高一数学必修2第四章圆与方程教案[上学期]

圆的标准方程
　一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
(二)能力训练点
通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
(三)学科渗透点
圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
二、教材分析
1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)
三、活动设计
问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．
四、教学过程
(一)复习提问
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
(二)建立圆的标准方程
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得：
(x-a)2+(y-b)2=r2．
(1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
这时，请大家思考下面一个问题．
问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
(三)圆的标准方程的应用
例1　 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
例2　 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；
(3)(x+2)2+ y2=4
教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
例3　 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解(1)：
分析一：
从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．
解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：
(x-5)2+(y-6)2=10
分析二：
从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，
∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：
x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
这时，教师小结本题：
1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定a，b，r；
(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r；
(2)点在圆外 d＞r；
(3)点在圆内 d＜r．
3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)
例4　 图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．
此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：
(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；
(2)用待定系数法求圆的标准方程；
(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．
(四)本课小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
五、布置作业
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．
证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．
作业答案：
1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32
2．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为
所以圆的方程为
化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：
x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)
六、板书设计
圆的一般方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(二)能力训练点
使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
(三)学科渗透点
通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
二、教材分析
1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)
2．难点：圆的一般方程的特点．
(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)
3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．
(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)
三、活动设计
讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．
四、教学过程
(一)复习引入新课
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
(二)圆的一般方程的定义
1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法．
2．圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
(三)圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．
(2)
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．
(3)
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D2+E2-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
教师还要强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
(四)应用与举例
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．
例1　 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0，
(2)x2+y2+2by=0．
此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．
同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．
例2　 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0，
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．
例2小结：
1．用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；
(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．
2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：
例3　 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
(0，2)．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为
故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．
这时，教师指出：
(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．
(2)此题也可以用圆系方程来解：
设所求圆的方程为：
x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)
整理并配方得：
由圆心在直线l上得λ=-2．
将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．
的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．
此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：
(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；
(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．
(五)小结
1．圆的一般方程的定义及特点；
2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；
3．用待定系数法，导出圆的方程．
五、布置作业
1．求下列各圆的一般方程：
(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．
作业答案：
1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0
(2)x2+y2-4x-2y-20=0
2．x2+y2-x+7y-32=0
3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以
4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：
(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．
当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-
与x轴的两个交点．
六．板书设计
直线与圆的位置关系
一、教学任务分析
学生已经有的相关知识是：由初中的平面几何可知1、直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。2、直线、圆可以用方程来表示，点到直线的距离公式。以上知识是本节课所必需的。
这一节课的任务是：用坐标法判断直与圆的位置关系以及弦长公式的初步运用。因此，一方面，把几何关系代数化；另一方面，通过方程的研究来判断直线与圆的位置关系。教学中要围绕这两个方面展开。体现坐标法的思想。培养学生数形结合的思想。
在教学过程中，以问题为载体，在教师的引导下，通过学生分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。通过讨论交流，总结出判断直线与圆的位置的两种方法--代数法与几何法。让学生参与教学过程、参与知识的发生过程。充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。
二、教学重点、难点
用坐标法判断直线与圆的位置关系；弦长公式的初步运用。
三、教学基本流程
提出问题 → 学生研究合作解决问题 → 教师引导学生交流解题方法
→归纳总结出判断方法 → 变式练习 → 弦长公式的初步运用 → 引导学生总结
四、教学情境设计
1、激趣引入
从上节课布置的探究性问题：“第133页轮船是否受台风影响问题”，可以知道：研究直线与圆的位置关系是解决现实生产、生活中的问题的需要。
2、温故知新
由初中平面几何，我们知道，直线与圆有哪些位置关系？
学生不难回答这一问题，学生边回答边电脑显示以下关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点。
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？我们不妨先看几个例子。
3、判断直线与圆的位置关系
例1、 如图4.2-2，已知直线l:3x+y-6=0和圆
心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的
位置关系，如果相交，求它们交点的坐标。
（先由学生分组讨论解题方法，再分析解答）。
分析：根据大家的讨论可知：判断直线与圆的位置关系常有两种方法：方法一，判断直线l与圆C的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，通过消元，得关于x或y的一元二次方程，由判别式来判断。方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。
3x+y－6=0 ①
解法一：由直线l与圆的方程，得
x2+y2－2y－4=0 ②
消去y,得x2－3x+2=0, 因为△=(-3)2－4×1×2=1＞0
所以，直线l与圆相交，有两个公共点。（如何求交点？）
由x2－3x+2=0,解得x1=2、x2=1
把x1=2、x2=1分别代入①式得y1=0、y2=3。
所以，直线l与圆有两个交点为A（2，0），B（1,3）。
如何利用方法二判断直线与圆的位置关系？（学生求解或阅读教材）
反思：如何判断直线与圆的位置关系？
（1）代数法：由直线与圆的方程组成方程组消元，得到关于x或y的一元二次方程。①直线与圆相交△＞0；②直线与圆相切△=0；③直线与圆相离△＜0。
（2）几何法：先求圆心到直线的距离d及圆的半径r，
①直线与圆相交d＜r；②直线与圆相切d=r；
③直线与圆相离d＞r。
4、弦长问题
例2：已知过点M（－3，－3）的直线l被
圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求
直线l的方程。（先让学生思考讨论制订解
题策略,再分析解答）。
分析：现已知直线l过点M（－3，－3），
需求直线l的斜率K即可求直线方程。为
此，用弦长公式：半径2=弦心距2+半弦2及待定系数法可求。
解：将圆的方程配成标准式，得x2+(y+2)2=25，所以，圆心是（0,－2），半径长r=5，弦长为，故圆心到所求直线l的距离为2 =。设求直线l的方程为y+3=k(x+3)，即kx－y+3k－3=0。圆心到直线l的距离为：d= = 因此，=，
两边平方，并整理得到2k2－3k－2=0，解得，k=－,或k=2。所求直线l的方程为：y+3=－ (x+3)或y+3=2(x+3)，即x+2 y+9=0，或2x－y+3=0。
反思：
（1）解决弦长问题常用的关系式是：半径2=半弦2+弦心距2；
（2）直线l：y=kx+b与圆心C相交的弦长为：=
，其中x1,x2为两交点的横坐标，k为直线l的斜率。这个公式的推导作为课后探究性问题。
（3）点到直线的距离公式是解决弦长问题常用公式之一。
5、反馈练习
（1）判断下列所给的直线与圆的位置关系
①3x+4y+2=0, x2+y2－2x=0（ ）
②y=x+6, x2+y2－2y－4=0（ ）
（2）自点M（1，3）向圆x2+y2=1引切线，则切线方程为____________。
（3）圆x2+y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
（A），（B），（C）1，（D）5
说明：第（1）题学生独立完成，第（2）题讨论完成，第（3）题利用弦长公式可知选（A）。可选1-2位同学讲解法。
6、总结深化
本节课主要研讨了什么问题？你如何判断直线与圆的位置关系？关于直线与圆相交的弦长问题，你打算用哪些知识去解决？
7、布置作业：P140，A组第1，2，5题。
8、几点说明
整个教学过程，教师应该注意少讲点拨，给学生以充分活动的时间与空间，让学生通过讨论交流评价，悟出解题方法，教师重点放在归纳解法及坐标法的思想的落实上。
圆与圆的位置关系
一、教学任务分析
1、学生已经有的相关知识是，两圆位置关系的分类：相离、外切、相交、内切、内含．
（1）连心线的长>r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）连心线的长=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1－r2|<连心线的长（4）当连心线的长=|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当连心线的长<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
2、学生也已经知道，直线、圆可以用方程来表示，通过它们的方程组有没有实数解来判断它们间的位置关系。
3、这一节课的任务是：用坐标法判断两圆的位置关系。因此，一方面，把几何关系代数化；另一方面，通过方程的研究来判断两圆的位置关系，教学中应该围绕这两个方面展开。
4、在教学过程中，以问题为载体，在教师的帮助下，引导学生分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法，通过问题的解决，让学生参与教学过程。在这个过程中，教师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。
二、教学重点、难点
用坐标法判断两圆的位置关系。
三、教学基本流程
教学的基本流程如下图所示。
四、教学情境设计
1、问题1 初中我们学过的两圆位置关系的分类及其制定方法
学生回答，然后师生一起列表归纳。
交点（个） 两圆位置关系 圆心距d与两圆的半径R，r关系
0
1
2
1
0
2、问题2 上节课，我们是怎样研究直线与圆的位置关系的？
生甲：用几何法，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r大小来判断：
生乙：还有代数法，根据直线的方程与圆的方程组成的方程组实数解的情况来判断：
师生共同归纳：
几何法 直线与圆的位置关系 代数法
3、问题3 已知圆C1：，圆C2：试判断 图C1与图C2的关系。（课文例3）
让学生互相讨论，交流解答，有下面三种情况：
（1）利用平面几何结论
（2）利用方程组的解
（3）有部分学生还画出了图形（表扬）
因为解析几何是一门数与形结合的学科，加强“数形结合”的意识。
下面是问题的两种解法：
解法一：把圆C1的方程化成标准形式，得
圆C1的半径长r1=5, 圆心是点（－1，－4）。
把圆C2的方程化成标准形式，得
圆C2半径长，圆心是点（2，2）。
圆C1与圆C2的连心线的长为
.
圆C1与圆C2的两半径之和两半径之差而,所以圆C1与圆C2相交,如图4-9,它们有两个不同的公共点A, B
解法二: 圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组
①-②，得
③
由③, 得
把上式代入①,并整理,得
④
方程④根的判别式
所以,方程④有两个不相等的实数根.把分别代入方程③,可以求出.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点AB.
由于本题只要判断圆C1与圆C2是否有公共点,并不要求出公共点的坐标,因此不必解方程④,求出两个实数根.
4、第二种解法,是讨论由两个圆的方程组成的方程组解的情况,然后判断两圆相应的位置关系,突出坐标法的特点.
解法二中,把圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组
①-②， 得 ③
教科书给出的思考“画出圆C1与C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”
如图4-10，方程③所表示的直线是两圆公共弦所在的直线。
因为由方程①、②组成的方程组的方程的解必是方程③的解，如果方程组有两组实数解，即两圆有两个公共点，这两个公共点必在方程③确定的直线上，两点确定一条直线，方程③表示的直线就是两圆的公共弦所在的直线。
这样一来，圆C1与C2公共点的问题就化归为直线（或者）公共点的问题。
于是，就可以先求圆心（－1，－4）（或者（2，2））到直线的距离，再把与圆（或者）的半径长（或者）进行大小比较，来判断关系。
这是已经解决的问题，典型的化归思想！
5、问题3 只要判断圆C1与圆C2是否有公共点，并不要求出公共点的坐标，因此不必求出方程组的两组实数根。
事实上，解方程组可行 因此圆C1与圆C2有两个公共点，它们的坐标为（3，－1）和（－1，1）。
6、在解法一中，要判断圆C1与C2相交，不仅需要判断连心线的长与的关系，还要判断连心线的长与的关系，因为只有当
7、简要归纳解题经验。
研究两圆的位置关系可以有两种方法：
一种是利用平面几何结论；另一种是转化为方程组解的问题。
8、练习第139页的“练习”中的第2题。
9、课后思考题：
1、设圆C1：圆C2：
试判断圆C1与C2的关系？
2、两圆如果没有公共点或者相切，也能把两个圆的关系的研究化归为直线与圆的位置关系来研究吗？
10、布置作业：
第139页练习第1，3，4题，共3个小题。
五、几点说明
整个教学过程，教师应该注意少讲，给学生以充分活动的时间与空间，让学生互相评价，总结解题经验。教师的重点放在解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实等工作上。
六、补充例题
点M在圆心为C1的方程上，点N在圆心为C2的方程上，求|MN|的最大值。
解：把圆的方程都化成标准形式，得
C1的坐标是（－3，1）半径长是3；C2的坐标是（－1，－2），半径长是2。所以，
因此，|MN|的最大值是（图4-11）。
直线与圆的方程的应用
1． 教学任务分析
⑴学会建立一个适当的坐标系，将实际中的几何问题转化为代数问题；
⑵尝试用方程去刻画一些事物；
⑶通过具体实例，了解“解析”方法的先进性．
2． 教学重点和难点
重点和难点都是怎样去建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题．
3． 教学情境设计
给我五个系数，我将画出一头大象；给我第六个系数，大象将会摇动尾巴．
--A·L·Cauchy（柯西）
引言：我们知道，利用几何图形能够绘制出这个世界，事实上，利用方程也能刻画出这个世界．柯西是个大数学家，老家是法国的，在他眼里，方程无所不能．我们已经学习过，直线可以用直线方程来刻画（），圆也能用方程来刻画（），在现实中，这有何应用呢？先看下例：
引例：赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m．你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？
分析：①跨度：什么是跨度？
②圆拱--信息：桥拱是一段圆弧；
③圆拱高约为7.2m，圆拱高是什么？
④画出它的草图（怎么画？如右图）师生交流互动
问题1：桥拱的圆心C在哪里？
思路：圆心在PO的延长线上，且圆心到A，P，B的距离相等．
求出C的位置--“先设后求”
设圆心在C点，且，则
设计情境：首先提问圆心在哪，怎么求出它的位置？然后指明方向，“先设后求”，大家动手．
问题2：（讨论）你能用怎样的方程描绘该桥的圆拱？
方法1：选取圆心为坐标原点（引导大家这么想，这样的方程最简单）
故圆的方程为：．
教师：注意该桥的圆拱并不是圆的全部，数学要精确，那该怎么描绘呢？
我们应该限定范围，能限定的范围吗？
圆拱桥的方程应该为：，其中．这个方程在现实中有多大意义呢？的意义是什么？
请问：还有其他表示方法吗？
方法2：选取O为圆心，则这座圆拱桥的方程为：
的意义就是桥拱高出水面的距离．
注：此时的方程可以让同学自行写出！
教师（小结发言）：通过这个引例，我们发现同一个事物可以用许多不同的方程来表示，但有些比较合理，有些就不太合理，所以选取坐标系非常的关键．在Cauchy用五个系数画出来的大象中，肯定有比较漂亮的，也有比较丑的，这就需要我们合理的选择坐标系了．选择合理的坐标系需要敏锐的数学眼光．
设计意图：通过师生互动，共同探讨，甚至走弯路，体会到选取合理的坐标系的重要性，而解决这个引例恰好又为例4准备了充分的材料．万事俱备，只欠东风，剩下的工作就只是强调这种思想，并总结出用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”了．
例4：图4.2-5是某圆拱形桥的示意图，这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.1m）．
分析：我们的目标是求的高度，如果的高度即为的纵坐标的话，显然问题将大大简化．
问题3：（讨论）我们该怎样建立坐标系呢？这样建立的依据是什么？
预计效果：由于有引例讨论的基础，众口一词的选取O为原点，AB方向为轴方向，OP方向为轴方向．
解：建立如图4.2-6所示的直角坐标系，使圆心坐标为，圆的半径为，则圆的方程是：
．
评注：“先设后求”，待定系数．
问题4：在此坐标系下，的坐标分别是什么呢？
因为都在圆上，所以有：
即：．
故圆的方程为：．
此时，的横坐标为，故，即：
，
．
答：支柱的高度约为．
注意：这是个应用问题，所以要作答．
及时小结：回过头来，我们看看这个题的解题步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
以上就是利用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”．注意，代数是工具，是方法，这也是笛卡儿解析几何思想的精髓所在！
练习（P140，3）若时间有限，此题可略去，改做作业题．
下面我们利用“解析法”来解决一个几何难题：
例5：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．
分析：用综合几何方法，这是一道难题，但如果用“解析法”则可以轻易的解决该问题．回顾前面的“三步曲”，第一步是建立适当的坐标系，这个坐标系该怎么建呢？第二步是解方程，第三步用代数结果来说明几何结果，都是顺理成章的事情，关键是建立坐标系．
怎么建立坐标系呢？互相垂直的对角线似乎是天然的坐标系原材料．再看题意，要证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半，几何元素是距离和边长，它们的代数工具就是距离公式．
证明：如图4.2-7，以四边形互相垂直的对角线所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系．设，，，，为圆心，到的距离实际上即是到中点的距离．过四边形外接圆的圆心分别作的中点，由中点公式，我们有：
．
所以，
而，所以．证毕．
思路：有坐标系，直接可得，下一步就是要求，而是的中点，我们拥有的代数工具：①距离公式→需要知道坐标；②中点公式→可求得坐标．
课堂小结：本节课我们主要学习了一种数学方法，即“解析法”，它的思想就是建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过解决代数问题（方程）而解决几何问题．
三步曲：①几何问题代数问题（工具：建立适当的坐标系）；
②解决这个方程（代数问题）；
③代数的解答几何结论．
课后思考：你能用综合几何的方法解决例4及例5中的问题吗？如果说“解析法”是锋利的武器，那“综合几何法”就是一种艺术，大家课后可以试一试．
5． 教学建议与评价
做简单的课件以减少板书和口头解释的时间，但不要依赖课件，老师要真正与学生互动，就不能像许多课件做的那样，把解题过程一步步呈现出来．呈现式教学，留给学生的只有视觉刺激，甚至只是视觉疲劳，而本节课最重要的是“解析法”的思想，同学们领会哪怕一点点，这在数学史上都是了不起的成就．
我赞成教材的处理办法，解析几何首先是为了解决综合几何难题而建立起来的，课本突出（如例5）这点非常必要；当然，实际问题也很重要．
P140，练习3，是道好题，此处从略，解答方法可参看教参．
6． 作业
（P140，练习3），
P140，5；P141，B组，2（选做）．
空间直角坐标系
教学知识点：1、空间直角坐标系的建立。
2、空间一点坐标的意义。
3、给出具体的点写出它在空间直角坐标系的坐标；
给出空间直角坐标系中的坐标画出这个点。
教学重点与难点：
建立空间直角坐标系
教学流程：
↓
↓
↓
↓
↓
教学过程：
问题1、在海上航行的船只，我们如何确定它的位置呢？
师生活动：经度、纬度。可看成平面两线的交点。
设计意图：体现了平面直角坐标系用坐标确定平面内点的位置。
问题2、上网时看到的flash是平面运动的动画，制作时要通过建立平面直角坐标系来完成。但我们生活的空间是立体的，如何让flash看来更生动呢？出现了三维动画，它是通过什么途径来完成的呢？
设计意图：以趣引疑，也体现了数学在计算机中的应用。
引：若我们班级的地面作为一个平面，可以建立平面直角坐标系，大家在上面行走，整体就成了立体的了。由此可以看出，在平面直角坐标系的基础上再加一个竖直的轴就形成了空间直角坐标系。那么你看到教室的风扇等物品，它们的位置也能够确定，你与它们的距离也能够算出来。
现用我们熟悉的单位正方体做模型来建立。
1、 定义：
如图，OABC—D′A′B′C′是单位
正方体，以O为原点分别以射线OA，
OC，OD′的方向为正方向，以线段
OA，OC，OD′的长为单位长，建立
三条数轴：X轴、Y轴、Z轴。这
时我们说建立了一个空间直角坐标 图（1）
系O—xyz。其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
说明：右手直角坐标系。
2、空间直角坐标系的画法
斜二测方法
3、空间一点坐标的意义从正、反
两面进行说明（结合右图）
M（x,y,z）其中x叫做点M的
横坐标，y叫做点M的纵坐标， 图（2）
z叫做点M的竖坐标。
4、表示图（1）中的点O，A，B，C
引导学生归纳总结出在坐标平面内点的坐标的特点。
5、空间直角坐标系的卦限
（1）类比平面直角坐标系有四个象限及点关于坐标轴对称点坐标的变化，启发学生想象，坐标平面把空间分成八部分，介绍空间直角坐标系的卦限的概念，并归纳总结空间点关于坐标轴对称时点的坐标变化。
（2）给出定点的坐标，如何确定点的位置？它在第几卦限？
练习P147 A组 1题
例1 如图，在长方体OABC--D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=2。写出D′，C，A′，B′四点的坐标。
解：D′在Z轴上，且|OD′|=2
它的竖坐标是2，它的横坐标x与
纵坐标y都是零，所以点D′的
坐标是（0，0，2）
同理点C的坐标是（0，4，0）
点A′的坐标是（3，0，2）
点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同。在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4。点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z=2。所以点B′的坐标是（3，4，2）。
例2 结晶体的基本单位称为晶胞如图是食盐晶胞的示意图。其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
解：把图中的钠原子分成上、中、下
三层来写它们所在位置的坐标。
下层的原子全部在xOy平面上
所以这五个钠原子所在位置的
坐标分别为：（0，0，0），
（1，0，0），（1，1，0）
（0，1，0），（，，0）
中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，），
（1，，），（，1，），（0，，）
上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），
（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）。
练习 P 144 1、2、3
课时小结：
1、 空间直角坐标系的建立。
2、 会表示空间一点的坐标。
3、 在坐标平面上点坐标的特点及已知点M它的关于坐标轴对称点的坐标。
作业 P 147 1、2
空间两点间的距离公式
一、教学任务分析
（1）通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
（2）通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力。
（3）通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想。
二、教学重点和难点
探索和推导空间两点间的距离公式。
三、教学情境设计
1、问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度。
解决方案：
①直接测量
取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度。
②公式计算
量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算。一般地，如果长方体的长、宽、高分别为，那么对角线长。
③坐标计算
建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算。一般地，空间任意一点与原点间的距离。
2、探究：如果是定长，那么表示什么图形？
3、思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？
类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式。用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导。
由此可得空间中任意两点之间的距离公式
。
4、练习
1、在空间直角坐标系中标出点与点，再在轴上求一点，使点到点与点的距离相等。
2、求证：以三点为顶点的三角形是等腰三角形。
3、如图，正方体的棱长为，。求的长。
4、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系。点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。
（1）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，探究的最小值；
（2）当点为棱的中点，点在对角线上运动时，探究的最小值；
（3）当点在对角线上运动，点在棱上运动时，探究的最小值。
由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
5、小结
空间中任意两点之间的距离公式
6、作业
1、如图，正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个正方体的棱长。
2、求证：以为顶点的三角形是等腰直角三角形。
图的方程及应用
教学任务分析
回顾本章的主要内容，重要的思想方法，使学生形成系统的知识体系结构．
1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径．
3．能根据圆和直线的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系,熟练地进行数形转换．
4、了解空间直角坐标系，能够认识建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．掌握空间两点间的距离公式．
5、了解解析几何的基本思想，能用坐标法研究平面几何问题．
重点难点
1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题．
2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．
3、空间直角坐标系中，点与坐标之间的转换．空间两点距离公式．
4．难点是直线与圆的方程的应用．
教学流程
1、 复习回顾
（1）、圆的方程有那些形式？你能说出它们的特点吗？
（2）、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的方法是什么？
（3）、怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系？
（4）、空间两点距离公式是什么？
（5）坐标法解决平面问题的三步曲是什么？
2、 例题部分
例1、(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解(1)：
分析一：
从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．
解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：
(x-5)2+(y-6)2=10
分析二：
从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，
∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：
x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
例2 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程．
解 因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部．
4=k(x-2)．①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，
其判别式Δ=56k-192．
的一条切线的方程．
因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．
综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0．
评述　 在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化．
由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式
在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程．
例3、已知点A(0，2)和圆C：，一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程
解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为，则光线从A点到切点所走的路程为｜｜
?在Ｒｔ△中，
?
∴｜｜＝ 即光线从A点到切点所经过的路程是
点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便
例4、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB =14，AD =6， AA1 =10 以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA1分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标。
例5 1）求证以、、
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2） 设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标.
三、能力训练
1．A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的　　 [　　　 ]
A．充分但不必要条件　　　　　 B．必要但不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又非必要条件
2．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是　　 [　　　 ]
3．两圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0，C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有　　　 [　　　 ]
A．2条　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．3条
C．4条　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不是
条直线的方程是　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]
C．x=-3　　　 　 D．x=-3或3x+4y+15=0
范围是[　　　 ]
6．圆C1：x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为 [　　　 ]
A．x2+y2+2x+6y+9=0　　　　　　 B．x2+y2-6x-2y+9=0
C．x2+y2-8x+15=0　　　　　　　 D．x2+y2-8x-15=0
点，则a的取值范围是[　　　 ]
A．1＜a＜2　　　　　　　B．-2＜a＜2
8．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点，则a，b，c应满足的关系是　　 [　　　 ]
A．a2+b2≤c2　　　　　　　　　　　　 B．a2+b2＜c2
C．a2+b2≥c2　　　　　　　　　　　　 D．a2+b2＞c2
9．圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于　　　　　　 [　　　 ]
C．1　　　　　　　　 　 D．5
10．和x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为　　　　　　　 [　　　 ]
A．x2=2y+1　　　　　　　　　　　　　　 B．x2=1-2y
C．x2=2|y|+1　　　　　　　　　　　　　 D．x2=2y-1
11．圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是______．
14．若m∈R，圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点，它们的坐标是______．
范围是______．
16．一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是______．
17．圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______．
18．斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______．
19．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，则这些弦的中点M的轨迹方程是______．
20．动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为定值2，则动圆圆心的轨迹方程为______．
答案提示
1．B　　　　　 2．D　　　　 3．B　　　　　 4．D　　　　 5．D
6．C　　　　　 7．D　　　　 8．D　　　　 9．A　　　　　 10．C
15．(-∞，0)∪(0，+∞)
16．x2+y2+4y-6=0
18．y=-x在圆内的部分
20．x2-2xy-y2+2=0
由实例看出建立空间坐标系的必要性
通过实例感受如何建立空间直角坐标系
空间直角坐标系的相关概念
空间点坐标的意义
例题讲解、练习反馈
小结、作业
A
B
C
z
x
y
O
A′
B′
C′
D′
z
x
y
O
R
P
Q
M
M′
A
B
C
A′
B′
C′
D′
z
x
y
O
y
x
z
O
PAGE
38