6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
家电下乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机，
那么小王共有多少购买方案？
教学目标
（1）理解分类计数原理与分步计数原理
（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学重点：
（1）理解分类计数原理与分步计数原理
（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
分步加法计数原理
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案，
在第1类方案中有 m1 种不同的方法，
在第2类方案中有 m2 种不同的方法，
那么完成这件事共有
种不同的方法。
… …
在第n类方案中有mn种不同的方法，
问题4：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事分两
步完成：
第1步：先确定一个英文字母
第2步，后确定一个阿拉伯数字
所以，编号共有6×9=54种方法.
字母　　　数字　　 得到的号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树形图
A
B
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
C
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
D
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
E
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
F
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
分步乘法计数原理
例题
某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生.
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成.
共同点：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
①完成一件事有n类不同的方案； ②各类方案相互独立； ③每一类方案都能直接完成该事件。
①完成一件事要n个不同的步骤；
③每一个步骤都不能直接完成该事件，只有完成每个步骤，才能完成这件事。
②各个步骤相互联系 ；
都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的种数问题。
不同点：
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
两个原理的综合应用
例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解　分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法.
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
解　分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法.
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解　分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法.
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法.
总结
使用两个原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
课堂练习
1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
课堂练习
如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。
2.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据分类记数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
丙地
丁地
解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。
小结：
1. 本节课学习了那些主要内容？
答:分类记数原理和分步记数原理。
2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？
不同点什么？
答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不 同的方法。
不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类记 数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
3. 何时用分类记数原理、分步记数原理呢
答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。
完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。