四川省达州市渠县2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文） 试题（含答案）

达州市渠县2022-2023学年高二下学期期中考试
(文数）
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判．若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是（ ）
A．1号教师 B．32号教师 C．56号教师 D．73号教师
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B． C． D．
5．若命题，命题，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，则（ ）
A． B． C．7 D．8
7．研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是（ ）
A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强
B．用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．在线性回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位
D．线性回归直线至少经过点中的一个
8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
10．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面 B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
12．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知函数，则________．
14．已知复数为虚数单位，则__________．
15．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
16．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
三、解答题
17.（10分）的内角的对边分别为，若，求：
(1)的值；
(2)和的面积．
18．为了解学生每天的运动情况，随机抽取了100名学生进行调查，右图是根据调查结果绘制的学生每天运动时间的频率分布直方图，并将每天运动时间不低于40分钟的学生称为“运动达人”．
(1)根据题意完成下面的列联表：
非运动达人 运动达人 合计
男
女 10 55
合计
(2)能否有的把握认为“运动达人”与性别有关？
独立性检验临界值表：
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
参考公式及数据：，其中．
19．已知等差数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
21．已知椭圆的长轴长为4，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.
22．已知函数.
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）讨论在上的单调性；
（3）证明：在（1）的条件下.
参考答案：
1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．A 10．D
【分析】求出导函数，由于函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可．
【详解】，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，
，
而在区间上单调递减，
，
的取值范围是：，
故选：D．
11．C
【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.
【详解】在正方体中，取棱中点，连接，
因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.
故选：C
12．B
【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断.
【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．
由，得或．
因为，所以，
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为，，当时，，当时，，
所以可画出的大致图象：
由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误.故选：B.
13． 14．0.98 15． 16．
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
17.．(1)
(2)，三角形面积为
【详解】（1）由余弦定理得：，解得．
（2）由，则，
由正弦定理得，又，则，
．
18．(1)答案见解析；
(2)有的把握认为“运动达人”与性别有关；
【分析】（1）由频率直方图计算出运动达人与非运动达人的人数，然后补充表格；（2）计算卡方，对照独立性检验临界值分析判断.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，每天运动时间低于40分钟的学生人数为
人，不低于40分钟的学生人数为人，
所以列联表为：
非运动达人 运动达人 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
（2）由（1）知，
所以有的把握认为“运动达人”与性别有关.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）设公差为，由，，得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
故数列的前项和为.
20．(1)见解析；
(2).
【分析】（1）要证平面，只要证明平明于平面内一条直线即可；
（2）根据平面关系进行转化可得，代入数值即可得解.
【详解】（1）
取中点，连接，
由分别为棱中点，
所以，且，
又且，
所以且，
所以为平行四边形，
所以，
又平面且平面，
所以平面.
（2）由平面可得，
又，，
所以，由，
所以平面，
又，所以平面，
由平面可得，
由（1）知平面可得
.
21．（1） （2）
【解析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；
（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.
【详解】（1）解：由题意得 ，
又点在上，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得.
，所以
，，
，
∵，所以，则，
所以.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.
22．（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据极值的性质求出实数的值，再根据极值的定义进行验证即可；
（2）根据分类讨论法，结合导函数的正负性进行求解即可.
（3）构造新函数，利用导数的性质通过数学运算证明即可.
【详解】（1）解：因为，
在处取得极值，则，
所以，解得，
当时，，当时，单调递减，当时，
单调递增，所以是函数的极值，因此；
（2）解：，
当时，在上，恒成立，单调递减；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：由（1）知，则，
令，，在上单调递增，
当时，，当时，，
则，使，即，
则当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
令，，所以单调递减，
所以，
所以，
所以，得证.