安徽省定远县重点中学2022-2023学年高考冲刺数学试卷（三)（含解析）

2022-2023学年高考冲刺数学试卷（三）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3. 函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4. 新高考数学中的不定项选择题有个不同选项，其错误选项可能有个、个或个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的个不同选项的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
6. 已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知，，且，，则( )
A. B. C. D. 或
8. 已知，，为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某市年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是( )
A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加
B. 招商引资后，转移净收入是前一年的倍
C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10. 已知圆：，直线：，下列结论正确的是( )
A. 直线恒过点
B. 若直线平分圆，则
C. 圆心到直线的距离的取值范围为
D. 若直线与圆交于点，，则面积的最大值为
11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”
解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是( )
A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D. 若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为
12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则( )
A. 以线段为直径的圆与直线相切
B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 的展开式中含项的系数为______ ．
14. 中国古代经典数学著作孙子算经记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，问物几何？”现将到共个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为______ ．
15. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于，两点若，则的离心率为 ．
16. 已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列满足对任意，都有，数列是等比数列，且，，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，是边上的点，．
求；
若，求的面积．
19. 本小题分
国学小组有编号为，，，，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：
按编号由小到大的顺序依次进行，第号同学开始第轮比赛，先答第一题；
若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继续比赛；
若第号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；
若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
若把比赛规则改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答令随机变量表示名同学在第轮比赛结束．
求随机变量的分布列；
证明：随增大而增大，且小于．
20. 本小题分
如图，点是正四棱锥的底面中心，四边形是矩形，．
求点到平面的距离；
设为棱上的点，且，若直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值．
21. 本小题分
，分别是椭圆的左、右焦点，，是上一点，与轴垂直，且
求的方程；
设，，，是椭圆上的四点，与相交于，且，求四边形的面积的最小值．
22. 本小题分
已知函数．
若，讨论函数的单调性；
设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】解：根据题意，集合，，
则．
故选：．
2.
【解析】解：复数，
则的共轭复数为．
故选：．
3.
【解析】解：与均单调递减，
，
，
，
函数与均单调递减的一个充分不必要条件是．
故选：．
4.
【解析】解：当错误选项恰有个时，个选项进行排列有种；
当错误选项恰有个时，先排个正确选项，再将个错误选项插入到个空位中，有种．
故共有种．
故选：．
5.
【解析】解：，，，，
则，即，解得，，
故．
故选：．
6.
【解析】解：实数，满足，
，当且仅当时，等号成立．
故选：．
7.
【解析】因为，，
所以，则，
因为，，所以，
又因为，所以，
所以，
所以
．故选：．
8.
【解析】对两边取对数，
可得，
又在上单调递增，，
法一：令，，
在单调递减，
，即，；
法二：；
又，
，．
故选：．
9.
【解析】设招商引资前经济收入为，则招商引资后经济收入为，
对于，招商引资前工资性收入为，招商引资后工资性收入为，
因为，所以招商引资后，工资性收入较前一年增加了，故A正确；
对于，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，
因为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占，
所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入的，故C错误；
对于，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，
所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．故选：．
10.
【解析】由直线：，得，得直线过定点，故A正确；
圆化为标准方程得，圆心，
直线平分圆，直线过圆心，，解得，故B错误；
圆心到直线的距离的最大值为，最小值为，
直线不能表示表示，圆心到直线不能为，故圆心到直线的距离的取值范围为，故C错误；
设圆心到直线的距离为，的面积为，
当且仅当，即时取等号，故D正确．故选：．
11.
【解析】对于，当直四棱柱的底面不为正方形时，
其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；
对于，若，则菱形为正方形，
平面，，平面，
，，
直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；
对于，在四面体中，，，
，
四面体在点上的离散曲率为，
解得，由题意知，，，
直四棱柱为正方体，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，，
同理，，
，，平面，
平面，故C正确；
对于，直四棱柱在顶点处的离散曲率为，
则，是等边三角形，
设，则是与平面的所成角，
，故D错误．故选：．
12.
【解析】由抛物线的方程为，
则该抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，
不妨设直线的方程为，
联立，
消可得，
设，，
则，，
对于选项A，分别过、、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、、，
由抛物线的定义可得，
又，
则，
即以线段为直径的圆与直线相切，
即选项A正确；
对于选项C，由，
过作，
不妨设，
则，
则，，
则，
即直线的倾斜角为，
则直线的方程为，
即，
则，
则，
即选项C正确；
对于选项B，当直线的方程为时，
由选项C可得，，
则线段的中点坐标为，
又，
又线段的中点坐标到轴的距离小于，
即以线段为直径的圆与轴相交，
即选项B错误；
对于选项D，
由选项A可得，
当且仅当时取等号，
即的最小值为，
即选项D正确，
故选：．
13.
【解析】解：的展开式中含项的系数为．
故答案为：．
14.
【解析】解：三三数之剩二的数为：，，，，，，，，，；
五五数之剩三的数为：，，，，，，，
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是，最大为，
数列最大项和最小项之和为．
故答案为：．
15.
【解析】由题可知，
双曲线的渐近线的方程为，可取直线方程为，
方程是，
联立，可得，
同理可得
所以，
又，
所以，解得，
所以
故答案为．
16.
【解析】与在上都单调递增，
在上单调递增，
在区间上有零点，
，，
，
实数的取值范围为．
故答案为：．
17.解：有，
，
数列是公差，首项的等差数列，
．
为等比数列，且，，，
，，，
，，
，；
由得，
，
，
，得，
．
18.解：在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
，，
由得，
，
，解得，
，
或，
当时，不满足，不合题意，舍去；
当时，满足题意，
故；
由得，，
在中，，
，即，
是等腰三角形，
过点作于点，如图所示：
，
，即的面积为．
19.解：Ⅰ由题设，可取值为，，，
，
因此的分布列为：


Ⅱ可取值为，，，，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时，
故的分布列为：


证明：由知：，
，故E单调递增；
由上得，故E，
，
故E．
20.解：点是正四棱锥的底面中心，
所以平面，又四边形矩形，
所以，所以平面，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又，
所以到平面的距离；
因为，所以，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
，解得或．
21.解：由于，且则，，
又，得．
又，则，于是，故E的方程为．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，，，则直线的方程为，
联立及得，
所以，．．
由于直线的斜率为，用代换上式中的可得．
，四边形的面积为．
由，
所以，当时，即时取等号．
当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积，
综上可得，四边形面积的最小值为．
22.解：函数的定义域是，，
当时，由，得或，
由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
至少存在一个，使得成立，
即当时，有解，
当时，，
有解，
令，则，
，
在上单调递减，，
，即，
实数的取值范围．
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