人教A版选择性必修第一册 1-1-2空间向量的数量积运算 课件（44张PPT）

(共44张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
课时2 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影向量的概念.（数学抽象）
2.理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律.并可以与数的乘法相联系与区别.（数学运算）
3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.（逻辑推理、数学运算）
学习目标
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些？
[答案] 向量的加法、减法、数乘运算.
2.空间向量的线性运算满足哪些运算律？
[答案] 向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律.
预学忆思
自主预习·悟新知
3.如何确定两条异面直线的夹角？空间向量的夹角应该如何定义，如何表示，其取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？
[答案]设，是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角（或直角）称为直线，的夹角.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则即向量，的夹角，其范围是.若，则与相互垂直.
4.类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算？
[答案].
5.类比平面向量数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
[答案] 空间向量数量积的运算满足交换律、结合律和分配律.
6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角？
[答案]能判断垂直关系，若，则向量，垂直..
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 两向量的数量积是实数.( )
√
（2）对于非零向量，，与，相等.()
×
（3）对于任意向量，，，都有.()
×
（4）.()
√
自学检测
2.已知两异面直线的方向向量分别为，，且，，则两直线的夹角为(@11@).
A.B.C.D.
B
[解析]设向量，的夹角为，则，所以，则两个方向向量对应的直线的夹角为.
3.已知，，是两两垂直的单位向量，，，则等于______.

[解析].
4.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量上的投影向量为_______.

[解析]空间向量在向量上的投影向量为.
探究1 向量的夹角与数量积的概念
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功.
为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念.
情境设置
合作探究·提素养
问题1：.是哪两个量的夹角？
[答案]是力与位移的夹角.
问题2：.任意两个向量的数量积是向量吗？两个向量的数量积一定是非负数吗？
[答案] 不是向量，两个向量的数量积是实数，不一定是非负数.
问题3：.如图所示，空间四边形的各边和对角线长均等于，是的中点，则下列说法正确的是哪些？
（1）；（2）；（3）.
[答案]是的中点，，，即，错误；
由题意知与的夹角为，，
由题意知与的夹角为，，∴（2）错误；
是的中点，且是正三角形，，
.
，∴（3）正确.
综上，只有（3）正确.
新知生成
1.定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则________叫作向量，的夹角，记作_________.


2.空间向量的数量积
已知两个向量和，则叫作，的数量积，记作.即.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
新知运用
例1如图，已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，，，分别是，，的中点.求下列向量的数量积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
[解析]（1）在空间四边形中，，且，，
.
（2），，，，
.
（3），，又，，，.
（4），，，
∴，=，，
.
要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与,的方向有关，正确判断夹角的大小，才能使计算准确.
方法总结
如图，已知正方体的棱长为1，则(@23@).
A.B.C.D.
C
巩固训练
[解析]，故选C.
探究2 空间向量数量积的性质与运算律
问题1：.“若，则”，这种说法正确吗？
[答案] 不正确，向量不能约分.
问题2：.数量积的运算满足除法吗？
[答案]数量积的运算不满足除法，即对于向量，，若，不能得到
（或）.例如当非零向量，垂直时，，但显然是没有意义的.
情境设置
问题3：.数量积的运算不满足结合律吗？
[答案]向量的数量积的运算不满足结合律，即不一定等于.
新知生成
1.空间向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）分配律：；
（3）.
2.空间向量数量积的有关结论
（1）；
（2）；
（3）.
新知运用
例2如图，已知正四面体的棱长为1，求：
（1）；
（2）.
[解析]（1）



.
（2）

.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤：（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；（3）代入公式求解.
方法总结
已知在长方体中，点是上的动点，点是上的动点，，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
巩固训练
[解析]（1）
.
因为，，所以，，即，，
因此.
（2）
，
因为，，，，
所以，，，，
因此.
设，，，，则，
因为，
所以，故的取值范围为.
探究3 投影向量
我们在测量树的高度时，常利用阳光下的影子测量其高度，如图所示.
情境设置
问题1：.若测得，如何求在上的投影？
[答案]根据平面数量积的几何意义，在上的投影为.
问题2：.平面向量数量积的投影定义，在空间中还成立吗？
[答案] 根据空间向量数量积公式可知，依然成立.
新知生成
1.如图（1），在空间中，向量向向量投影，先将它们平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，·,，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，也可以将向量向直线投影，如图（2）.
2.如图（3），向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量_______，向量_______称为向量在平面上的投影向量.这时，向量____，_______的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.




新知运用
例3如图，已知四棱柱的底面是矩形，，，，，为棱的中点，则_______；在上的投影向量是_______.


[解析]由图可知，
所以
=
，
.
故在上的投影是，
在上的投影向量是.
根据投影的定义可得，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量.
方法总结
如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.若，，，求向量在上的投影.
巩固训练
[解析]由图可知


＝，
所以
.
因为，
所以，
所以.
所以向量在上的投影是.
1.对于向量,,和实数，下列命题中是真命题的为(@40@).
A.若，则或B.若，则或
C.若，则或D.若，则
B
[解析]对于A，可举反例,当时，；
对于C，，只能推得，而不能推出；
对于D，可以移项整理推得.
随堂检测·精评价
2.在空间四边形中，，，则，的值为
(@42@).
A.B.C.D.
D
[解析]，
，，.
3.在空间四边形中，____.
0
[解析]原式.
4.如图,在三棱柱中,,,是的中点,,求的长.
[解析]设,,,
则,
.
因为,
所以

.