1.1.1《判断元素能否构成集合》同步练习（含解析）

1.1.1《判断元素能否构成集合》同步练习2022-2023学年统编版高中数学人教A版必修第一册
一、单选题
1．下列对象不能构成集合的是（ ）
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体.
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2．下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点；
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生；
D．与大小相仿的所有三角形
4．下列说法中，正确的是( )
A．若，则
B．中最小的元素是0
C．“的近似值的全体”构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
5．下列所给的对象不能组成集合的是（ ）
A．某班年龄较小的同学 B．二元一次方程的解
C．我国古代的四大发明 D．平面内到定点距离等于定长的点
6．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．北京大学级大学一年级新生 B．年高考数学容易题
C．大于的整数 D．海拔在米以上的山峰
7．下列所给对象不能构成集合的是（ ）
A．一个平面内的所有点 B．所有小于零的实数
C．某校高一（1）班的高个子学生 D．某一天到商场买过货物的顾客
8．下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9．以下各组对象不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．电白区内的小河流
C．方程的实数解 D．周长为10的三角形
10．判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③的近似值；④不大于5的自然数（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
11．下列能构成集合的是（ ）
A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题
12．下列对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级全体较胖的同学
B．接近于0的数
C．全体很大的自然数
D．平面内到三个顶点距离相等的所有点
13．下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
14．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
15．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
16．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
17．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
19．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
20．以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
二、多选题
21．下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生
22．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
23．给出下列说法，其中正确的有（　　）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
24．（多选）下列给出的对象构成的集合是有限集的是（ ）．
A．使得式子有意义的所有实数 B．方程的所有负整数解
C．30的所有质因数 D．与定点A，B等距离的所有点
25．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
三、填空题
26．集合中元素的三大特征是________．
27．以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流
③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
28．下列各对象的全体，可以构成集合的是___（填序号）
①高一数学课本中的难题； ②与1非常接近的全体实数；
②高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
29．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
30．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）
①高一（1）班优秀的学生； ②高一年级身高超过1.60m的男生；
③高一（2）班个子较高的女生； ④数学课本中的难题．
31．以下对象：
①上海市现有各高中的校名；
②很接近的所有实数；
③方程在实数范围内的解；
④平面直角坐标系内的一些点；
⑤所有大于3或小于1的实数．
能够组成集合的序号是______．
四、解答题
32．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
33．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
五、概念填空
34．判断正误．
（1）接近于0的数可以组成集合．( )
（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( )
（3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
35．集合元素的三个特征：______、______、______.
36．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断.
【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性.
①中的“著名”没有明确的界限；
②中的研究对象显然符合确定性；
③中“密度大”没有明确的界限.
故选：D.
【点睛】本题考查了对集合概念的理解，属于基础题.
2．A
【解析】根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】①因为个子高没有明确的定义，故“高一个子高的学生”不能构成集合；
②因为难题没有明确的定义，故“《高中数学》（必修）中的所有难题”不能构成集合；
③所有的偶数是确定的，且都不一样，故“所有偶数”可构成集合；
④著名的数学家没有明确的定义，故“全体著名的数学家”不能构成集合.
即能构成集合的只有③.
故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
3．B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可
【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；
对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的确定性，属于基础题
4．D
【分析】对于选项AB：根据整数与实数性质即可判断是否正确；对于选项CD：根据集合的确定性和互异性即可判断是否正确.
【详解】若，则也是整数，故，故A错误；
因为实数集中没有最小的元素，故B错误；
因为“的近似值的全体”不具有确定性，所以“的近似值的全体”不能构成一个集合，故C错误；
根据集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确.
故选：D．
5．A
【分析】根据集合中元素的确定性互异性以及无序性即可判断.
【详解】A：某班年龄较小的同学，其中“较小”标准不确定，即不满足集合中元素的确定性，故不能组成集合；
B：二元一次方程的解符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；
C：我国古代的四大发明包括造纸、火药、印刷术、指南针，符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；
D：平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；
故选：A
6．B
【分析】根据集合元素满足确定性可得出结论.
【详解】由于集合中的元素满足确定性，ACD选项中的对象均满足确定性，而B选项中的对象不满足确定性，
故B选项中的对象不能构成集合.
故选：B.
7．C
【分析】根据集合的定义一一判断即可．
【详解】一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故A正确；
所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故B正确；
某校高一（1）班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故C不正确；
某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，故D正确．
故选：C
8．B
【分析】利用构成集合的元素性质逐一分析各命题即可判断作答.
【详解】对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准，去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能能构成集合；
对于②，方程在实数范围内的解是-4，1，是确定的，“方程的实根”能构成集合；
对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合；
对于④，因，，，即与相同，不符合集合中元素的互异性，“，，”不能能构成集合.
故选：B
9．B
【分析】根据集合的元素特征，逐个判断即可得解.
【详解】根据集合元素的确定性，
易知：B答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合，
而A，C，D项中集合的元素均确定，
故选：B.
10．C
【分析】根据集合的确定性直接得到答案.
【详解】①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合；
③的近似值，不具有确定性，不能构成集合；
④不大于5的自然数时0，1,2,3,4，能构成集合.
故选：C.
11．C
【分析】根据集合的定义可直接确定结果.
【详解】构成集合的元素具有确定性，
选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.
故选：C.
12．D
【分析】根据集合中元素的确定性，即可判断对象能否构成集合.
【详解】解：A中的“较胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都没有一个明确的标准，
不满足元素的确定性，所以A，B，C中的对象均不能构成集合，
显然D中的对象满足元素的确定性，则能构成集合．
故选：D．
13．B
【分析】结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.
【详解】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.
故选：B.
14．B
【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
15．B
【解析】根据集合中元素的三要素判断．
【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：
16．D
【分析】根据集合的定义分析判断即可.
【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
17．B
【分析】根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断.
【详解】“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误.
故选：B
18．B
【分析】根据集合的概念及性质依次判断即可得到答案.
【详解】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.
对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程，，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，
故选：B
19．C
【分析】根据集合元素的特征判断可得；
【详解】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；
故选：C
20．A
【分析】根据集合的知识可选出答案.
【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；
接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；
未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；
地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；
故选：A
21．BD
【分析】根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可
【详解】解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选：BD
22．ACD
【分析】根据集合元素的性质可判断.
【详解】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．
故选：ACD.
23．AC
【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案.
【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；
高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；
正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；
大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.
故选：AC.
24．BC
【分析】根据集合元素的确定性，由每个选项的描述，尝试一一列举，可得答案.
【详解】对于A选项，使得式子有意义的实数为所有不等于0的实数，有无数多个，其构成的集合为无限集，故选项A错误；
对于B选项，方程的负整数解构成的集合为空集，空集是有限集，故选项B正确；
对于C选项，30的质因数为2，3，5，共3个，其构成的集合为有限集，故选项C正确；
对于D选项，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，有无数多个，其构成的集合为无限集，故选项D错误．
故选：BC.
25．AD
【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误.
【详解】若，则－a也是整数，即，故A正确；
因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；
因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.
故选：AD.
26．确定性、互异性、无序性
【分析】根据集合的定义作答．
【详解】一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性．
故答案为：确定性、互异性、无序性．
【点睛】本题考查集合中元素的特性，掌握集合的概念是解题关键．
27．②⑤
【分析】利用集合元素的基本特征判断.
【详解】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；
②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；
③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；
④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；
⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.
故答案为：②⑤
28．④
【解析】根据集合的概念判断即可.
【详解】因为①②③所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而④符合集合的概念.
故答案为：④
【点睛】本题考查集合的概念及判断，属于基础题.
29． 确定性 互异性 无序性
【分析】略
【详解】略
故答案为：确定性，互异性，无序性
30．②
【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案.
【详解】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确，
故答案为：②.
31．①③⑤
【分析】利用集合元素的性质，依次判断即可得解.
【详解】对于①，上海市现有各高中的校名，满足集合元素的性质，构成集合；
对于②，接近的所有实数，接近程度无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合；
对于③，方程在实数范围内的解，构成集合；
对于④，“一些点”，无明确的标准，对于某些点是否在“一些点”中无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合；
对于⑤，所有大于3或小于1的实数，构成集合或
所以能够组成集合的序号是①③⑤
故答案为：①③⑤
32．(1)能；有限集；
(2)能；无限集；
(3)能；有限集.
【分析】根据集合的基本概念即得.
（1）
因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
（2）
因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
（3）
因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
33．（1）;（2）证明见解析.
【分析】根据题意求依次求解即可.
【详解】(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
34． 错误 正确 错误
【详解】（1）接近于0的数不确定是哪些数，对象不确定，所以接近于0的数不能组成一个集合．该结论错误．
（2）两个集合的元素完全相同，所以两个集合是相等的．该结论正确．
（3）一个集合中的元素互异，不能找到两个相同的元素，该结论错误．
35． 确定性 互异性 无序性
【详解】略
36． 研究的对象 一些元素
【分析】略
【详解】略
答案第10页，共10页
答案第9页，共10页