莆田锦江中学2022-2023学年下学期期中质检试卷
高二数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B
7．D
【详解】设，则，令，则，
所以当时，，单调递增；当时，，
单调递减；又，，，
所以，即.
8．D
【详解】以E为坐标原点，EB，ED，EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，设直线AH与直线IG所成角为，
则，
故直线AH与直线IG所成角的余弦值为.
9．ACD 10．BC 11．BC 12．ACD
13． 14．平行 15． 16．
【详解】由题意得，，当时，，函数在上单调递增，没有极值，故，易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，解得，所以．
17．（1），且函数在处有极值1，
，解得.
又当时，
当或时，，
当时，，故在处取得极大值，满足题意.综上，.
（2）当，时，．则．
当变化时，与的变化情况如下表：
1 单调递减 极小值 单调递增 5
所以时，的最大值为.
18．（1），则，
又，所求切线方程为：，即.
（2），
令，得；令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的极小值为，无极大值.
19（1）连接AC交BD于点O，连接OM，
由四边形ABCD为矩形，可知O为AC中点，M为PC中点，
所以，又平面，平面，所以平面MBD.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
21．（1）连接BD交AC于点O，连接．
是的中点，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以.
（2）因为平面ABCD，平面，所以平面平面，
以O为原点，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以过点O垂直平面ABCD所在直线为z轴，建立如图所示坐标系．设OB＝1．
，，，，，
设，则，
，
则，
，，
，
设平面AQD的法向量为，
，
故可设，
同理可求得平面的法向量为，
设平面AQD与平面CQD的夹角为，
，则．即，
即点是的中点.
22．（1）的定义域为．．
若，则，在上单调递增．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．
因此．由（1）知此时．
恒成立等价于恒成立．
设，即恒成立，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然函数在处有唯一零点，且．
而恒成立，所以，
所以．
答案第1页，共2页莆田锦江中学2022-2023学年下学期期中质检试卷
高二数学试题
一、单选题（5*8=40）
1．一个质点M沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系，则质点M在时的瞬时速度为（ ）
A．7.25m/s B．5m/s C．6m/s D．5.1m/s
2．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．两平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则y＋z的值是（ ）
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
6．如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（4*5=20）
9．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．为平面的一个法向量
12．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在处取得极小值 D．在处取得极大值
三、填空题（4*5=20）
13．已知函数的导函数，满足，则___________.
14．设平面的一个法向量分别为，则的位置关系为________．
15．如图，在正方体中，E是棱BC的中点，G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为______．
16．已知函数的极小值小于0，则实数取值范围为_______.
四、解答题（10+12*5=70）
17．已知函数在处取得极大值.
(1)求的值；
(2)当时，求的最大值.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
(1)求证：平面MBD；
(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
21．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，，△PAC为等边三角形，点Q为棱PB上的动点．
(1)求证：；
(2)若PD⊥平面ABCD，问动点Q在何处时，使得平面AQD与平面CQD的夹角的余弦值为？
22．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．
