绝密★启用前
大地中学校2022-2023学年高一下学期5月月考
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数(i为虚数单位)的虚部是
A. B. C. D. i
2. 已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则的值为
A. B. C. D.
3. 一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为
A. B. C. D.
4. 与两条异面直线都相交的两条直线一定
A. 异面 B. 相交 C. 不相交 D. 不平行
5. 在△中，内角，，的对边分别为，，，若，则角为
A. B. C. 或 D. 或
6. 在△中，，，分别是角，，所对的边，若，，，则等于
A. B. C. D.
7. 已知点,向量,当=a+b时,点B的坐标为
A. B. C. D.
8. 正方体的内切球和外接球的半径之比为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 圆台的上、下底面半径分别为和，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则圆台的
A. 母线长为 B. 表面积为
C. 高为 D. 体积为
10. 在△ABC中，已知A＝30°，且，则c的值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
11. 下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是
A. a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B. a ＝(2,3)，b ＝(3,2)
C. a ＝(1，－2)，b ＝(7,14) D. a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)
12. 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是
A. B. 1 C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，则这两个截面间的距离为________．
14. 圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于________，体积为________．
15. 已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为____________．
16. 正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题10分）已知两个非零向量a，b不共线，且ka＋3b与2a＋kb共线，求实数k的值．
18. 如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
19. 在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.
(1)在虚轴上;
(2)在实轴负半轴上;
(3)在直线y=x上.
20. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由．
21. 已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，c＝2，且bsinA＝acosB，求A，B，C和a.高一数学试题答案
一、单选题
1. 【答案】A
【解析】＝＝－i，所以复数的虚部是－.
2.【答案】A
【解析】若λb－a与a垂直，则(λb－a)·a＝0，即λ(a·b)－|a|2＝0，所以λ＝＝.
3.【答案】B
【解析】方法一 由直观图还原出原平面图形，如图，在原平面图形中找出对应线段，根据两图中对应线段的长度关系求出原平面图形的面积S＝a·2a＝2a2.
方法二 设原平面图形的面积为S，它的斜二测直观图的面积为S′，则S′＝S.由于S′＝a2，所以a2＝S，即S＝2a2.
4.【答案】D
【解析】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1与AB为异面直线，AD1与BD1均与这两条直线都相交，但这两条直线是相交直线；A1M与BD1均与这两条直线相交，但这两条直线是异面直线．故这两条直线一定不平行．
5.【答案】A
【解析】∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cosB＝＝＝，
又∵B为△ABC的内角，∴B＝.
6.【答案】D
【解析】由bsinA＝3csinB及正弦定理，得ab＝3bc，即a＝3c.
因为a＝3，所以c＝1.
又因为cosB＝，
所以由余弦定理，得b＝＝＝.
7.【答案】B
【解析】∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+b=(-1,0)+(1,-1)=(0,-1).
设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(0,-1),
解得
∴点B的坐标为(-1,-6).
8.【答案】D
【解析】正方体的内切球与外接球的半径之比为正方体棱长与体对角线长之比，即为∶3.
多选题
9.【答案】ABD
【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，
所以C＝π·SA，又C＝10×2π，
所以SA＝20，同理SB＝40，
故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，
高h＝＝10，
体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，
表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π.
10.【答案】BD
【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，整理得c2－12c＋32＝0解得c＝4或c＝8.
11.【答案】ABC
【解析】能作为平面内的基底，则两向量a与b不共线，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不共线；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不共线；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不共线；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a与b共线．
12.【答案】AD
【解析】∵AB＝，AC＝1，B＝，
又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，
∴BC2－3BC＋2＝0，
∴BC＝1或BC＝2，
∵S△ABC＝·AB·BC·sinB，∴S△ABC＝或S△ABC＝.
填空题
13.【答案】2或14
【解析】如图①②所示，设圆O为球的大圆，点C，D分别为两截面的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，
由题中条件可得两截面的半径分别为6和8.
当两截面在球心的同侧时，
CD＝OC－OD＝－＝2；
当两截面在球心两侧时，
CD＝OC＋OD＝＋＝14.
综上可知，两截面间的距离为2或14.
14.【答案】15π 12π
【解析】底面周长为2πr＝6π，母线长l＝5，所以该圆锥的侧面积为×6π×5＝15π.由勾股定理知，圆锥的高h＝4，体积V＝πr2h＝12π.
15.【答案】13
【解析】a，b，a－b构成了一个直角三角形，则
|a－b|＝＝＝13.
16.【答案】1∶∶3
【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r.
如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，
则线段SE为正四面体SABC的高，
且SE＝＝
＝，
V正四面体SABC＝S△ABC·SE＝××＝.
由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，
则R＋r＝OS＋OE＝SE＝，
V正四面体SABC＝S△ABC·r·4＝××r×4＝r＝，
所以r＝，R＝，
而棱切球的半径为OD＝＝，
则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为∶∶＝1∶∶3.
解答题
17.【答案】解 因为ka＋3b与2a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋3b＝λ(2a＋kb)，
即ka＋3b＝2λa＋λkb，即(k－2λ)a＝(λk－3)b.
由于a，b不共线，所以解得k＝±.
即实数k的值为或－.
18.【答案】解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
19.【答案】解 (1)若复数z对应的点在虚轴上,则m2-m-2=0,
即m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.
(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上,
则解得m=1,即z=-2.
(3)若复数z对应的点在直线y=x上,
则m2-m-2=m2-3m+2,得m=2,即复数z=0.
20.【答案】解 BD1∥平面AEC.理由如下：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接BD交AC于点F，连接EF，则F为BD的中点，
又∵E为DD1的中点，∴EF∥BD1.
∵BD1 平面AEC，EF 平面AEC，
∴BD1∥平面AEC.
21.【答案】解 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
因为|a|＝1，所以1－|b|2＝，
所以|b|＝.
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
22.【答案】解 ∵bsinA＝acosB，
∴由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB，
∵A为△ABC的内角，sinA≠0，
∴sinB＝cosB，则tanB＝，
∵0∵b＝3，c＝2，
∴由正弦定理得sinC＝＝1，
∵0∴A＝π－－＝.∴由正弦定理得a＝＝.
