，得． 1分
将上述两式相减，得． 2分
所以．① 3分
所以．② 4分
①－②，得，所以．故数列为等差数列． 5分
又由，及，得，的公差．所以． 6分
（2）由（1）知，． 7分
所以
． 9分
所以
． 10分
由，得．所以，，． 11分
所以使成立的最小正整数的值为50． 12分
20．（12分）【解析】（1）取的中点，连接，
四边形为直角梯形，，，，且为的中点，
且，所以，四边形为矩形，，， 1分
，
，，，， 2分
，，，
，， 3分
，平面， 4分
平面，， ， 5分
平面； 6分
（2）由（1）可知，、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，所以，，， 7分
设平面的法向量为，
由，得，令，得，. 8分
，， 9分
设平面的法向量为，，
由，得，令，则，，
，由于二面角的余弦值为， 10分
则，整理可得， 11分
，解得. 12分
21. 解.(1)依题意:|F1F2|=2c=2 c=1 1分
由3 |PF1|=5|PF2|, |PF1|+|PF2|=2a |PF1|=a, |PF2|=a, 2分
|F1F2|===a=2b2=a2-c2=3 4分
求椭圆 C的方程为+=1 5分
(2) 法1.依题意可设直线AB: y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 6分
7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
+=0y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即(kx1+m)(x2+1)+(kx2+m)(x1+1)=2kx1x2+(m+k)(x1+x2)+2m=0
2k(4m2-12)+ (k+m)(-8km)+2m(3+4k2)=0
化简得:m=4k 11分
则直线AB：y=kx+4k=k(x+4)过(-4,0) 12分
法2. 依题意,设直线AB为x=my+t (m0),A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0 6分
7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
+=0y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即y1(my2+t+1)+y2(my1+t+1)==2my1y2+(t+1)y1y2=0
2m(3t2-12)-6mt(t+1)=0
由 m0化简得:t=-4 11分
直线AB为x=my-4恒过(-4,0) 12分
22. 解:(1)a= 时f(x)=xex-e2x, f (x)=(x+1)ex-e2x=ex(x+1-ex) 1分
令F(x)=x+1-ex,则F (x)=1-ex,当x(-,0), F (x)>0；当x(0,),F (x)<0；
F(x)在(-,0)递增,在(0,+)上递减F(x)F(0)=0 3分
f (x)0 f(x)在(-,+)上递减. 4分
(2)法1.(隐零点代换)
f (x)=(x+1)ex-2ae2x=ex[(x+1)-2aex] 5分
由xR, f(x)f(0)=-a可得a<0 6分
令g(x)=(x+1)-2aex (a<0),则g(x)在R上递增
由g(-1)=-2ae-1>0，且当x<0时,g(x)x0(2a-1,-1)使得g(x0)=0, 7分
且当x(-,x0)时g(x)<0即f (x)<0; 当x(x0,+)时g(x)>0即f (x)>0
f(x)在(-,x0)递减,在(x0,+)递增 f(x)min= f(x0)=x0e-ae 8分
由g(x0)=(x0+1)-2ae=0a= 9分
由f(x)min得x0e-e即，由x0+1>0得x02-18-3x0<-1 10分
设h(x)= (-3x<-1),则h(x)=->0,可知h(x)在[-3,1)上递增h(-3)h(x)h(x)[-e3,0)a=h(x0)[-e3,0) 11分
综上a[-e3,0) 12分
法2.(变形:同除ex)依题意xR, f(x)=xex-ae2x f(0)=-a可得a<0 6分
x-aexa2ex-ax+0 8分
写法1.设g(x)=a2ex-ax+ (a<0),则g(x)=a2ex-a-= 9分
令g(x)>0得aex+1>0即x>-ln(-a); 令g(x)<0得x<-ln(-a) 10分
g(x)在(-,-ln(-a))上递减,在(-ln(-a),+)上递增
g(x)min=g(-ln(-a))=a[ln(-a)-3]0a[-e3,0) 11分
综上a[-e3,0) 12分
法3. (换元:指对互化)
依题意xR, f(x)=xex-ae2x f(0)=-a可得a<0 6分
只需 x-aex-0(a<0),令t=-aex,则t>0，
x=ln()=lnt-ln(-a)t+lnt+-ln(-a)0； 8分
令H(t)= t+lnt+-ln(-a) 则H (t)=1+-=(t>0) 9分
令H (t)>0得t>1; 令H (t)<0得0H(t)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增 H(t)min= H(1)=3-ln(-a)0 a[-e3,0) 11分
综上a[-e3,0) 12分高州中学2022—2023学年度第二学期高二期中考试
数学科试卷
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线在点(1，1)处的切线方程为（ ）
A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0
C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0
2．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼 20飞机准备着舰。如 果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
3．二项式的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为（ ）
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ）
A．2060 B．2038 C．4038 D．4084
8．下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
已知直线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ）
B. 的面积为
C. 圆上到直线的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，；当时，
B．函数的减区间为，增区间为
C．函数的值域
D．恒成立
11．设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 离心率
B. 的最小值为
C. 的大小可以是
D. 满足为等腰三角形的点有个
12．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 三棱锥的体积为4
C. 存在点，使得
D. 线段长度的取值范围为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则的值是 _________.
14．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ _______.
15．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________.
16．若函数有3个零点,则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列.
（2）求数列的前项和.
18．(12分)如图，中，，，点在边上，，为锐角．
（1）若，求线段的长度；
（2）若，求的值．
19．（12分）已知数列的前项和满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．
20．（12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）设，当二面角的余弦值为时，求的值.
21．(12分)已知椭圆的左右两个焦点分别是,焦距为2,点在椭圆上且满足,.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）不垂直轴且不过点的直线交椭圆C于A、B两点，如果直线、
的倾斜角互补，证明：直线过定点.
22．(12分)已知函数
（1）若,讨论的单调性
（2）, ,求实数的取值范围。
