南充市嘉陵区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学理科参考答案：
1．D
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.
【详解】A错误；
的共轭复数为，故B错误；
，复数对应的点位于第四象限，故C错误；
为纯虚数，故D正确．
故选：AD.
2．D
【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.
【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；
对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；
对于C，，
故函数不是奇函数，不符合题意；
对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；
故选：D.
3．A
【分析】由常数的导数为0即可得解.
【详解】∵，∴.
故选：A.
4．A
【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
5．B
【分析】分和，去掉绝对值，得到相应的曲线.
【详解】，当时，，
当时，，画出符合题意的曲线，为B选项，
故选：B
6．B
【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.
【详解】因为“方程的曲线是椭圆”，则，
又因为，但，
所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
7．D
【分析】动点，由得到，，进而得到，化简可得答案.
【详解】设动点，因为点满足，其中、，
且，所以，所以，，
所以，，所以，
即，表示焦距为的双曲线.
故选：D
8．C
【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.
【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.
故选：C.
9．C
【分析】设，求得，根据题意得到，得到函数单调递减，又由，得到，把，转化为，结合函数的单调性，即可求得不等式的解集.
【详解】设函数，可得，
因为，可得，所以函数单调递减，
又因为，可得，
由不等式，即为，所以，
即不等式的解集为.
故选：C.
10．B
【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.
【详解】当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有，因此选项B正确；
当时，，单调递增，
所以在上没有极大值，因此选项C不正确；
当时，，单调递增，
因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，
所以选项A不正确，选项D不正确，
故选：B
11．C
【分析】根据已知判断在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得.然后在中，根据余弦定理即可得出的齐次方程，然后得出离心率的方程，求解即可得出答案.
【详解】
设双曲线左焦点为，由已知可推得在双曲线右支上，如图所示，
根据双曲线的定义可知，，所以.
由已知，，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
即，
整理可得，，
两边同时除以可得，，
解得或（舍去），
所以.
故选：C.
12．B
【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.
【详解】由题意可得，即①正确；
显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；
易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确；
对于④，先推下双曲线的焦半径公式：
对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点，
则，
同理，
所以，此即为双曲线的焦半径公式.
设点，由双曲线的焦半径公式可得，
故，
其中，则，
由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误；
综上正确的是①③两个.
故选：B
13．．
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.
【详解】解：因为，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以，，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
14．/
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求
【详解】因为，所以，所以在处的切线斜率，解得．
故答案为：．
15．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得，进而得斜率关系，联立直线与抛物线的方程即可得交点，由焦半径公式即可求解.
【详解】因为，所以，焦点的坐标为.
设，则直线的斜率为，因为以线段为直径的圆过点，
所以，所以直线的斜率为，
直线的方程为
联立 解得，,
故答案为：
16．/
【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过点时，此时体积最大，如图所示：
设此时正方形的边长为，所以，
设该四棱锥的高为，所以有，
由勾股定理可得：，
该四棱锥的体积为，
设，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，函数有最大值.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据导数的性质是解题的关键.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由实轴长得到，由焦点坐标得到焦点位置和，再由，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由抛物线标准方程相关概念求解即可.
【详解】（1）∵双曲线的一个焦点坐标为，为轴上一点，
∴设双曲线标准方程为（，），且，
又∵双曲线实轴长为，∴，，
∴，
∴双曲线的标准方程为.
（2）∵抛物线焦点在轴正半轴上，
∴设抛物线的标准方程为（），
又∵抛物线焦点到准线的距离是，∴，
∴抛物线的标准方程为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用来求得的值.
（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.
【详解】（1），
依题意，解得.
，
所以在区间上递增；
在区间上递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.
（2），
，
由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用公理3，通过找出两平面的两个公共点即可求出结果；
（2）建立空间直角坐系，求出平面AFG与平面EFG的法向量，再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.
【详解】（1）作图步骤：如图所示，延长EF，AB交于点M，延长AC，EG交于点N，连接MN，则直线MN即为交线l．
保留作图痕迹且正确．
（2）四边形ABCD是长为3的正方形，取中点，连接，则，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
， ．
设平面AFG与平面EFG的法向量分别为，，则
由，得到， 不妨设，则，
所以，
由，得到，取，则，所以，
所以．
由图知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
20．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由距离公式求出，再由离心率求出，即可求出，从而得解；
（2）首先求出，两点坐标，
①设，利用斜率公式计算可得；
②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为，即可求出点坐标，同理求出点坐标，再由斜率公式计算即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又左焦点到直线的距离为，有，
解得或（舍去），所以，，
椭圆方程为．
（2）由（1）知，椭圆的方程为，
由，解得或，所以，．
①，斜率都存在，即，存在．
设，显然，且，
从而．
②设，的斜率分别为，，
设直线的方程为，直线的方程为．
由，解得，
从而点的坐标为，
因为，，
设直线的方程为，即，
设直线的方程为，即，
用代，代得点的坐标为，
即点的坐标为，
所以．
21．(1)极小值，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值.
（2）由得，
即对任意的，恒成立，
令，，则，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以当时在内存在唯一的零点，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．(1)；
(2).
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.
【详解】（1）由，，得：，
所以曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，则由题意可知，
将A，B坐标代入方程得：，
∴，得(负值舍去)，
∴B的极径为.
23．(1)；
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；
（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，即，
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为．
由，可得，即，
即曲线N的极坐标方程为.
（2）解：将代入，可得，
将代入，可得，
则，
因为，所以，
又因为，所以．
答案第1页，共2页2022—2023 学年高二下期期中考试
理科数学试题
考试范围：圆锥曲线、导数、选修 4-4 第一章 坐标系
考试时间：120 分钟；总分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知复数 z1 2 i， z2 1 2i，则（ ）
A． z 1 z B． z1的共轭复数为 z1 2 2
z
C z z D 1．复数 1 2对应的点位于第二象限 ．复数 z 为纯虚数2
2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
1
A． f x tanx B． f x C． f x x cosx D． f x ex e x
x
3．若 y
π
sin ，则 y （ ）
3
1 1
A．0 B． C 3． D．
2 2 2
x2 y2 44．设双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线方程为 y x，则此双曲线的离心率为（ ）a b 3
5 5 4 3
A． B． C． D．
3 4 3 5
5．如图，方程 x y 1 0表示的曲线是（ ）．
A． B． C． D．
6．对于常数m,n，“mn 0”是“方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 A(2, 1)，B( 1,1)，O为坐标原点，动点 P满足OP mOA nOB，其中m、n R，且 2m2 n2 2，
则动点 P的轨迹是（ ）
A．焦距为 3的椭圆 B．焦距为 2 3的椭圆
C．焦距为 3的双曲线 D．焦距为 2 3的双曲线
高二年级理科数学试题 第 1页，共 4页
8．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x 2xf 1 ln x，则 f 1 （ ）
1
A．1 B． C． 1 D． e
2
9．已知函数 f x 的导函数是 f x ，对任意的 x R ， f x 1，若 f 1 1，则 f x x 2的解集是
（ ）
A． 1,1 B． 1, C． , 1 D． 1,
10．函数 f x 的定义域为R ，它的导函数 y f x 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． x 1是 f x 的极小值点 B． f 2 f 1
C．函数 f x 在 1,1 上有极大值 D．函数 f x 有三个极值点
2 2
11 x y．C : 1 a 0,b 0 2 2 的右焦点为 F ，点 P在双曲线C上，若 PF 5a，且 PFO 120 ，其中Oa b
为坐标原点，则双曲线C的离心率为（ ）
4 5 3
A． B． C． D．2
3 3 2
2
12 y．已知动点 P在双曲线 C： x2 1上，双曲线 C的左、右焦点分别为 F1， F2，则下列结论：3
①C的离心率为 2；
②C的焦点弦最短为 6；
③动点 P到两条渐近线的距离之积为定值；
PF1 1
④当动点 P在双曲线 C的左支上时， 2 的最大值为 ．PF2 4
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．动点 P到两定点 A(－4，0)、B(4，0)距离之和为 10，则点 P的轨迹方程为________．
14．若函数 f x lnx ax 1的图象在 1, f 1 处的切线斜率为 2 ，则实数a __________.
15．已知抛物线C： x2 8y的焦点为 F ，设点M 在抛物线C上，若以线段 FM 为直径的圆过点 1,0 ，则
FM ______.
16．已知球O的半径为 2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______
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三、解答题：本题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分.
17．求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)实轴长为8，焦点坐标为 0,5 ，求双曲线的标准方程；
(2)焦点在 x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是 2的抛物线的标准方程.
18．已知函数 f x 2x3 3ax2 3bx 1且在 x 1及x 2处取得极值.
(1)求 a，b的值；
(2)求函数 y f x 在 0，3 的最大值与最小值.
19．如图 1所示，在边长为 3的正方形 ABCD中，将△ADC沿 AC折到△APC的位置，使得平面 APC 平
面 ABC，得到图 2所示的三棱锥 P ABC．点 E,F ,G分别在 PA,PB,PC上，且 AE 2EP， PF 2FB，
PG 2GC．记平面 EFG与平面 ABC的交线为 l．
(1)在图 2中画出交线 l，保留作图痕迹，并写出画法．
(2)求二面角 A FG E的余弦值．
x2 220 y．已知椭圆T : 2 2 1
3 30
的离心率为 ，直线 l : x 2y 0，左焦点 F到直线 l的距离为 ．
a b 2 5
(1)求椭圆T的标准方程；
(2)直线 l : x 2y 0与椭圆T相交于 A，B两点．C，D是椭圆 T上异于 A，B的任意两点，且直线 AC，
BC，AD，BD的斜率都存在．直线 AC，BD相交于点 M，直线 AD，BC相交于点 N．设直线 AC，BC的
斜率为 k1， k2．
①求 k1 k2的值；
②求直线MN的斜率．
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21 2．已知函数 f x x ln x x2．
(1)求 f x 的极值；
f x 1 (2)若不等式 x2 mex在 , 上恒成立，求实数m的取值范围．x e
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
2 22．已知曲线 C的极坐标方程为 4 cos 3，A，B是曲线 C上不同的两点，且OA 2OB，其中 O
为极点.
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)求点 B的极径.
23．在直角坐标系 xOy中，曲线M的方程为 y x 2 4x ，曲线 N的方程为 xy 9，以坐标原点 O为极
点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
l : ( 0,0 π(2)若射线 0 0 )与曲线M交于点 A（异于极点），与曲线 N交于点 B，且 |OA | |OB | 12，2
求 0．
高二年级理科数学试题 第 4页，共 4页
