课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.1 指数函数第二章1.1.1 集合的概念2.1.1 指数与指数幂的运算
第一课时 根式第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式性质．
2．能利用根式的性质对根式进行化简．
●温故知新
旧知再现
1．在初中学过正整数指数幂：将用an表示，这里的n为正整数．am＋nam－namnambm1平方根立方根|a|aaa新知导学
1．n次方根x n次方根被开方数根指数
[归纳总结] 正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根旨为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零． [答案] B[答案] A
3．已知x7＝5，则x＝________. (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)已知x7＝6，则x＝________.n次方根的概念问题 ●典例探究 规律总结： n次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，求a＋b的值．
(2)用根式表示下列各式中的x：
①已知x6＝2013，则x＝________.
②已知x5＝－2013，则x＝________.
[分析] (2)解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求． 计算下列各式的值：利用根式的性质化简或求值 规律总结：1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 带有限制条件的根式运算 [答案] (－1) 规律总结：有限制条件的根式化简的步骤[错解] ②③④
由题意，得①显然不成立，②③④都成立．[答案] C
2．(2013～2014山东淄博一中期中考试试题)下列运算正确中计算结果正确的是( )
A．a4·a3＝a12 B．a6÷a3＝a2
C．(a3)2＝a5 D．a3·b3＝(a·b)3
[答案] D[答案] C[答案] (－∞，5]课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.1 指数函数第二章1.1.1 集合的概念2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 分数指数幂第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
2．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．
●温故知新
旧知再现
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的—次方根，其中n>1，且n∈N*.n
(2)a的n次方根的表示
①当n是奇数时，a的n次方根表示为____，a∈___.
②当n是偶数时，a的n次方根表示为____，a∈________ .
(3)根式
式子______叫做根式，这里n叫做_________，a叫做_________．R[0，＋∞)根指数被开方数0 aa|a|a －aam＋nam－namnambm525a－20 没有意义有理数2．有理数指数幂的运算性质
(1)arss＝______(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝_____(a＞0，r，s，∈Q)；
(3)(ab)r＝_____(a＞0，b＞0，r∈Q)．
[归纳总结] 三条运算性质的文字叙述：
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；
(3)积的乘方等于乘方的积．ar＋sarsarbr3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的______．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[知识拓展] 在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展．实数[答案] D[答案] A 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
[分析] 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．根式与分数指数幂的互化 ●典例探究 规律总结：在将根式化分数指数幂的形式时，关键是分清指数中分子、分母的位置．利用分数指数幂的运算性质化简求值 规律总结：1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数进行运算．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 有条件的求值问题 规律总结：
(2)解决此类问题的一般步骤是[错因分析] 在利用有理数指数幂的运算性质进行运算时忽视了底数大于0的条件．
[思路分析] 在应用有理数指数幂的运算性质进行运算时，一定要注意底数必须大于0的数．
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.1 指数函数第二章1.1.1 集合的概念2.1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数及其性质第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数．
2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题．●温故知新
旧知再现
1．对于幂an，
(1)当a>0且a≠0时，使an有意义的n的范围是————；
(2)当a＝1时，an＝___；
(3)当a<0时，n并不能取任意实数，如n＝____，____时an没有意义；
(4)当a＝0时，n取__________没有意义．
1零或负数ar＋sar－sarbrn∈R
2．如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1，x2∈D且x1
”、“<”或“＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从左至右逐渐_____(填“上升”或“下降”)．
3．函数图象的作法步骤：①列表；②_____；③连线．<上升描点新知导学
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝_____(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是________．
[名师点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.ax自变量2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：R(0，＋∞)(0,1)增函数减函数
[归纳总结] 指数函数的性质可用如下口决来记忆：
指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(0,1)点．[答案] C[答案] D
4．若指数函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (3，＋∞) 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝4x；
(2)y＝x4；
(3)y＝－4x；
(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；
(6)y＝4x2；
(7)y＝xx； 指数函数的概念 ●典例探究
[解析] (1)、(5)、(8)为指数函数；
(2)中底数x不是常数，而4不是自变量；
(3)是－1与指数函数4x的乘积；
(4)中底数－4<0，∴不是指数函数；
(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；
(7)中底数x不是常数．
它们都不符合指数函数的定义． 规律总结：指数函数的结构特征
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1. (1)当a＞1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是( )指数函数的图象问题
(3)(2013～2014双鸭山高一检测)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________．
[分析] (1)题(1)中指数函数的图象自左向右是上升的还是下降的？
二次函数图象的开口方向是向上还是向下？
(2)底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？
(3)指数函数的图象恒过哪个点？为什么？
[解析] (1)由a＞1知函数y＝ax的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的．
由a＞1知函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，综合分析可知选项A正确．[答案] (1)A (2)A (3)(2，－2) 规律总结： 1.处理指数函数图象问题的两个要点
(1)牢记指数函数y＝ax 图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限．
(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数．
2．底数变化对指数函数图象形状的影响
指数函数y＝ax的图象如图所示，由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
如图中的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )
A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1
C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0
[答案] D
[解析] 由于图象不过第二象限知a＞1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D. 求下列函数的定义域与值域：
[分析] 解答本题可根据指数函数的定义域为R，逐个分析．与指数函数有关的定义域与值域问题 规律总结：1.函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x) ≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥ f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.
1．下列函数，
①y＝x2；②y＝(－2)x；③y＝2x＋1；④y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
其中，指数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A[答案] C
3．(2013～2014宿州高一检测)函数f(x)＝3x＋1的值域为( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
[答案] B
4．函数f(x)＝a3－x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的坐标是________．
[答案] (3,0)
[解析] 令3－x＝0，解得x＝3，
则f(3)＝a0－1＝0，即过定点(3,0)．
5．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________.
[答案] 64
[解析] 设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
∵函数f(x)的图象过点(3,8)，∴8＝a3，∴a＝2.
∴f(x)＝2x.∴f(6)＝26＝64.课件46张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.1 指数函数第二章1.1.1 集合的概念2.1.2 指数函数及其性质
第二课时 指数函数性质的应用第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．进一步掌握指数函数的概念、图象和性质．
2．能利用指数函数的单调性解决一些综合问题．
●温故知新
旧知再现
1．指数函数的定义
函数_________________叫做指数函数，其中x是自变量．
y＝ax(a>0，a≠1)2．指数函数的图象和性质R(0,1)y>101增函数减函数3.在同一坐标系中，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx(a，b，c，d>0，≠1)，如图所示，则a，b，c，d的大小顺序为_______________.c>d>1>a>b>0新知导学
1．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出f(x)的值域，再由单调性求出y＝af(x)的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． (2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
●自我检测
1．已知a＝31.03，b＝31.04，则( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a≥b
[答案] C
[解析] y＝3x在(－∞，＋∞)上为增函数，1.04＞1.03，∴31.04＞31.03，∴b＞a.
2．已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)>f(2)，则a的取值范围是________．
[答案] a＞1
[解析] ∵f(3)＞f(2)，∴f(x)为增函数，∴a＞1.
3．函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)内递增，则a的取值范围是________．
[答案] [6，＋∞) 比较下列每组中两个数的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,0.8－0.2；
(3)1.70.3,0.93.1.
[分析] 分析各数的构成特征，将其看作指数函数的两个函数值，用单调性得出结论，或直接运用指数函数值的分布规律求解．利用指数函数的性质比较大小 [解析] (1)考察指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考察函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.
(3)由指数函数的性质得
1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1. 利用函数f(x)＝2－x的图象，作出下列各函数的图象．
(1)f(x－1)；(2)f(|x|)；(3)f(x)－1；
(4)－f(x)；(5)|f(x)－1|；(6)f(－x)；
集合间关系的判断 [解析] (1)将y＝2－x的图象右移一个单位．
(2)将函数y＝2－x的图象在y轴左侧部分去掉，然后将右侧部分作关于y轴对称的图形即得．
(3)将y＝2－x的图象下移一个单位．
(4)作y＝2－x的图象关于x轴对称图形．
(5)将y＝2－x的图象先向下平移一个单位，再将x轴下方图象翻折到x轴上方．
(6)将y＝2－x的图象作关于y轴对称的图形． 规律总结： [解析] ①
②增区间(－∞，－2]；减区间[－2，＋∞)．
③x＝－2时，ymax＝1，无最小值.单调性的判断
●误区警示
易错点 换元时忽略中间变量的范围而出错
[易错点辨析] 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．
[解析] 设3x＝t，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
∵上式中当t＝0时y＝－2，
又∵t＝3x＞0，
∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．
1．若0＜a＜1，则函数f(x)＝ax－2的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
2．已知0.5m＜0.5n，则m，n的大小关系是( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
[答案] A[答案] D[答案] B[答案] [0，＋∞)
[解析] 原不等式可化为3x＋2＜－2x－3，
解得x＜－1.
原不等式的解集为{x|x＜－1}．课件34张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.1 指数函数第二章1.1.1 集合的概念2.1.2 指数函数及其性质
第三课时 习题课第二章1.1.1 集合的概念网络构建 化简下列各式：
[分析] 先将根式化为指数幂的形式，再利用有理数指数幂的运算性质进行化简．分数指数幂的运算
[解析] 求下列函数的定义域和值域： 与指数函数有关的定义域、值域问题
[分析] (1)(2)(3)都是形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是x∈R可知，欲求定义域，只需求使f(x)有意义的x的取值集合，而要求它们的值域，需先求f(x)的值域再求af(x)值域，对于(4)，可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域．函数的图象与性质 函数性质的综合应用[分析] 判断奇偶性利用定义，由于该函数是偶函数，只需证明当x>0时，f(x)>0即可． 规律总结：奇偶性也是函数的一种重要性质，利用它可处理函数的单调性、函数值的符号以及作函数的图象等问题． 1．计算－0.01－0.5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的结果为( )
A．15 B．17
C．35 D．37
[答案] B5．(2013～2014南宫一中月考试题)函数y＝ax－a(a>0，a≠1)图象可能是( )
[答案] C
[解析] 对于选项A，显然a>1，当x＝1时y＝0不合题意．
对于选项B、D，当x＝1时，y<0不合题意，故选C. 课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.2 对数函数第二章1.1.1 集合的概念2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对数第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解对数的概念，了解常用对数和自然对数．
2．能够进行对数式与指数式的互化．
3．掌握对数的三个重要结论．●温故知新
旧知再现
1．在指数ab＝N中，a称为_____，b称为_____，N称为_____，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b的取值范围由初中时的限定为整数扩充到了_____．
2．若a>0且a≠1，则a0＝_____；a1＝_____；对于任意x∈R，ax>0.底数指数幂值实数1a(4)3－44 新知导学
1．对数的概念底数真数logaN
[名师点拨] 对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以____为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为_____.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以_____为底的对数称为自然对数，并把logeN记为_____.
3．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝_______.
[知识拓展] 当ax＝N时，x＝logaN，则alogaN＝N(a＞0，且a≠1)．10lgNelnNlogaN
4．对数的基本性质
(1)____和______没有对数．
(2)loga1＝___(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝___(a＞0，且a≠1)．零负数01●自我检测
1．若2n＝3，则n＝( )
A．log32 B．log23
C．log22 D．log33
[答案] B
2．log78的底数是________，真数是________．
[答案] 7 8
3．lg7与ln8的底数分别是( )
A．10,10 B．e，e
C．10，e D．e,10
[答案] C
4．log54＝a化为指数式是( )
A．54＝a B．45＝a
C．5a＝4 D．4a＝5
[答案] C
5．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
[答案] D 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．对数的定义与指对互化 ●典例探究 规律总结：对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN.
另外互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对数式的对数)．
[分析] 按照指数式与对数式的关系转化，幂底数对应对数底数，指数对应对数，幂对应真数． 求下列各式的值：
(1)log464； (2)log31； (3)log927.
[分析] 求对数式的值，可以设其为x，将之转化为指数式求解． 求下列各式中的x：
[分析] 利用指对互化、对数恒等式及对数的性质求解．解简单的对数方程 ●误区警示
易错点 忽略了对数式的底数和真数的取值范围
对数式loga－2(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得5－a>0，∴a<5.
[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[思路分析] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．
1．把对数式x＝lg2化为指数式为( )
A．10x＝2 B．x10＝2
C．x2＝10 D．2x＝10
[答案] A
2．指数式b2＝a(b>0且b≠1)化为对数式是( )
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logab＝2 D．logba＝2
[答案] D
3．有以下四个结论：
①lg(lg10)＝0; ②lg(lne)＝0；
③若10＝lgx，则x＝10; ④若e＝lnx，则x＝e2.
其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
[答案] C
4．使式子logx＋1(1－x)有意义的x的值是( )
A．x<－1或>1 B．－1＜x＜1
C．－1＜x＜1且x≠0 D．x≠0
[答案] C5．已知logx9＝－2，则x＝________.课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.2 对数函数第二章1.1.1 集合的概念2.2.1 对数与对数运算
第二课时 对数的运算第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解对数的运算性质．
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3．了解对数在简化运算中的作用．●温故知新
旧知再现
1．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列简单性质：
(1)___________没有对数，即N_____0；
(2)1的对数为_____，即loga1＝_____；
(3)底的对数等于_____；即logaa＝_____；
(4)logaab＝_____.
2．对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，ax＝N?x＝__________.零和负数>0011blogaN
3．指数的运算法则：a>0，b>0，r，s∈R，
ar·as＝_____，
ar÷as＝_____，
(ar)s＝_____，
(ab)r＝_____.ar＋sar－sarsarbr新知导学
1．对数的运算性质logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM
●自我检测
1．lg2＋lg5的值为( )
A．2 B．5
C．7 D．1
[答案] D2．log318－log32的值为( )
A．log316 B．log320
C．log336 D．2
[答案] D
3．log210·lg4＝________.
[答案] 2
4．log29·log278＝________.
[答案] 2
[解析] log29·log278＝log232log3323＝2log23·log32＝2. 用logax，logay，logaz表示：对数的运算性质 ●典例探究 规律总结：对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
(1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 运用对数的运算性质解题 [分析] 1.当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．
2．先将45用2与3的幂积表示；再运用对数的运算法则求解． 规律总结：灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算． [分析] (1)将底统一成以10为底的常用对数；(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．换底公式的应用 规律总结：关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数问题的基本方法．
[错因分析] 在对数式的变形过程中，变形前后字母的取值范围会发生变化，这时一定要通过限制条件来保证变形的等价性．本题中，去掉对数符号后，x>0，y>0，x－2y>0，这些条件在整式中是体现不出来的．故应添上或在最后进行检验．(2013～2014南阳高一检测)作为对数运算法则：lg(a＋b)＝lga＋lgb(a＞0，b＞0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a＞0，b＞0)成立的a，b应满足的函数表达式a＝f(b)为________．[答案] A
2．log38·log23＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
[答案] B
3．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[答案] A课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.2 对数函数第二章1.1.1 集合的概念2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数及其性质第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．
2．能画出具体对数函数的图象，并通过观察图象探索对数函数的性质．
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)．
●温故知新
旧知再现
1．对数式x＝logaN中，a的取值范围是______________，N的取值范围是_____.
2．loga1(a>0，且a≠1)＝_____.
3．一般地，我们把函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做_____函数，它的定义域为R，值域为__________ ．把指数式y＝ax化为对数式为x＝logay.a>0，且a≠1N>00指数(0，＋∞)新知导学
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝_____(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是__________ ．
[归纳总结] (1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.logax(0，＋∞)2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：(0，＋∞)(1,0)增函数减函数
[归纳总结] 对数函数的知识总结：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1来可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
3．反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．y＝x●自我检测
1．函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是( )
[答案] A
2．函数y＝log4.3x的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．R
[答案] D
3．已知f(x)＝log9x，则f(3)＝________.
4．函数y＝lnx的反函数是________．
[答案] y＝ex 下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C 对数函数概念
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数虽为2，但可变形为y＝log2x，∴⑥也是对数函数；只有③、④、⑥符合对数函数的定义． 规律总结：对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数． 求下列函数的定义域对数函数的定义域： 规律总结：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. (1)函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
(2)已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是( )考查对数函数的图象 [解析] (1)因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2.
所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
(2)方法一：若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．
若a＞1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
方法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
[答案] (1)(0，－2) (2)B(1)函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是________．
(2)(2013～2014长春高一检测)已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是( )
[答案] (1)(2,4) (2)C
[解析] (1)因为函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2,0)，所以f(x)＝4＋loga(x－1)的图象过定点(2,4)．
(2)∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0.
又f(3)g(3)＜0，∴g(3)＝loga3＜0，
∴0＜a＜1，∴f(x)＝ax在R上是减函数g(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，故选C.●误区警示
易错点 忽略对数函数的定义域致错已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lgy)＝lg(3－x)，求函数y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
[错解] ∵lg(lgy)＝lg(3－x)，∴lgy＝3－x，
∴y＝103－x，定义域为R，值域为(0，＋∞)．1．下列函数中，是对数函数的个数为( )
①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x；⑥y＝logax(a>0，a≠1)．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[分析] 解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条件．
3．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是( )
[答案] A
4．设集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{y|y＝lgx}，则下列关系中正确的是( )
A．A∪B＝A B．A∩B＝?
C．A＝B D．A?B
[答案] D
[解析] A＝{x|y＝lgx}＝{x|x＞0}，
B＝{y|y＝lgx}＝{y|y∈R}
∴A?B.
5．函数f(x)＝－5log4(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
[答案] (2,2)
[解析] 令x－1＝1，得x＝2，
∵f(2)＝2，∴f(x)的图象恒过定点(2,2)．
6．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.2 对数函数第二章1.1.1 集合的概念2.2.2 对数函数及其性质
第二课时 对数函数性质的应用第二章1.1.1 集合的概念
●课标展示
1．会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式．
2．会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域．
3．能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．
●温故知新
旧知再现
回顾对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象与性质填表：RR增函数减函数(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]新知导学
1．对数复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为________．
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．增函数减函数
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【思维拓展】 (1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
●自我检测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[答案] C
2．函数f(x)＝log2x在[1,8]上的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，3] D．[0,3]
[答案] D
[解析] y＝log2x在[1,8]上为增函数，值域为[0,3]．[答案] A
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.[答案] ①＜ ②＞ ③＜ ④＞ ⑤＞ (1)比较下列各组中两个值的大小：
①ln0.3，ln2；
②loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
③log30.2，log40.2；
④log3π，logπ3. 对数函数单调性的应用 ●典例探究
[解析] (1)①因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.
②当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2. 规律总结：1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．(1)(2013～2014大庆高一检测)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．b＜a＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
(2)若loga(2a－1)＞1(a＞0，且a≠1)．则a的范围是________．
[解析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a. 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}． 对数型复合函数的值域 规律总结：求复合函数y＝f[g(x)]值域的方法设y＝f(t)，t＝g(x)，先求t＝g(x)的值域再求y＝f(x)的值域． (2010·山东高考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞).对数函数性质的综合应用 [分析] 对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．
[分析] ●误区警示
易错点 复合函数理解不到位出错
已知函数y＝log2(x2－x－a)值域为R，求实数a的取值范围．
[错因分析] 以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2(x2－x－a)值域为R的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f(x)＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－x－a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图象应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)．已知函数y＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围．[点拨] 注意y＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R与u＝ax2＋2x＋1恒为正不一样．前者要求函数u＝ax2＋2x＋1能取遍一切正实数，后者只要求u＝ax2＋2x＋1取正时，对应的x∈R即可．[答案] B[答案] C
4．函数f(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不奇函数也不是偶函数
[答案] A
[解析] 函数定义域为{x|－1＜x＜1}，f(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－f(x)是奇函数．
5．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
6．解不等式log2(x＋5)＞log2(3－x)课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.2 对数函数第二章1.1.1 集合的概念2.2.2 对数函数及其性质
第三课时 习题课第二章1.1.1 集合的概念
网络构建规律小结
1．解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为“底数”、“已知对数的底数”的幂的积，再展开；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
(4)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．2．对数函数常与函数奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向与所求，建立联系，从而找到解决问题的思路．
(1)对于y＝logag(x)型的函数，求定义域时需注意：
①g(x)>0，a>0且a≠1.
②使式子符合实际背景．
③对含有字母的式子要注意分类讨论．
(2)求值域的步骤：
①确定u＝g(x)的取值范围．
②由u的取值范围与对数函数y＝logau的单调性求y的取值范围．
例如：假设u∈[c，d]，则a>1时，y＝logau∈[logac，logad]；而0(3)常用的对数不等式有三种类型：
①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0②形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
③形如logax>logbx的形式，可利用图象求解． 学法指导：熟练地掌握对数的性质、对数的运算法则、对数恒等式和换底公式是有效的解决对数问题的前提，要注意各公式的适用条件． 对数运算 ●典例探究 求值：
(1)71－log75；
[分析] (1)运用指数幂的运算法则(或对数运算法则)和对数恒等式求解；(2)运用对数的运算法则求解．对数函数的图象和性质 规律总结：正确识别函数的图象，要熟悉基本函数图象，更要把握图象的性质去判断. 学法指导：比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等． 比较大小问题 比较下列各组中两个数的大小，并说明理由． (2)注意到两个对数的真数相同，可先比较log0.71.1与log0.71.2的大小．
∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴由对数函数的单调性，得log0.71.1>log0.71.2. 规律总结：指、对函数型的数值间的大小比较，要注意函数单调性、作差(商)法的应用． [分析] 根据对数函数的单调性来比较大小．由于是三个数的大小比较，注意选取合适的对数函数为背景．这种问题经常会利用函数的单调性．求函数最值问题 规律总结：利用配方法求最值，要注意自变量的取值范围. 对数型函数的性质 [答案] A
1．(2010·四川，理科)2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] C
2．若log3x＜0，则x的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[答案] A3．(2012·安徽卷)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
[答案] B
[考点定位] 本题考查对数函数运算．4．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
[答案] D[解析] 由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，
函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
所以0＜a＜1，－1＜－b＜0，
故0＜b＜1.
因为0＜a＜1，所以g(x)＝ax＋b的R上是减函数，故排除A，B.
因为0＜b＜1，函数g(x)＝ax＋b的值域为(b，＋∞)，
所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，
故排除C.
5．(2013～2014北京高一检测)设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上是增函数，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)＝f(b＋2) B．f(a＋1)＜f(b＋2)
C．f(a＋1)＞f(b＋2) D．不确定
[答案] C
[解析] 因为偶函数f(x)的定义域是(－∞，－b)∪(b，＋∞)，所以b＝0.
于是f(x)＝loga|x|，又因为函数f(x)在(－∞，0)上是递增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是递减函数，即函数y＝logax在(0，＋∞)上是递减函数，故0＜a＜1.
因为1＜a＋1＜2，b＋2＝2，
所以1＜a＋1＜b＋2，
所以f(a＋1)＞f(b＋2)．6．求函数y＝loga(a－ax)的单调区间．
[解析] (1)若a＞1，则函数y＝logat递增，且函数t＝a－ax递减．
又∵a－ax＞0，即ax＜a，
∴x＜1.∴函数y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．
(2)若0＜a＜1，则函数y＝logat递减，且函数t＝a－ax递增．
又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1.
∴函数y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．
综上所述，函数y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．
[规律总结] 判断函数y＝logaf(x)的单调性的方法 函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．
课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念2.3 幂函数第二章1.1.1 集合的概念
●温故知新
旧知再现
1．在同一坐标系中画出函数y＝3x与y＝4x的图象，结合图象比较大小：
(1)30.2__30.4；
(2)30.4__40.4.
2．注意到30.4与40.4的指数均是0.4，我们还可以用函数________的性质来比较大小．y＝x0.4<<(－∞，0)∪(0，＋∞)(0，＋∞)新知导学
幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是_____．
[名师点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系xα常数
[归纳总结] 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．(4)五种常见幂函数的性质，列表如下： R奇增函数[0，＋∞)减函数奇增函数[0，＋∞)增函数(－∞，0)∪(0，
＋∞)奇减函数(1,1)[答案] C
[解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．
故选C.幂函数的定义 ●典例探究 规律总结： [答案] ④⑤[分析] 把此函数解析式同各种函数解析式对比，即可得出关于m的关系式，从而求得m. 规律总结：
[解析] 根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)内是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)内是减函数，不符合题意．
综上所述，f(x)＝x3. 规律总结：幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免出现增根. 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m、n、p、q的大小关系用“<”连接起来结果是________．幂函数的图象
[解析] 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0x>1时，指数越大，图象越高，∴m>q，
综上所述n[答案] n[点评] x>1时，逆时针方向α依次增大，故n第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1的，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． 2．给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
[错解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N*，∴m＝1,2.
又∵函数图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶函数．
[错因分析] 该解法中将函数值大小转化为自己变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才能在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[思路分析] 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定经过点( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(－1，－1) D．(0,1)
[答案] B
3．(2013～2014山东腾州市高一期末)下列说法正确的是( )
A．幂函数一定过(0,0)点
B．指数函数一定过(1,0)点
C．对数函数图像恒在y轴右侧
D．幂函数图象恒在x轴上方
[答案] C
4．若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．α>0 B．α<0
C．α＝0 D．不能确定
[答案] A课件31张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第二章1.1.1 集合的概念章末归纳总结第二章1.1.1 集合的概念专题一 指数、对数的运算
指数与指数运算，对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．
专题二 指、对数函数的典型问题及其求解策略
指数函数与对函数性质的对比
指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．
(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a变化时，函数的图象和性质也随之改变．
(2)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1,0)．
(3)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)具有相同的单调性．
(4)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称．[分析] (1)函数的定义域只要满足根式的条件即可；(2)函数的定义域需满足根式的条件和对数的真数、底数的条件．[分析] 对A，D选项构造指数函数，C选项构造对数函数，利用函数的单调性求解，B选项可结合函数图象解决．[答案] C
[归纳总结] 单调性问题主要是求函数的单调区间以及利用单调性比较大小等．涉及指、对数函数时，需注意底数对函数图象和性质的影响．[分析] 该函数为分段函数，应针对各段分别求解，再求并集．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
专题三 利用模型函数巧解题
函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．
[例5] 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的值域．
[分析] 根据题中条件显然可猜测f(x)的模型函数为f(x)＝kx(k≠0)，欲求函数f(x)的值域，关键是弄清它的单调性．
[解析] 设x10，
∵当x>0时有f(x)>0，∴f(x2－x1)>0.
又对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，则由f(0)＝f(0)＋f(0)得f(0)＝0；
再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x)为R上的增函数．
又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，f(1)＝－f(－1)＝2，
∴当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4,2]．
专题四 思想方法总结
1．数形结合思想
数形结合思想的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题讨论．
[例6] 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2[分析] 作出y＝(x－1)2与y＝logax在(1,2)上图象，利用数形结合思想进行求解．
[解析] 设y＝(x－1)2，y＝logax.在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．
[归纳总结] 该不等式与二次函数和对数函数有关，无法直接求解，可作出两函数的图象，利用数形结合思想观察两函数的大小关系．特别注意当对数函数的底数不确定时，要对a分a>1和0本章常见分类讨论思想的应用如下表：[分析] 本题考查函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对a进行讨论，求出解集．
3．函数与方程思想
函数与方程思想在本章中的应用具体体现在以下几个方面：
(1)利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象等解决数学问题．
(2)对含参问题的讨论可通过函数与方程的思想综合解决．[分析] (1)证明函数是增函数，可根据设值、求差、定号、得结论的步骤完成；(2)由奇函数的性质得到函数解析式所满足的关系式，求解此式即可得a的值．