机密 启用前 姓名 准考证号
2023 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)风向卷（二）
2 → 1 → 4 → 3 →
A．7 ＋3 B．5 ＋10
注意事项： 4 → 3 → 3 → 4 →C．7 ＋14 D．14 ＋7
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 6．记一年为 365 天，我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是 1%，一年后的值是
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是 1%，一年后的值是 0.99365.照此计算，若要
在本卷上无效。 使“进步”后的值是“退步”后的值的 10 倍，则大约需经过(参考数据：lg 1.01≈0.004 32，lg 0.99≈
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 －0.004 36)( )
A．100 天 B．108 天 C．115 天 D．124 天
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
所以若要使“进步”后的值是“退步”后的值的 10 倍，则大约需经过 115 天．故选 C．
1．已知全集 U，集合 A，B(A≠B)为其子集，若 B∩( UA)＝ ，则 A∪B＝( )
7．若圆 x2＋y2＝4 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则|AB|的最小值为( )
A． UA B． UB C．A D．B
A．4 B．4 2 C．6 D．8
1
2．复数 z＝ ＋2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
3 1
6
8．已知(x ＋a)(2 2) 的展开式中各项系数的和为 3，则该展开式中常数项为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A．80 B．160 C．240 D．320
3 {a } n S a 2a 7
．设公差不为零的等差数列 n 的前 项和为 n， 4＝ 5，则 ＝( ) 4 ( 7 5 9．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) > 0,| | < 2)的最小正周期为 π，且其图像向左平移6个单位长度
A．4 B．－1 C．1 D．4
后所得图像对应的函数 g(x)为奇函数，则 f(x)的图像( )
5
{2 + 4 ≤ 0, A．关于直线 x＝3对称 B．关于点(12,0)对称 4．若实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 ≥ 0,则目标函数 z＝3x－y 的最大值为( ) 2 + 2 ≤ 0, C．关于直线 x＝－6对称 D．关于点(6,0)对称
12 22
A．2 B． 5 C． 5 D．5
1 1 1
10．已知函数 f(x)＝ (ex＋e－x2 )，记 a＝f(2 )，b＝f(logπ2)，c＝f(π)，则 a，b，c 的大小关系为
→ 3 → → 1 → →
5．在△ABG 中，已知 ＝8 ， ＝3 ，AE 与 BF 交于点 O，则 ＝( ) ( )
第 1 页 共 10 页 ◎ 第 2 页 共 10 页
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
三、解答题(共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
2 2
11．已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F ，F
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答)
1 2，过 F2的直线交双曲线右支
→ → 4 17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 C＝2A．
于 A，B 两点．若 1· 2＝0，且 cos∠F1AF2＝5，则该双曲线的离心率为( )
(1)求证：c＝2acos A；
2 3 5 10A． B．2 C． 2 D． 2 (2)若 A
{ 112．已知函数 f(x) + , ≤ 0,＝ 2 若函数 y＝f(f(x)－a)有四个零点，则实数 a 的取值范围为 2 , > 0.
( )
A．( 1 10, ) B．(1,1 + ) C．(2，e) D．(－1， )
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知递增的等比数列{an}的每一项都是正数，其前 n 项和为 Sn.若 a2＋a4＝30，a1a5＝81，
则 S6＝________．
14．某几何体的三视图如图所示，若网格纸上的小正方形的边长为 1，那么该几何体的表面积
为________．
15．已知命题 p：f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为 R；命题 q：不等式 2x2＋x≥2＋ax 在 x∈(－
∞，－1)上恒成立．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数 a 的取值范围为________．
16．已知抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝
| |
60°，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线，垂足为 D，则| |的最小值为________．
第 3 页 共 10 页 ◎ 第 4 页 共 10 页
18.(本小题满分 12 分)如图，在四边形 PDCB 中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD 19.(本小题满分 12 分)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料
1 5 成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本 y(元)与生产该产品的
＝2.沿 BA 将△PAB 翻折到△SAB 的位置，使得 SD＝ 2 .
数量 x(千件)有关，经统计绘制了散点图，如图．
(1)作出平面 SCD 与平面 SAB 的交线 l，并证明 l⊥平面 CSB；
现用反比例函数模型 y＝a＋ (a＞0，b＞0)和指数函数模型 y＝cedx(c＞6
(2)Q 是棱 SC 上异于 S，C 的一点，连接 QD，当二面角 Q－BD－C 的余弦值为 6 时，求此时 0，d＜0，e 为自然对数的底数)分别对两个变量的关系进行拟合，已
三棱锥 Q－BCD 的体积．
知用指数函数模型拟合的回归方程为 ＝96.54e－0.2x，ln y 与 x 的相关
系数 r1＝－0.94.
(1)用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程．
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(结果精确到 0.01)，并求产量为 10 千件
时每件产品的非原料成本 y 的预测值．
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)，根据市场调研数据，
若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2.若
单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产
品的原料成本为 10 元，根据(2)的结果，判断企业想获得更高的利润，产品单价应选择 100 元
还是 90 元，请说明理由．
第 5 页 共 10 页 ◎ 第 6 页 共 10 页
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－mx2(m∈R)．
2 2
20．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F( 3 (1)若直线 y＝0 是曲线 y＝f(x)的一条切线，求实数 m 的值；
3
，0) e . (2)当 x≥0 时，f(x)≥2x－sin x＋1 恒成立，求实数 m 的取值范围． ，离心率 ＝ 2
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若点 D(1，3)为椭圆外一点，过点 D 作两条斜率之和为 1 的直线，分别交椭圆于 A，B 两点
和 P，Q 两点，线段 AB，PQ 的中点分别为 M，N，试证：直线 MN 过定点．
第 7 页 共 10 页 ◎ 第 8 页 共 10 页
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
计分． 已知函数 f(x)＝|x＋1|.
22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 (1)求不等式 f(x)<|3x－2|－5 的解集 A；
2
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{ = 4 , = 4 (t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x (2)在(1)的条件下，证明：对任意 a，b∈A，都有 f(ab)>f(a)－f(－b)成立．
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ－ρsin θ－2＝0.
(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，求△OMN 的面积．
第 9 页 共 10 页 ◎ 第 10 页 共 10 页【答案】C
机密 启用前 姓名 准考证号
【解析】等差数列的性质、等差数列前 n 项和.在等差数列{an}中，2a5＝a4＋a6，a4＝2a5，故
2023 年普通高等学校招生全国统一考试
a 76＝0.又 2a6＝a5＋a7，所以 a7＝－a5，则 S7＝S4＋a5＋a6＋a7＝S4，故 ＝1.故选 C． 4
数学(理)风向卷（二）
2 + 4 ≤ 0,
4．若实数 x，y 满足约束条件{2 + 1 ≥ 0,则目标函数 z＝3x－y 的最大值为( ) 注意事项： 2 + 2 ≤ 0,
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 12 22A．2 B． 5 C． 5 D．5
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
【答案】A
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
【解析】本题考查线性规划．根据实数 x，y 满足的约束条件作出可行域，如图中阴影部分所
在本卷上无效。
示(含边界)．
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知全集 U，集合 A，B(A≠B)为其子集，若 B∩( UA)＝ ，则 A∪B＝( )
A． UA B． UB C．A D．B
【答案】C
【解析】集合的关系、集合的基本运算. 因为 B∩( UA)＝ 且 A≠B，则有 BAA，所以 A∪B＝
A．故选 C． 将目标函数 z＝3x－y 化为 y＝3x－z，平移直线 y＝3x，可知直线 y＝3x－z 经过点 C 时 z 取得
{ 2 + 2 = 0, (6 8 6 8 最大值．联立 2 + 4 = 0,得 C 5,5).所以 zmax＝5×3－5＝2.故选 A．
1
2．复数 z＝ ＋2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 → 3 → → 1 → →
8．在△ABG 中，已知 ＝8 ， ＝3 ，AE 与 BF 交于点 O，则 ＝( )
【答案】B
1 1
【解析】复数的运算及其几何意义. 因为 z＝ ＋2i＝ －1＋2i＝－i－1＋2i＝－1＋i，所以复
数 z 在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限，故选 B．
2 → 1 → 4 → 3 →
3 7．设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4＝2a5，则 ＝( ) A．7 ＋3 B．4 5 ＋10
7 5
A．4 B．－1 C．1 D．
4 → 3 → 3 → 4 →
4 C．7 ＋14 D．14 ＋7
第 1 页 共 18 页 ◎ 第 2 页 共 18 页
【答案】C 7．若圆 x2＋y2＝4 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则|AB|的最小值为( )
【考点】平面向量的线性运算 A．4 B．4 2 C．6 D．8
【答案】A
【解析】本题考查直线与圆的位置关系．由题意设切线方程为 ＋ ＝1(a≠0 且 b≠0)，即 bx＋ay
|0 + 0 |
－ab＝0.由题可知该圆的圆心为(0，0)，半径为 2，所以圆心到切线的距离 d＝ 2 ＝2，所
【详解】 +
2
2 + 2
E EH BF AG H. 以|a|·|b|＝2 2 + 2≤ (当且仅当|a|＝|b|时取等号)．令 t＝ 2 + 2(t＞0)，则 t2如图，过点 作直线 ∥ 交 于点 2 －4t≥0，解得
→ 3 → 3
因为 ＝ ，所以 ＝ ＝ ， t≥4，所以 t 的最小值为 4.由题意知 t＝|AB|，所以|AB|的最小值为 4.故选 A． 8 5
→ 1 → 【一题多解】由题意设切点坐标为(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，A(x ，0)，B(0，y )，则 x 2 2A B 0 ＋y0 ＝4，
因为 ＝3 ，所以设 AF＝1，
4 4 16( 20 + 20) 8
3 3 切线方程为 xx ＋yy ＝4，得 y ＝ ，x ＝ ，|AB|＝ 2 + 2 ＝ ＝ ，x 2 2
FG 2 0 0 B A 2 2 0
＋y0 ＝
则 ＝ ，所以 FH＝2× 0 0 0 0 | 0 0|8＝4.
1 4 2
因为 EH BF 4≥2|x0y0|(当且仅当|x0|＝|y∥ ，所以 ＝ ＝ ＝ ， 0|＝ 时取等号)，则|AB|≥4.故选 A． 31 + 74
【关键点拨】若在解题过程中涉及直线的横截距和纵截距，则可以设直线的截距式方程
→ → → → → → → →
＋ ＝
4 4 4 4 3
所以 ＝7 ＝7( ＋ )
3
＝7( + 8 )＝7 ＋14 .故选 C． 1(a≠0 且 b≠0)．
【关键点拨】平面向量的线性运算要多考虑结合平面几何中的位置关系和数量关系求解，例
如本题中的三角形相似比． 3 ( 1 68．已知(x ＋a) 2 2) 的展开式中各项系数的和为 3，则该展开式中常数项为( )
A．80 B．160 C．240 D．320
6．记一年为 365 天，我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是 1%，一年后的值是
【答案】D
1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是 1%，一年后的值是 0.99365.照此计算，若要
1 66
使“进步”后的值是“退步”后的值的 10 倍，则大约需经过(参考数据：lg 1.01≈0.004 32，lg 0.99≈ 【解析】本题考查二项式定理．令 x＝1，得(1＋a)(2－1) ＝3，解得 a＝2.已知(2 2) 展开式
－0.004 36)( ) 1 1 6 的通项 Tr＋1＝C r 6－r r 6－r r 6－3r 36 (2x) ·( 2) ＝(－1) 2 C6 x ，则(x ＋2)(2 2) 展开式中常数项为 2×(－
A．100 天 B．108 天 C．115 天 D．124 天
1)2×26－2×C 2＋(－1)36 ×26－3×C 36 ＝320.故选 D．
【答案】C
【解析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的换底公式．设大约需经过 x 天“进步”后的值
9．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)( > 0,| | < 2)的最小正周期为 π，且其图像向左平移6个单位长度
x x 1.01
1.01 1.01 10
是“退步”后的值的 10 倍，则 1.01 ＝10×0.99 ，即0.99 ＝10，(0.99) ＝10，所以 x＝log0.9910＝ 1.01 0.99 后所得图像对应的函数 g(x)为奇函数，则 f(x)的图像( )
1 1 1 5
＝ 1.01＝ 1.01 0.99≈0.00432 + 0.00436≈115(天)． A．关于直线 x＝3对称 B．关于点( 12,0)对称 0.99
所以若要使“进步”后的值是“退步”后的值的 10 倍，则大约需经过 115 天．故选 C． C．关于直线 x＝－6对称 D．关于点(6,0)对称
【答案】D
第 3 页 共 18 页 ◎ 第 4 页 共 18 页
2 10
【解析】本题考查三角函数的图像与性质．由函数 f(x)的最小正周期 T＝π 可得 T＝ ＝π，则 解得离心率 e＝ 2 .故选 D．
ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x φ) g(x) 2sin[2( + ) φ] → →＋ ，将其图像向左平移 46个单位长度可得 ＝ 6 ＋ ＝ 【关键点拨】设|AF1|＝m，根据 1· 2＝0，且 cos∠F1AF2＝5，结合双曲线的定义求得 m＝
( ) 2sin 2 + 3 + 的图像．若要使函数 g(x)为奇函数，则3＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<2，所以 φ＝－3 5a，然后在 Rt△BF1F2中利用勾股定理得出关于 a 与 c 的关系式后即可得解．
1 5
，所以 f(x)＝2sin(2x－ )．函数 f(x)图像的对称轴方程为 2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，即 x＝ ＋ ， 12 f(x) { + , ≤ 0,3 3 2 12 2 ．已知函数 ＝ 2 若函数 y＝f(f(x)－a)有四个零点，则实数 a 的取值范围为 2 , > 0.
k∈Z，可得 A，C 选项错误．由函数 f(x)图像的对称中心的性质得 2x－3＝kπ，k∈Z，即对称中 ( )
心的横坐标为 x＝ 1 12 ＋6，k∈Z，可得 D 选项正确，B 选项错误．故选 D． A．(0, ) B．(1,1 + ) C．(2，e) D．(－1， )
【快解】求出 f(x)＝2sin(2 3)后，可以直接带入选项中的答案验证．当 x＝6时，f(x)＝0，所 【答案】B 【解析】本题考查分段函数求零点问题．
以 f(x)的图像关于点( ) 16,0 对称．故选 D． + , ≤ 0,已知函数 f(x)＝{ 2 2 , > 0.
1 2 2
10．已知函数 f(x)＝ (ex x
1 1 当 x>0 时，f(x)＝x －2x＝(x－1) －1，最小值为－1.
2 ＋e－ )，记 a＝f(2 )，b＝f(logπ2)，c＝f(π)，则 a，b，c 的大小关系为
当 x≤0 时，f ′(x)＝(x＋1)ex，令 f ′(x)＝0，解得 x＝－1.
( )
当 x＜－1 时，f ′(x)＜0，当－1＜x＜0 时，f ′(x)＞0.
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
1 1
C 所以 f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且 f(0)＝ ，当 x→－∞时，f(x)→ .【答案】
【解析】本题考查函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性再比较函数值的大小．因为 f(x) 综上，作出函数 f(x)的大致图像，如图．
1 1
的定义域为 R，且 f(－x)＝2(e－x＋ex)＝f(x)，所以 f(x)在 R 上为偶函数．当 x>0 时，f ′(x)＝2(ex
－e－x
1 1
)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则 b＝f(logπ2)＝f(logπ2)．所以 0b 2 2 由图可知，函数 f(x)有两个零点，即 x＝－1 和 x＝2，(*)
11．已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交双曲线右支
由(*)式可知，f(x)－a＝－1 或 f(x)－a＝2，即 f(x)＝a－1 或 f(x)＝a＋2 时满足题意．根据题
→ → 4
于 A，B 两点．若 1· 2＝0，且 cos∠F1AF2＝5，则该双曲线的离心率为( ) 意，这两个方程共有四个根，即函数 f(x)的图像与直线 y＝a－1 和直线 y＝a＋2 共有四个交
2 3 5 10A． B．2 C． 2 D． 2 点．结合 f(x)的图像可知，当 a－1∈(－1，0]时，a＋2∈(2，3]，此时函数 f(x)的图像与直线 y＝
→ 1 1
【答案】D 【解析】本题考查双曲线的定义及离心率的相关计算．设|AF1|＝m，因为 1· a－1 和 y＝a＋2 有三个交点，即方程有三个根；当 a－1∈(0, )时，a＋2∈(3, + 3)，此时函数
→ 4 3 3 4 1
2＝0，且 cos∠F1AF2＝5，所以在 Rt△ABF1中，sin∠F1AF2＝5，|BF1|＝5m，|AB|＝5m.由双曲 f(x)的图像与直线 y＝a－1 和 y＝a＋2 有四个交点，即方程有四个根，此时 a∈(1, + 1)；同理，
3 3 4
线的定义得|BF2|＝5m－2a，|AF2|＝m－2a.因为|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以有 m－2a＋5m－2a＝
1 1
5 当 a－1∈( , + ∞)时，方程有两个根．综上，a∈(1,1 + )满足题意．故选 B．
2 2 2 2 2 2 2 2
2
m，解得 m＝5a.所以在 Rt△BF1F2中，|BF1| ＋|BF2| ＝|F1F2| ，即 9a ＋a ＝4c ，所以 a ＝ 5 ， 【关键点拨】对于函数零点的判定，通常可以采用数形结合的方法，结合函数图像得出零点
第 5 页 共 18 页 ◎ 第 6 页 共 18 页
个数．对于复合函数，如 y＝f(f(x))这类函数问题，可以采用换元法，由里到外一层一层分
析．
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知递增的等比数列{an}的每一项都是正数，其前 n 项和为 Sn.若 a2＋a4＝30，a1a5＝81，
则 S6＝________． 15．已知命题 p：f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为 R；命题 q：不等式 2x2＋x≥2＋ax 在 x∈(－
【答案】364 ∞，－1)上恒成立．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数 a 的取值范围为________．
【解析】本题考查等比数列的通项公式，求和公式．
【答案】[1，2]
设等比数列{an}的公比为 q，由 a1a5＝81，得 a2a4＝81，
【解析】本题考查真假命题的判断．若 p 为真命题，则{16 4 2 < 0, > 0, 解得 a>2；若 q 为真命题，{ 2 4 = 81, { 2 = 3, 2 = 27,联立 解得 或 2 + 4 = 30, 4 = 27 { 4 = 3. 2 2 2
则 a≥2x－ ＋1 在 x∈(－∞，－1)上恒成立．令 y＝2x－ ＋1，x＜－1，可知 y′＝2＋ 2＞0，则 y
{a } { 2 = 3, 1 = 3,因为 n 为递增数列，所以 4 = 27,即{ 3 = 27, 21 ＝2x－ ＋1 在(－∞，－1)上单调递增，∴当 x 趋近于－1 时，y 趋近于 1，∴a≥1.若 p∨q 为真命
1(1 6) 1 36
解得 q2＝9.又因为等比数列{an}的每一项都是正数，所以 q＝3，a1＝1，所以 S6＝ 1 ＝ 1 3 题，p∧q p q p q
> 2,
为假命题，则 ， 一真一假．若 为真命题 为假命题，则{ < 1,解集为 ；若 p 为
＝364. q ≤ 2,假命题 为真命题，则{ ≥ 1,解得 1≤a≤2.综上，实数 a 的取值范围为[1，2]．
14．某几何体的三视图如图所示，若网格纸上的小正方形的边长为 1，那么该几何体的表面积
16．已知抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，
为________． | |
过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线，垂足为 D，则| |的最小值为________．
【答案】1
【解析】本题考查抛物线的定义及利用基本不等式求最值．
设|AF|＝a，|BF|＝b，过点 A，作 AQ 垂直于准线，垂足为 Q，过点 B，作 BP 垂直于准线，垂
足为 P，如图．由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形 ABPQ 中，有 2|CD|＝|AQ|＋
【答案】9 2＋18 |BP|＝a＋b.
【解析】本题考查空间几何体的三视图及表面积．根据题中三视图还原几何体如图所示，该 在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－
几何体是一个底面为正方形的四棱锥 P－ABCD，将其补形成一个正方体．易知 PB⊥平面 3ab.
2
ABCD，BC⊥平面 PAB，则△PAD，△PCD，△PBC，△PAB 均为直角三角形，故 S + 3 1 1表面积＝ ∵ab≤( 2 ) ，∴(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－4(a＋b)2＝ 24(a＋b) ，即|AB|≥2(a＋b)＝|CD|，当且仅当 a＝
1
S△PAD＋S△PCD＋S△PBC＋S△PAB＋S 正方形 ABCD＝2×(3×3 2＋3×3 2＋3×3＋3×3)＋3×3＝9 2＋18. b 时，等号成立．
| | | |
∴| |≥1，即| |的最小值为 1.
第 7 页 共 18 页 ◎ 第 8 页 共 18 页
三棱锥 Q－BCD 的体积．
三、解答题(共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 【考点】线面垂直的判定，空间向量法求二面角的余弦值，三棱锥的体积
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答) 【答案】(1)【证明】如图，延长 BA，CD 交于 E，连接 SE，则 SE 为平面 SCD 与平面 SAB 的
17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 C＝2A． 交线 l.
(1)求证：c＝2acos A； 1 5证明过程如下：在△SAD 中，SA＝1，AD＝ ，SD＝ 2 2 22 2 ，则 SA ＋AD ＝SD ，所以 SA⊥AD．
(2)若 A又 AD⊥AB，SA∩AB＝A，SA，AB 平面 SAB，所以 AD⊥平面 SAB．
因为 BC∥AD，所以 BC⊥平面 SAB，又 SE 平面 SAB，所以 BC⊥SE.
【答案】利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式 1
由 PD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，得 AE＝1.
(1)【证明】因为 C＝2A，由正弦定理得sin ＝sin ＝2sin cos ，又 sin A≠0，所以 c＝2acos A．
所以 AE＝AB＝SA，所以 SE⊥SB．
2 + 2 2 100 + 2 2 100 + 2 2
(2)【解】由(1)得 cos A＝2 ，由余弦定理得 cos A＝ 2 ＝ 20 ，所以2 ＝ 20 ，即 又 BC∩SB＝B，BC，SB 平面 CSB，所以 SE⊥平面 CSB，即 l⊥平面 CSB．
(10－a)c2－100a＋a3＝0，①
将 a＋c＝20，c＝20－a 代入①，得(10－a)(20－a)2－100a＋a3＝0，即(10－a)(8－a)＝0，解得
a＝8 或 a＝10.
因为 B>A，所以 b>a，所以 a＝10 舍去，所以 a＝8，c＝20－8＝12.
12 3
从而 cos A＝2 ＝2 × 8＝4>0，可知 02，
(2)【解】由(1)知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA．
3 2 7
所以 sin A＝ 1 cos2 ＝ 1 (4) ＝ 4 . 以 A 为坐标原点，AD，AB，AS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如
1 1 7
所以△ABC 的面积 S△ABC＝2bcsin A＝2×10×12× 4 ＝15 7. 图所示．
1 → 1易得 A(0，0，0)，D(2,0,0)，B(0，1，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，则 ＝(2, 1,0).
18.(本小题满分 12 分)如图，在四边形 PDCB 中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD → → →
设 ＝λ (0<λ<1)，则 Q(λ，λ，1－λ)， ＝(λ，λ－1，1－λ)．
1 5
＝2.沿 BA 将△PAB 翻折到△SAB 的位置，使得 SD＝ 2 . 设 n＝(x，y，z)是平面 QBD 的法向量，
(1) →作出平面 SCD 与平面 SAB 的交线 l，并证明 l⊥平面 CSB； { · = 0,则 → 即{ + ( 1) + (1 ) = 0,1 1 3 = 0, 令 x＝2，则 n＝(2,1,2 1 ). 6
(2)Q 是棱 SC 上异于 S，C 的一点，连接 QD，当二面角 Q－BD－C 的余弦值为 时，求此时 · = 0,6
第 9 页 共 18 页 ◎ 第 10 页 共 18 页
→
易知 ＝(0，0，1)是平面 CBD 的一个法向量． 单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产
→ |1 3 → | 品的原料成本为 10 元，根据(2)的结果，判断企业想获得更高的利润，产品单价应选择 100 元| · | 1 6 1
由|cos〈n， 〉|＝ → ＝ 2＝ 6 ，所以 λ＝2，所以 Q 是棱 SC 的中点．
| || | (1 3 5 + ) 还是 90 元，请说明理由． 1
1 1 3 1 1 1 3 1
易知四边形 ABCD 为直角梯形，其面积为2×(2 + 1)×1＝4，S△ABD＝2×1×2＝4，所以 S△BCD＝4－4
1 1 1 1 1 1 1 1
＝2，所以 VQ－BCD＝3S△BCD×2SA＝3×2×2＝12，即三棱锥 Q－BCD 的体积为12.
【方法速记】利用向量法求解空间二面角的相关问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，
构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法
向量关”，分别求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”，根据所求问题进一步利用公式求
解．
19.(本小题满分 12 分)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组
成．每件产品的非原料成本 y(元)与生产该产品的数量 x(千件)有关，经统计绘制了散点图，如
【答案】【解】本题考查非线性回归方程的综合应用．
图．
现用反比例函数模型 y＝a＋ (a＞0，b＞0)和指数函数模型 y＝cedx(c＞0，d＜0，e 为自然对数
的底数)分别对两个变量的关系进行拟合，已知用指数函数模型拟合的回归方程为 ＝96.54e－
0.2x，ln y 与 x 的相关系数 r1＝－0.94.
(1)用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程．
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(结果精确到 0.01)，并求产量为 10 千件
时每件产品的非原料成本 y 的预测值．
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)，根据市场调研数据，
若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2.若
第 11 页 共 18 页 ◎ 第 12 页 共 18 页
100 100
当签订订单为 11 千件时，每件产品的成本为 11 ＋21 元，企业的利润为 11×(90 11 21)＝
659(千元)．
该企业利润 Y(千元)的分布列为
Y 590 659
P 0.3 0.7
所以 E(Y)＝590×0.3＋659×0.7＝638.3(千元)．
综上，企业想获得更高利润，产品单价应选择 90 元．
2 2
20．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F( 3
3
，0)，离心率 e＝ 2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若点 D(1，3)为椭圆外一点，过点 D 作两条斜率之和为 1 的直线，分别交椭圆于 A，B 两点
和 P，Q 两点，线段 AB，PQ 的中点分别为 M，N，试证：直线 MN 过定点．
【思路导引】
(2)设直线 的方程为 = + →[ 直线 的方程与椭圆方程联立直线 , 的斜率分别为 1, 2 直线 的方程与直线 的方程联立]→关于 k1，k2的一元二次方
程 1 + 2 = 1――→m 和 k 的关系→直线 MN→直线 MN 所过定点
(3)①若产品单价为 100 元，记企业利润为 X(千元)．
100 ( 100 ) 【考点】求椭圆方程、直线和椭圆的位置关系、直线过定点问题 当签订订单为 9 千件时，每件产品的成本为 9 ＋21 元，企业的利润为 9× 100 9 21 ＝
【答案】
611(千元)； 3 3
(1)【解】因为椭圆的右焦点为 F( 3，0)，离心率 e＝ 2 ，所以 c＝ 3， ＝ 2 ，解得 a＝2，又
当签订订单为 10 千件时，每件产品的成本为 31 元，企业的利润为 10×(100－31)＝690(千
2
a2
) ＝b
2＋c2，所以 b＝1.所以椭圆 C 的方程为 ＋y24 ＝1. 元 ．
该企业利润 X(千元)的分布列为 (2)【证明】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线 MN 的斜率存在且不为 0，设直线 MN 的方
X 611 690 程为 y＝kx＋m，直线 AB，PQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1≠k，k2≠k，k1＋k2＝1，直线 AB 的方
P 0.8 0.2 程为 y－3＝k1(x－1)．
所以 E(X)＝611×0.8＋690×0.2＝626.8(千元)． 3 = 1( 1),
联立{ 2 2 2 2 2+ 2 = 1, 得(1＋4k1 )x ＋(24k1－8k1 )x＋4k1 －24k1＋32＝0，Δ>0，
② 90 Y( ) 4若产品单价为 元，记企业利润为 千元 ．
8 2 2
10 1
24 1 1 + 2 4 1 12 1
当签订订单为 千件时，每件产品的成本为 31 元，企业的利润为 10×(90－31)＝590(千元)； 故 x1＋x2＝ 1 + 4 2 ，xM＝ 2 ＝1 1 + 4 2 . 1
第 13 页 共 18 页 ◎ 第 14 页 共 18 页
{ 3 = 1( 1), 1 + 3联立 得 x 又因为 g′(0)＝0，所以当 04 2 12 + 3 g(x)在(0，x0)上单调递减，所以当 x∈(0，x
x 2
0)时，g(x)1 1 1
所以 21 + 4 2 ＝1 1
，整理得(4m＋4k)k1 ＋(1－12k)k1＋m－3＝0， x－1≥0 恒成立，不符合题意，故舍去．
同理有(4m＋4k)k 22 ＋(1－12k)k2＋m－3＝0， 1综上所述，实数 m 的取值范围为( ∞,2].
所以 k1，k2是方程(4m＋4k)x2＋(1－12k)x＋m－3＝0 的两根，
1 12 1 12 1
则 k1＋k2＝－4 + 4 ，即 1＝－4 + 4 ，所以 m＝2k－4， (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
1 1
所以直线 MN 的方程为 y＝kx＋2k－4＝k(x＋2)－4， 计分．
1
故直线 MN 过定点( 2, 4). 22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{ = 4 2, = 4 (t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－mx2(m∈R)．
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ－ρsin θ－2＝0.
(1)若直线 y＝0 是曲线 y＝f(x)的一条切线，求实数 m 的值； (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(2)当 x≥0 时，f(x)≥2x－sin x＋1 恒成立，求实数 m 的取值范围． (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，求△OMN 的面积．
【答案】【解】本题考查导数的几何意义，不等式恒成立求参数范围．
【答案】【解】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
(1)根据题意，设切点坐标为(x ，0)，由 f(x)＝ex－mx20 可得 f ′(x)＝ex－2mx，切线的斜率 k＝
(1)由{ = 4 2,(t 为参数)，消去参数 t，可得曲线 C 的普通方程为 y2＝4x.将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ
f ′(x0)＝ex0－2mx 0.
= 4
0＝ 又因为切点(x0，0)在曲线 y＝f(x)上，所以 f(x0)＝ex0－mx 20 ＝0，由
{ 0 2 0 = 0, 2 2 代入 2ρcos θ－ρsin θ－2＝0， 2 = 0, 可得 x0＝2，m＝ 4，所以实数 m 的值为 4 . 0 0 得 2x－y－2＝0，即直线 l 的直角坐标方程为 2x－y－2＝0.
(2)当 x≥0 时，有 f(x)≥2x－sin x＋1，则 ex－mx2－2x＋sin x－1≥0 对 x≥0 恒成立．令 g(x)＝ex－ 5 = 1 + 5 ,
mx2－2x＋sin x－1(x≥0) (2)由(1)知直线 l 的参数方程为 (m 为参数)， ，只需 g(x) 2 5min≥0. { = 5
对 g(x)求导得 g′(x)＝ex－2mx－2＋cos x，令 h(x)＝g′(x)(x≥0)，则 h′(x)＝ex－2m－sin x.
2 5 22 5
令 t(x)＝h′(x)，x≥0，则 t′(x)＝ex－cos x≥0 代入抛物线 y ＝4x，得( 5 ) ＝4(1 + 5 )， ，
所以 t(x)即 h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，则 h′(x)＝t(x)≥t(0)＝1－2m. 整理得 m2－ 5m－5＝0.
1
当 1－2m≥0，即 m≤2时，h′(x)≥h′(0)≥0，所以 h(x)即 g′(x)
5
在[0，＋∞)上单调递增，所以 g′(x)＝ 设点 M，N 对应的参数分别为 m1，m2，则 m1＋m2＝ ，m1m2＝－5，
2 2
h(x)≥h(0) 0 g(x) [0 ∞) g(x) ∴|MN|＝|m1－m2|＝ ( 1 + 2) 4 1 2＝ ( 5) + 4 × 5＝5， ＝ ，可得 在 ，＋ 上单调递增，所以 min＝g(0)＝0 符合题意．
5
1 | 2| 2
当 1－2m<0，即 m>2时，h′(0)＝1－2m<0，
原点 O 到直线 l 的距离 d＝ 2 2＝ ， 2 + ( 1) 5
1 1 2 5
因为 h′(x)＝ex－2m－sin x 在[0，＋∞)上单调递增，所以存在 x0∈(0，＋∞)使得 h′(x0)＝0.当 ∴△OMN 的面积 S△OMN＝2|MN|·d＝2×5× 5 ＝ 5.
0x0时，h′(x)>0.所以 h(x)即 g′(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上
单调递增． 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
第 15 页 共 18 页 ◎ 第 16 页 共 18 页
已知函数 f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式 f(x)<|3x－2|－5 的解集 A；
(2)在(1)的条件下，证明：对任意 a，b∈A，都有 f(ab)>f(a)－f(－b)成立．
【答案】本题考查绝对值不等式．
(1)【解】依题意，不等式 f(x)<|3x－2|－5，
即|x＋1|－|3x－2|＋5<0.
当 x<－1 时，原式＝－(x＋1)＋(3x－2)＋5<0，
解得 x<－1，则 x<－1；
2
当－1≤x≤3时，原式＝(x＋1)＋(3x－2)＋5<0，
解得 x<－1，此时原不等式无解；
2
当 x>3时，原式＝(x＋1)－(3x－2)＋5<0，解得 x>4，则 x>4.
综上，不等式 f(x)<|3x－2|－5 的解集 A＝{x|x＜－1 或 x＞4}．
(2)【证明】已知 f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|＝|a＋1|－|1－b|≤|a＋b|(当且仅当(a＋b)(1－b)≥0
时取等号)，
[f(ab)]2－(a＋b)2＝(ab＋1)2－(a＋b)2＝a2b2＋1－a2－b2＝(a2－1)(b2－1)，
因为 a，b∈A，所以 a2>1 且 b2>1，即(a2－1)(b2－1)>0，
所以[f(ab)]2－(a＋b)2>0，即[f(ab)]2＞(a＋b)2.
而 f(ab)＝|ab＋1|>0，所以 f(ab)>|a＋b|≥f(a)－f(－b)，
所以对任意 a，b∈A，都有 f(ab)>f(a)－f(－b)成立
第 17 页 共 18 页 ◎ 第 18 页 共 18 页