【备考2023】湖北省宜昌市中考数学模拟试卷2（含解析）

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【备考2023】湖北省宜昌市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每题3分，计33分．）
1．下列说法：①a一定是正数；②0的倒数是0；③最大的负整数是-1；④只有负数的绝对值是它的相反数；⑤倒数等于本身的有理数只有1；不正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
2．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．2023年春节假日期间，合肥市共接待游客万人，全市旅游综合收入亿元，其中数据万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．-3 B． C． D．0
6．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个二位数的十位数字是5，个位数字是a，用代数式表示这个二位数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为的直径，弦，为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
11．如图，在中，，BQ和AP分别为和的角平分线，若的周长为18，，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．6
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）
12．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么支出70元记作 ___________元．
13．已知、两点的坐标分别为、，将线段平移得到线段，点对应点的坐标为，则点的坐标为 __．
14．在一个不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共60个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是15%，摸出白球的频率是45%，那么可以估计盒子中黄球的个数是_____．
15．如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，连接，，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16．先化简分式，再在-3＜x≤2中取一个合适的整数x，求出此时分式的值．
17．（1）解不等式组；
（2）解分式方程：+1＝．
18．（1）如图，在边上找一点，使点到边、边的距离相等．（要求：用尺规作图）
（2）在（1）的条件下，若，，，求的长．
19．为了切实减轻学生的课业负担，对义务教育阶段低年级学生原则上要求老师不布置课外作业，为了了解学生对这一政策的了解程度，分四个等级对低年级部分学生关于“双减”政策的知晓情况进行了调研．A非常了解，B了解，C比较了解，D不知道．进行了统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)被抽查的学生共有多少人？
(2)将图中的条形图补充完整；
(3)计算D不知道的圆心角为多少度？
(4)某学校有2000人，请你估计A非常了解的人数．
20．某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱） … 35 38 …
销售量y（箱） … 130 124 …
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，求当天这种蔬菜的销售量；
(2)若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜的售价为多少元？
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
21．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
(2)如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．
22．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
23．如图，在正方形ABCD中，DC=8，现将四边形BEGC沿折痕EG(G，E分别在DC，AB边上)折叠，其顶点B，C分别落在边AD上和边DC的上部，其对应点设为F，N点，且FN交DC于M．
特例体验：
(1)当FD=AF时，△FDM的周长是多少
类比探究：
(2)当FD≠AF≠0时，△FDM的周长会发生变化吗 请证明你的猜想．
拓展延伸：
(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF为x，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S，试用含x的代数式表示S，并问：当x为何值时，S=26
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+m交y轴于点C，与抛物线y=ax2+bx交于点A（4，0）、B（-，-）．
（1）直线l的表达式为：______，抛物线的表达式为：______；
（2）若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面积；
（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d-d1|=2时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案：
1．【分析】利用有理数，正数与负数，相反数，绝对值，以及倒数的性质判断即可．
解：①a不一定是正数，不正确；
②0没有倒数，不正确；
③最大的负整数1，正确；
④负数和0的绝对值是它的相反数，不正确；
⑤倒数等于本身的有理数有1和1，不正确；
∴不正确的是①②④⑤；
故选：C
【点评】此题考查了有理数，正数与负数，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
解：第一个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
第二个图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第二个图形共2个．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3．【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数．
解：数据万用科学记数法可表示为．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键．
4．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A．与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．【分析】根据无理数和有理数的概念分别判断即可．
解：-3和0是整数，是分数，都属于有理数，
是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数叫无理数，掌握基本概念是解题的关键．
6．【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．
解：已知三角形的面积s一定，
则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah，即；
该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；
故其图象只在第一象限．
故选D．
【点评】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
7．【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组.
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y；
由甲得乙半而钱五十，可得：
由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：
故答案为:A
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.
8．【分析】用十位数字加上个位数字，从而可以表示出这个两位数，本题得以解决．
解：∵十位数字是5，个位数字是a，
∴这个两位数是50+a，
故选D
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是理解十位数的表示方法．
9．【分析】如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．
10．【分析】连接，根据，为的直径，得到，结合同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆周角相等计算即可．
解：如图，连接，
∵，为的直径，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
11．【分析】由角平分线的定义，结合已知条件可得BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC①，过点P作PDBQ交CQ于点D，通过证明△ABP≌△ADP可得AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC②，由①②可得BQ+AQ＝AB+BP，结合△ABQ的周长为18，BP＝4可求解AB的长．
解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠CBQ＝∠C，
∴BQ＝CQ，
∴BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC①，
过点P作PDBQ交CQ于点D，如图，
则∠CPD＝∠CBQ，∠ADP＝∠AQB，
∵∠AQB＝∠C+∠CBQ＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵AP＝AP，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB＝AD，BP＝PD，
∴AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC②，
由①②得BQ+AQ＝AB+BP，
∵△ABQ的周长为18，BP＝4，
∴AB+BQ+AQ＝AB+BP+AB＝2AB+4＝18，
∴AB＝7．
故选：A
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的定义，灵活运用三角形全等的判定与性质是解题的关键．
12．【分析】根据收入与支出表示的是一对意义相反的量，可得此题结果．
解：收入100元记作元，
支出70元记作元，
故答案为：．
【点评】此题考查了利用正负数解决实际问题的能力，关键是能理解正负数是表示一对意义相反的量．
13．【分析】由平移后对应点的坐标为得到平移规律为：向右平移2个单位，则B向右平移2个单位即可得到D坐标．
解：∵平移后对应点的坐标为，
∴相当于将线段AB往右平移2个单位，
∵，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了点及图形的平移规律，属于基础题，找准平移规律是解题的关键．
14．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，知道白球、黄球的频率后，可以得出黄球概率，即可得出黄球的个数．
解：∵从盒子中摸出红球的频率是15%，摸出白球的频率是45%，
∴得到黄球的概率为：1﹣15%﹣45%＝40%，则口袋黄小球有：60×40%＝24个．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解决本题的关键是要熟练掌握频率，概率的关系.
15．【分析】连接，利用扇形的面积加上的面积，减去的面积，可求解．
解：连接，交于点，过点作于点，则：；
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，为半圆，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查求阴影部分的面积，同时考查了圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理．熟练掌握割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，是解题的关键．
16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件取舍的值，并代入计算即可求出值．
解：原式＝
∵
当时，原式，
当时，原式
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【分析】（1）分别求出不等式组中每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可．
解：（1）
解不等式①，得x≥﹣5，
解不等式②，得x＜2，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：
∴原不等式组的解集为x≥﹣5；
（2）方程两边同乘2（x﹣2）得：
2x+2（x﹣2）＝1，
解这个方程，得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点P即可；
（2）先利用勾股定理求出BC，再证明Rt△ABP≌Rt△DBP，得到AB=BD=3，求出CD，设PA=x，表示出PD，PC，在△PCD中利用勾股定理列出方程，解之即可．
解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∵PA=PD，∠A=∠PDB=90°，BP=BP，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），
∴AB=BD=3，
∴CD=BC-BD=5-3=2，
设PA=x，则PD=x，PC=4-x，
在△PDC中，，
即，
解得：x=，
即AP=．
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将问题转移到直角三角形中，结合全等的知识，利用勾股定理求值．
19． 【分析】(1)本次被抽查的学生共有的人数=图中A等级的人数÷A等级的百分比，据此即可求解；
(2)由(1)所得总人数求出B等级的人数，即可作图；
(3)先求出D等级的百分比，再利用扇形统计图的圆心角的度数为乘以D等级的百分比，据此即可求解；
(4)用2000乘以A等级所占的百分比，即可求解．
解：（1）（人），
答：被抽查的学生共有120人；
（2）B等级的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3），
即D不知道的圆心角为；
（4）（人），
答：估计A非常了解的人数大约有600人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，明确统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．
20．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x的函数关系式，然后将x＝42代入求得的函数解析式即可求得当天这种蔬菜的销售量；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出关于x的方程，从而可以解答本题，注意x的取值范围；
（3）根据题意可以得到利润关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
解：(1)设y与x之间的函数关系为，将，和，代入表达式，
得，解得．
∴
∴当时，
答：当售价为42元/箱，当天这种蔬菜的销售量为116箱
(2)依题意可得
整理方程，得
解得，
∴这种蔬菜售价不低于，所以34不满足题设要求
答：所以当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价为90元．
(3)设日获得利润为w元，
∵
∴抛物线开口向下．
∵这种蔬菜售价不低于，即
∴当时，（元）
答：这种蔬菜的售价为65元，可获得最大日利润为2450元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21． 【分析】（1）证明△ABC等边三角形．得到E是BC的中点，再证明EC＝CF．利用，即可证明，
（2）连接AC．证明△ABE≌△ACF（AAS）．得到AE＝AF．利用∠EAF＝60°，证明△AEF是等边三角形．即可得到∠AEF=60°，再利用∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，即可证明∠FEC＝20°．
（1）证明：如图1所示：连接AC．
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°，∠D=∠B=60°．
∴△ABC等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∵，
∴，
∴F是CD的中点；
（2）解：如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．
∴∠AEB＝∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF=60°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠FEC＝∠BAE=20°．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质．
22．【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．【分析】（1）如图1中，在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x，再根据△AEF∽△DFM，可得，由此即可解决问题；
（2）△FDM的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；
（3）作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．由△AFB≌△KEG，可得FB=GE，由（2）可知：AE=，设AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，根据S=，构建二次函数即可解决问题；
解：（1）在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，
由勾股定理，得：42﹢x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴AE=3，EF=5．
∴△AEF的周长为12，
如图，
∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°
又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴==，
∴△FDM的周长为16；
（2）△FDM的周长不会发生变化；
理由：如下图，
设AF=x，EF=8-AE，x2+AE2=（8-AE）2，
∴AE=，
∵△AEF∽△DFM，
∴，
∴△FMD的周长：．
（3）如图，作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．
∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴FB=GE，
由（2）可知：AE=，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，
∴梯形AEGD的面积为：，
∴，
当S=26时，有
，
解得：x=2或x=6，
∴当x=2或6时，四边形FEGN的面积为26．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．
24．【分析】（1）将点A、B坐标代入一次函数、抛物线表达式即可求解；
（2）将直线l沿y轴向下平移个单位长度得直线y=x，交二次函数在第四象限内的图象于点P，即可求解；
（3）确定d=QRcosα=|x2+2xx+3|×，d1=|x-2|，利用|d-d1|=2，即可求解．
解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y=kx+m得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：y=x-3，
同理将点A、B的坐标代入抛物线表达式，得
，
解得：a=，b=2，
∴抛物线的表达式为：y=x2+2x；
（2）将直线l向下平移m个单位，交抛物线于点P，交y轴于点D，
过点P、D分别作直线l的垂线HD、PM于点H、M，过点O作直线PD的垂线交直线l于点F、交直线PD于点E，
则PM=HD，2S△APB=S△AOB，则PM=HD=2OF，
直线的表达式为：y=x-3，则tan∠HCD=tan∠OCF，
即：，
解得：OC=OC=，
∵FC∥ED
∴，
∴，
即：x-=-x2+2x，
解得：x=或-2（舍去负值），
点P（，-），
S△AOP==；
（3）过点Q分别作直线l和函数对称轴的垂线交于点H、G，过点Q作QR∥y轴交直线l和x轴于点R、S，
则∠RQH=∠RAS=α，直线AB表达式得k值为，即tanα=，则cosα=，
设点Q（x，-x2+2x）、则点R（x，x-3），
d=QRcosα=|-x2+2x-x+3|×…①，
d1=|x-2|…②，
|d-d1|=2…③，
联立①②③并解得：x=或-或6或-1或1或4或-4，
故点Q的坐标为：（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解直角三角形，平行线分线段成比例，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题，注意掌握数形结合的思想，其中（3），距离要用绝对值计算，避免遗漏．
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