人教A版选择性必修第一册 3-3-2 抛物线的简单几何性质 课件（ 共27张PPT）

(共27张PPT)
第三章
3.3.2抛物线的简单几何性质
课程标准
根据抛物线的标准方程及其图像，归纳总结它的简单几何性质，并掌握它们。
一
二
三
学习目标
依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质
由抛物线的性质求抛物线的标准方程
直线和抛物线的位置关系的判定
学习目标
难点
重点
易错点
复习回顾
问题1 抛物线的定义是什么？
我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
其中定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
定义告诉我们：
(1)判断抛物线的一种方法
(2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d
复习回顾
问题2 抛物线的标准方程是什么？
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
问题3 类比对椭圆、双曲线的几何性质的研究，你认为应该研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？
新课导入
椭圆的简单几何性质：
1.范围; 2.对称性; 3.顶点; 4.离心率
双曲线的简单几何性质：
1.范围; 2.对称性; 3.顶点; 4.渐近线；5.离心率
本节，我们将类比椭圆、双曲线的性质一起探究抛物线的性质
新知探究一：抛物线的几何性质
与利用椭圆、双曲线的方程研究它们的几何性质一样，我们利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质，包括抛物线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
下面，我们用抛物线方程 来研究抛物线的几何性质.
问题4 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的范围是怎样的？
1.范围
由抛物线 y2 =2px(p>0)
有
所以抛物线的范围为
从图像上看：
抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时， y 的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
问题5 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性是如何的？
有图像与方程式可知：
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
2.对称性
关于x轴对称
即点(x,-y)也在抛物线上,
故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称.
则(-y)2 = 2px ,
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
K
F
M(x,y)


x
y
O
H


M′(x,-y)
问题5 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的顶点是什么？
3.顶点
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
∴ y2 =2px(p>0)中，
令y=0，则x=0.
即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0).
x
l
F
y
O
问题6 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的离心率是什么？
4.离心率
由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1.
抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示.
x
┑
l
F
M
d
H
y
O
问题7 什么是焦半径？
定义：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
x
l
F
M
y
O
(x0,y0)
5.焦半径
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
x
l
F
A
y
O
B
(x1,y1)
(x2,y2)
6.焦点弦
问题8 什么是焦点弦？
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
x
l
F
y
O
7.通径
问题8 什么是焦点弦？
p:焦准距
方程
图形
范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦
通径
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
抛物线的简单几何性质
新知讲解
追问 椭圆、双曲线的通径分别是什么？
通径是过焦点垂直于长轴的直线与圆锥曲线相交所得的线段长度
所以把方程中的x代成c，
就可得,
所以通径的长度就是
新知探究二：通过几何性质求抛物线方程
例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
所以可设它的标准方程为
因为点抛物线上，所以
解得
因此，所求抛物线的标准方程为
追问: 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程.
解：当焦点在x轴的正半轴时，可设方程为
所以p=2，因此所求抛物线标准方程为：
当焦点在y轴的负半轴时可设方程为：
所以,因此所求抛物线标准方程为：
1.已知抛物线关于坐标轴对称,顶点在坐标原点,并且过点,求它的标准方程.
因为点在抛物线上，所以
因为点在抛物线上，所以
分类讨论
课堂练习
2.求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)关于x轴对称，并且经过点M(5,-4);
(2)关于y轴对称，准线经过点E(5,-5);
(3)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4;
(4)焦点在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P, 且FP平行于准线.
课堂练习
例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
l
F
A
A′
x
y
B
B′
┑
┑
典型例题
解：由题意可知，，
∴焦点的坐标为，准线方程为.
设,两点到准线的距离分别为.
由抛物线的定义，可知
，
于是
∵直线的斜率为1，且过焦点，
∴直线的方程为
将方程带入，得，化简，得
由韦达定理，得=6
∴ =+2=8
所以，线段AB的长是8.
l
F
A
A′
x
y
B
B′
┑
┑
如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于吗？
3.过M(2,0)作斜率为1的直线,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|.
解:
课堂练习
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
思路：证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
O
l
F
A
x
y
B
D
新知探究三：抛物线的实际应用
O
l
F
A
x
y
B
D
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
O
M
B
C
D
x
y
E
P
新知探究三：抛物线的实际应用
图1
图2
新知探究三：抛物线的实际应用
小结
轴
轴
)
向右
向左
向上
向下