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2023年中考数学三轮冲刺卷（四）
时间：120分钟，满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是
A． B． C． D．
2．（3分）计算：的结果是
A． B． C． D．
3．（3分）2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米，数据384000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是
A．7 B．10 C．11 D．14
5．（3分）对某班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果频数分布直方图中分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在分之间的频率是
A．18 B．0.4 C．0.3 D．0.35
6．（3分）如图，点、、、在一条直线上，，，下列条件中，能判断的是
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧，交轴正半轴于点，点表示的实数介于
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
8．（3分）如图，正方体盒子的棱长为3，，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是
A．5 B．4 C．6 D．7
9．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式： ．
12．（4分）当 时，与的值相等．
13．（4分）一个不透明的盒子中装有个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么 ．
14．（4分）如图，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，，，，，．以下结论：①；②；③；④四边形的面积为．其中正确的结论有 ．
15．（4分）如图，在中，，，为上一点，当最大时，连接并延长到，使，则的最大值为 ．
16．（4分）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为 ．（点，，，都在同一平面上，结果保留根号）
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解不等式组：
18．（6分）解不等式．
19．（6分）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，练好软笔字还可以愉悦身心，陶冶性情，如图1是李叔叔的软笔作品，为了美观，李叔叔装裱此作品，装裱作品有三步，一是将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），二是在作品的后面装一层背板（背板与裱上边衬后的作品的大小相等），三是在边衬的外围嵌入边框（边框的宽度忽略不计）．装裱后的作品如图2（装裱前、后都是长方形）．
（1）已知图1长，宽．在图2中，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，设上下边衬的宽度是，则上下左右边衬的总面积为多少？
（2）装裱作品的费用由三部分组成，一是边衬的费用，二是背板费用，三是边框费用，已知边衬每平方米50元，背板每平方米60元，边框每米30元，当时，请你计算装裱此作品需要多少钱？
20．（8分）在平面直角坐标系中，过第一象限内点作轴与轴交于点，作轴于点，，反比例函数的图象经过点，四边形的面积为16．
（1）如图，则点的坐标为 ， ；
（2）反比例函数的图象上有点，轴正半轴上有点，且，求的长．
21．（8分）小明本学期的数学成绩如下表所示：
测验类别 平时
测试1 测试2 测试3 测试4 平时平均数 期中考试 期末考试
成绩 108 103 101 108 110 114
（1）六次考试的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算小明该学期的数学平时平均成绩；
（3）如果学期的总评成绩是根据如图所示的比例计算所得，已知小明该学期的数学总评成绩为111分，请计算出总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例．
22．（10分）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径．
2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
3．连接，，．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值．
23．（10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计得到如下数据：
单价（元件） 30 34 38 40 42
销量（件 40 32 24 20 16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件与单价（元件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
24．（12分）如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或于点，交边（或于点，当旋转至处时，的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时， （填：“”或“” ；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的的值．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是
A． B． C． D．
解：．因为是整数，所以选项不符合题意；
．因为是无限循环小数，是有理数，所以选项不符合题意；
．因为是分数，所以选项不符合题意；
．因为是无理数，所以选项符合题意．
故选：．
2．（3分）计算：的结果是
A． B． C． D．
解：．
故选：．
3．（3分）2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米，数据384000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
解：．
故选：．
4．（3分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是
A．7 B．10 C．11 D．14
解：①选、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：．
5．（3分）对某班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果频数分布直方图中分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在分之间的频率是
A．18 B．0.4 C．0.3 D．0.35
解：成绩在分之间的频率为．
故选：．
6．（3分）如图，点、、、在一条直线上，，，下列条件中，能判断的是
A． B． C． D．
解：，，
，，
、添加，不能判定，故此选项不合题意；
、添加，不能判定，故此选项不合题意；
、添加，不能判定，故此选项不合题意；
、添加，可利用定理判定，故此选项符合题意；
故选：．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧，交轴正半轴于点，点表示的实数介于
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
解：，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
点介于2到3之间．
故选：．
8．（3分）如图，正方体盒子的棱长为3，，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是
A．5 B．4 C．6 D．7
解：将正方体展开，连接，如图所示：共有三种情况，
根据两点之间线段最短，图（1）中的．
图（2），
．
图（3）．
．
爬行的最短距离是5．
故选：．
9．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为
A． B． C． D．
解：作交于点，
，
平分，点平分，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
解：①由折叠的性质可知：，，
四边形是矩形，
，
．
故①正确；
②由折叠的性质可知：，，
，
，
；
故②正确；
③四边形是矩形，
，
在中，，
设，即，
在中，，
即，解得，
，
；
同理可得，
，
，
，
与不相似，
故③错误；
④，，
，
，
．
故④正确．
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式： ．
解：，
故答案为：．
12．（4分）当 时，与的值相等．
解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则．
故答案为：．
13．（4分）一个不透明的盒子中装有个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么 20 ．
解：一个不透明的盒子中装有个小球，其中红球有4个，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，
，
解得：．
故答案为：20．
14．（4分）如图，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，，，，，．以下结论：①；②；③；④四边形的面积为．其中正确的结论有 ①②④ ．
解：由平移可知：，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
由平移可知：，，
四边形是平行四边形，
，
，故③错误；
过点作于点，
，
，
，
，，，
四边形是平行四边形，
，故④正确，
故答案为：①②④．
15．（4分）如图，在中，，，为上一点，当最大时，连接并延长到，使，则的最大值为 18 ．
解：以为圆心，为半径画圆，如图，
由图形可知，当与相切时，最大，此时．
设，则．
过点作于点，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，有最大值为18．
故答案为：18．
16．（4分）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为 米 ．（点，，，都在同一平面上，结果保留根号）
解：过点作于点，过点作于点．
由题意得，米，米，，．
在中，，
，
即，
米，
米，
米，
四边形是矩形，
米．
在中，，
．
米，
米．
答：教学楼高约米．
故答案为：米．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解不等式组：
解：（1）原式
；
（2）解不等式①得，，
解不等式②得，，
把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为．
18．（6分）解不等式．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
（6分）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，练好软笔字还可以愉悦身心，陶冶性情，如图1是李叔叔的软笔作品，为了美观，李叔叔装裱此作品，装裱作品有三步，一是将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），二是在作品的后面装一层背板（背板与裱上边衬后的作品的大小相等），三是在边衬的外围嵌入边框（边框的宽度忽略不计）．装裱后的作品如图2（装裱前、后都是长方形）．
（1）已知图1长，宽．在图2中，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，设上下边衬的宽度是，则上下左右边衬的总面积为多少？
（2）装裱作品的费用由三部分组成，一是边衬的费用，二是背板费用，三是边框费用，已知边衬每平方米50元，背板每平方米60元，边框每米30元，当时，请你计算装裱此作品需要多少钱？
解：（1）设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是，
装裱后作品的面积为，装裱前作品的面积为，
上下左右边衬的总面积．
（2）装裱前的面积为，
当时，装裱后作品的面积为，
边衬的面积为，
装裱后作品的周长为，
装裱此作品所需费用为（元．
答：装裱此作品需要383.2元．
20．（8分）在平面直角坐标系中，过第一象限内点作轴与轴交于点，作轴于点，，反比例函数的图象经过点，四边形的面积为16．
（1）如图，则点的坐标为 ， ；
（2）反比例函数的图象上有点，轴正半轴上有点，且，求的长．
解：（1）四边形是正方形，
，，
四边形的面积为16，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
；
故答案为：，16；
（2）反比例函数的图象上有点，
，
延长交轴于，
，，，
，
，
，
，
点，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
．
21．（8分）小明本学期的数学成绩如下表所示：
测验类别 平时
测试1 测试2 测试3 测试4 平时平均数 期中考试 期末考试
成绩 108 103 101 108 110 114
（1）六次考试的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算小明该学期的数学平时平均成绩；
（3）如果学期的总评成绩是根据如图所示的比例计算所得，已知小明该学期的数学总评成绩为111分，请计算出总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例．
解：（1）六次数据依次为：101、103、108、108、110、114，
则中位数为：108，众数为：108．
（2）；
（3）设所占的比例为，所占的比例为，
由题意得，，
解得：．
答：总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例为、．
22．（10分）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径．
2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
3．连接，，．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值．
解：（1）五边形是正五边形，
，
即；
（2）是正三角形，
理由：连接，，如图，
由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
同理可得：，
，
是正三角形；
（3）连接，如图，
，
，
，
，
，
的值是15．
23．（10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计得到如下数据：
单价（元件） 30 34 38 40 42
销量（件 40 32 24 20 16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件与单价（元件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
解：（1）设所求一次函数关系式为，
将、代入，
得，
解得，
；
（2）设利润为元，产品的单价为元件，根据题意，
得
，
当元件时，工厂获得最大利润450元．
24．（12分）如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或于点，交边（或于点，当旋转至处时，的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时， （填：“”或“” ；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的的值．
解：（1）如图2中，
四边形为矩形，
，
．
，
，
，
，
故答案为：．
（2）是定值．如图3，过点作于点，
矩形中，，
，，
．
，
，
，
，
，
，
．
（3）分两种情况：
①如图3，当点在上时，．
，，
．
由（2）可知：，
，即，
．
，
．
当时，，
解得：．
，
；
②如图4，当点在上时，，过点作于点，
，，
．
同理可证：，
，即，
．
，，
．
当时，，
解得：．
，
．
综上所述：当点在上时，，当时，；当点在上时，，当时，．
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