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第八章 二元一次方程组单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（ ）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
4．已知方程组，则a﹣b的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．8
5．已知，且y≠0，则的值为（ ）
A． B． C．﹣12 D．12
6．若是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．4
7．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
9．为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，共有（ ）种购买方案．
A．6 B．5 C．4 D．3
10．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．在方程y+2x＝7中，用y来表示x，则x＝ ．
12．若关于x、y的方程（m﹣3）x|m|﹣2﹣2ym+2n＝5是二元一次方程，则m﹣n＝ ．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 .（答案不唯一，写出一个即可）
14．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝12的解，则k＝ ．
15．如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则小长方形的面积为 ．
16．关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是 ．
三．解答题（共7小题）
17．解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．已知是二元一次方程2x+y＝a的一个解．
（1）则a＝ ；
（2）试直接写出二元一次方程2x+y＝a的所有正整数解．
19．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝20；当x与x时，y的值相等，求a，b，c的值．
20．已知关于x，y的二元一次方程kx+y＝2﹣k，k是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
21．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 ，y的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
22．如图甲所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少只？
（2）若有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只，问有哪几种制作方案？
23．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
原方程组化为，
解得，
把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
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第八章 二元一次方程组单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A．该方程组中第一个方程的未知数x的次数是2次，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程xy＝2是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．该方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将各个选项中的x、y的值代入2x+y验证结果是否为7即可．
【解答】解：A．把代入2x+y得，2×（﹣1）+5＝3≠7，因此选项A不符合题意；
B．把代入2x+y得，2×1+5＝7，因此选项B符合题意；
C．把代入2x+y得，2×3+4＝10≠7，因此选项C不符合题意；
D．把代入2x+y得，2×4+3＝11≠7，因此选项D不符合题意；
故选：B．
3．对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（ ）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故选：C．
4．已知方程组，则a﹣b的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．8
【分析】方程组两方程相加即可a﹣b的值．
【解答】解：，
①+②得：3a﹣3b＝﹣12，
则a﹣b＝﹣4．
故选：B．
5．已知，且y≠0，则的值为（ ）
A． B． C．﹣12 D．12
【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式两边都除以z即可．
【解答】解：，
由②，得y＝﹣4z③，
把③代入①，得x＝3×（﹣4z），
即x＝﹣12z，
等式两边都除以z得：12，
故选：C．
6．若是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．4
【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解．
【解答】解：把代入方程3x+y＝1，得
3a+b＝1，
所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7，
故选：C．
7．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】①+②得出4x＝12，求出x，再把x＝3代入②求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得3﹣2y＝3，
解得：y＝0，
所以原方程组的解是，
故选：D．
8．若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
【分析】因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若|2a﹣b+1|＝0，则a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，联立组成方程组，解出a和b的值即可解答．
【解答】解：∵|2a﹣b+1|＝0，
∴，
解得，
∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
9．为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，共有（ ）种购买方案．
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】可设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据购买跳绳共花费450元钱，列出方程，再根据整数的性质即可求解．
【解答】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有：
30x+45y＝450，即2x+3y＝30，
∵x，y均为非负整数，
∴x＝0，y＝10或x＝3，y＝8或x＝6，y＝6或x＝9，y＝4或x＝12，y＝2或x＝15，y＝0，共有6种购买方案．
故选：A．
10．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将所求的方程组化简为，再结合已知方程组的解可得，求解即可．
【解答】解：化简方程组为方程组，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．在方程y+2x＝7中，用y来表示x，则x＝ ．
【分析】方程移项，系数化为1即可．
【解答】解：y+2x＝7，
移项，得2x＝7﹣y，
系数化为1，得x．
故答案为：．
12．若关于x、y的方程（m﹣3）x|m|﹣2﹣2ym+2n＝5是二元一次方程，则m﹣n＝ ﹣5 ．
【分析】根据二元一次方程的定义，即可得出|m|﹣2＝1，m+2n＝1，求出m、n的值，代入计算即可得出m﹣n的值．
【解答】解：依题意得：m﹣3≠0，|m|﹣2＝1，m+2n＝1．
解得：m＝﹣3，n＝2，
则m﹣n＝﹣3﹣2＝﹣5．
故答案是：﹣5．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 x﹣y .（答案不唯一，写出一个即可）
【分析】写出一个二元一次方程使其解为即可．
【解答】解：若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是x﹣y（答案不唯一），
故答案为：x﹣y（答案不唯一）．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝12的解，则k＝ 2 ．
【分析】利用加减消元法解出x与y，再代入x﹣3y＝12求得k．
【解答】解：将x+y＝2k记作①，x﹣y＝4k记作②．
∴①+②，得2x＝6k．
∴x＝3k．
将x＝3k代入①，得3k+y＝2k．
∴y＝﹣k．
∴3k﹣3（﹣k）＝12．
∴k＝2．
故答案为：2．
15．如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则小长方形的面积为 4 ．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入xy中即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝4×1＝4，
∴小长方形的面积为4．
故答案为：4．
16．关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是 ．
【分析】根据题意可得，解方程组即可．
【解答】解：，
①+②，得ax﹣x+2y+ay＝﹣5+2a，
整理，得a（x+y﹣2）+（﹣x+2y+5）＝0，
根据题意，得，
③+④，得3y+3＝0，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③，得x﹣1﹣2＝0，
解得x＝3，
∴这个公共解是，
三．解答题（共7小题）
17．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：5x＝5，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣y＝2，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2），
②﹣①×2得：13y＝65，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣25＝﹣21，
解得：x＝2，
则方程组的解为．
18．已知是二元一次方程2x+y＝a的一个解．
（1）则a＝ 5 ；
（2）试直接写出二元一次方程2x+y＝a的所有正整数解．
【分析】（1）将代入二元一次方程2x+y＝a，即可求a的值；
（2）由（1）可知2x+y＝5，再用列举法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵是二元一次方程2x+y＝a的一个解，
∴24＝a，
∴a＝5，
故答案为：5；
（2）∵a＝5，
∴2x+y＝5，
∵x、y是正整数，
∴，．
19．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝20；当x与x时，y的值相等，求a，b，c的值．
【分析】根据题意列出关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．
【解答】解：在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝20；当x与x时，y的值相等，
得到，
解得：a，b＝﹣9，c．
20．已知关于x，y的二元一次方程kx+y＝2﹣k，k是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
【分析】（1）由二元一次方程组的解可求出答案；
（2）任取两个k的值，不妨取k＝1，k＝2，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）把代入方程kx+y＝2﹣k，得﹣2k+5＝2﹣k，
解得：k＝3．
（2）任取两个k的值，不妨取k＝1，k＝2，得到两个方程并组成方程组．
解得．
即这个公共解是．
21．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 5 ，y的值为 ﹣3 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解答】解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，
解得x＝5，
故答案为：5；﹣3；
（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
∴2x+3y，
∵2x+3y＝1，
∴，
解得m＝1．
22．如图甲所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少只？
（2）若有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只，问有哪几种制作方案？
【分析】（1）设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，由题意：用7800元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，由题意：有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只，列出一元一次不等式组，解得13≤a≤15，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵板材每平方米20元，
∴A型板材每张20元，B型板材每张20×3＝60（元），
设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，
由题意得：，
解答：，
答：可以制作竖式箱子30只；
（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，
则a+b＝40，
由题意得：，
解得：13≤a≤15，
∵a为正整数，
∴a＝13或a＝14或a＝15，
则b＝27或a＝26或a＝25，
∴有3种制作方案：
①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；
②制作竖式箱子14只，横式箱子26只；
③制作竖式箱子15只，横式箱子25只．
23．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
原方程组化为，
解得，
把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y﹣2，即可求出x和y的值；
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可求出x和y的值．
【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，
原方程组化为，
解得，
把代入m＝x+1，n＝y﹣2，
得，
解得x＝1，y＝1，
∴原方程组的解为；
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，
原方程组化为，
解得，
将代入a＝x+y，b＝x﹣y，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
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