人教A版选择性必修第一册 1-3-1 空间直角坐标系 课件（20张PPT）

(共20张PPT)
复习回顾
问题1 我们回忆下上节课所学的知识：什么是空间向量基本定理？
若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{ }表示
我们把{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．
复习回顾
问题2 平面直角坐标系的定义是什么？
平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, },以O为原点，分别以, 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy.
对平面内任一向量a，存在唯一实数对(x,y)，使 =x+y
则终点A的坐标(x,y)叫做向量的坐标.
O
i
j
a
A(x,y)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课时1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系.（直观想象）
2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示.（直观想象、数学运算）
3.学会用空间直角坐标系解决数学问题和实际问题，体会类比归纳的数学思想. （逻辑推理、数学运算）
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.
平面向量
类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢
空间向量
探究新知
如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
平面直角坐标系
类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:z轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中O叫做原点，
i，j，k都叫做坐标向量，
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
②建系：建立右手直角坐标系 .
①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°),
∠yOz=90°.
说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系.
x
y
z
O
i
j
k
空间直角坐标系的画法
探究1 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
i
j
O
k
x
y
z
A
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j, k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk.
在单位正交基底{i, j, k}下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),
横坐标
纵坐标
竖坐标
i
j
O
k
x
y
z
A
a
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量a, 作 (如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z),使 a=xi+yj+zk.
有序实数组(x, y, z), 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 a＝(x, y, z).
也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.
注：(x, y, z)具有双重意义，既可以表示向量，也可以表示点，在表述时注意区分.
1.平移
2.向量的运算（加减法）
3.末减初
j
i
O
k
x
y
z
A
过点A分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，分别交x轴,y轴,z轴于点B,C,D，可以证明x轴,y轴,z轴上的投影向量分别为,,
B
C
D
设点B,C和Dx轴,y轴,z轴上的坐标则A的坐标为().
探究2 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标(x, y, z)吗？
A'
例2.如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以{,,}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O.
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标;
(2)写出向量，，,的坐标.
解析：(1)点D'在z轴上,且OD'=2,所以=0＋0＋2.所以点D'的坐标是（0,0,2).
同理，点C的坐标是（0,4,0).
点A'在轴、轴、轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2，所以点A'的坐标是(3,0,2).
点B'在轴、轴、轴上的射影分别为A,C,D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2).
(2)==0+4+0=(0,4,0)；
=-=0+0-2 =(0,0,-2);
=+
-3＋4＋0=(-3,4,0)；=++
=-3＋4＋2=(-3,4,2).
用坐标表示空间向量的步骤如下:
观图形
建坐标系
用运算
定结果
充分观察图形特征
根据图形特征建立空间直角坐标系
综合利用向量的加减及数乘运算
将所求向量用已知的基向量表示出来，确定坐标
1.平移
2.向量的运算（加减法）
3.末减初
新知运用
例1如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上，且，是线段的中点，求点，的坐标.
[解析]如图，过点作于点，连接，取的中点，连接.
由，知，
因为，所以与轴平行，点与点的
横坐标、纵坐标相同，点的竖坐标为，所以.
由为的中点，知.
因为与轴平行，且，所以.
由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标.所以可以总结步骤如下：
（1）过空间点分别作轴、轴和轴的垂面；
（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标；
（3）得到空间点的坐标．
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面
坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
x
y
z
O
i
j
k
探究3 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？
(1)关于坐标平面的对称性：
P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为P1(x,y,－z)；
P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为P2(－x,y,z)；
P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为P3(x,－y,z)．
(2)关于坐标轴的对称性：
P(x,y,z)关于x轴的对称点为P4(x,－y,－z)；
P(x,y,z)关于y轴的对称点为P5(－x,y,－z)；
P(x,y,z)关于z轴的对称点为P6(－x,－y,z)．
x
y
z
O
i
j
k
规律：关于谁对称谁不变
新知运用
例3在空间直角坐标系中，已知点（，，）.
（1）求点关于轴对称的点的坐标；
（2）求点关于平面对称的点的坐标；
（3）求点关于点对称的点的坐标.
[解析]（1）因为点关于轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，所以点的对称点坐标为.
（2）因为点关于平面对称后，它的横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点的对称点坐标为（，，）.
（3）设对称点为，则点为线段的中点，
由中点坐标公式，可得，，，
所以点的坐标为.
课堂小结
简单的立体几何问题
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
数形结合
空间想象
几何直观
课后作业
1.书面作业（10-15分钟交）
2.优先完成导学案随堂检测（10分钟），再完成例题和巩固训练+固学案（25分钟）
3.预留15分钟进行预习，并完成导学案“自我检测”部分，课前小组长检查，并把未完成人员名单写在黑板上