江西省抚州市黎川县2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

黎川县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：
2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
3．已知 ， 则 （ ）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044
4．已知数列为单调递增数列，且，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则的最大值为
A． B． C． D．无法确定
6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程，曾经经历过的两仪数量总和，是中国数学史上第一道数列题.其前项依次是…，则此数列的第项为 (　　)
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙、丁四名志愿者去，，三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．81种
8．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．正方体的棱长为2，E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，则（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为9π
10．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当且仅当时，取得最大值 D．当时，n的最大值为20
11．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．
12．函数，下列说法正确的有（ ）
A．最小值为
B．
C．当时，方程无实根
D．当时，若的两根为，则
三、填空题（共20分）
13．数列中，，，则___________.
14．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______
15．已知数列中，，，则通项公式______.
16．若函数与的图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.
四、解答题（共70分）
17．已知点，求：
（1）直线的方程；
（2）以线段为直径的圆的方程.
18．课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.
(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；
(2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望.
19．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱DC和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
20．设正项等比数列且的等差中项为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．
21．如图，已知抛物线E：（）与圆O：相交于A，B两点，且.过劣弧上的动点作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线，，相交于点M.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求点M到直线距离的最大值.
22．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）是否存在非负整数，使得函数是单调函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知，若存在，使得当时，的最小值是，求实数的取值范围.（注：自然对数的底数）
1．B
∵，∴
∴，
∴曲线在处的切线的倾斜角是，
故选：B
2．D
解：由图可知，当时，，当，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数有极小值和极大值.
故选：D.
3．D
解：，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
4．D
因为数列为单调递增数列，所以对一切正整数n恒成立，
因为为增函数，所以，则.
故选：D
5．B
解：由题意，数列不是常数列.
由，，是等差数列中的三项，
得，即，
得.
由，，是公比为的等比数列中的三项，
得，
则，要使最大，则最小，
由，得，(舍)；
，；，；，；…；
由上可知，当与均增加时，由于的系数小于的系数，则要使等式成立，比增加要快.
的最小值为.
则的最大值为.
故选：B.
6．B
前项依次是
偶数项分别为2,8,18,32,50…
相邻两项的差为6,10,14,18，是首项为6公差为4的等差数列
依次写出后面偶数项：
2，8，18，32，50，72，98，128，162，200
故第10个偶数项为200，即第20项为200
故答案选B
7．B
利用捆绑法将四人分为三组：种，再全排列种，故有种不同的安排方式.
故选：.
8．A
由题意，知，令，，则，
所以在上单调递增，易知，
所以当时，；当时，.
令，
则对任意的，不等式恒成立，
等价于当时，，当时，.
当时，，则函数在上单调递增，
所以是的零点，即，
即，即.
构造函数，则，函数在上单调递增，
由，得，所以，即.
令，则，函数在上单调递增，
易知，故.
故选：A.
9．BCD
如图，设M为AA1的中点，则，
由题意，得，，
所以EM与BE不垂直，即与BE不垂直，
所以直线与平面BEF不垂直，所以A错误；
因为E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，
所以，又平面，平面，平面， 平面，
所以平面，平面，又，平面，
所以平面∥平面，又平面，
所以直线平面，所以B正确；
因为F，H分别为DD1，BB1的中点，
所以BH⊥FH，又BH=1，，
所以，易得点E到平面BFH的距离为，
所以三棱锥H－EFB的体积，所以C正确；
因为BC⊥平面，平面，
所以，又，
故FB为三棱锥的外接球的直径，又，
所以三棱锥的外接球的表面积，所以D正确.
故选：BCD.
10．BD
因为，故，又，
整理得到：，故，，故A错，B正确.
可得，当时，；当时，；当时，，故当、时，取得最大值，故C错误.
又，令，则，即n的最大值为20，故D正确.
故选：BD.
11．ABD
因为为正三角形，所以
所以，
所以
故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设（），则
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正确
故C错误
设的内切圆半径为，则，，
所以，即，故D正确
故选：ABD
12．BD
解：，定义域，
，
或时，；当时．
和时，函数单调递减；，函数单调递增，
画出函数图象如下所示：
对于A．可得时，，因此函数无最小值；
对于B．，函数单调递增，， ，，因此B正确；
对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确；
对于D．因为，
当时，方程有两根为，
则有，故，
因为，
则要证，则只要证明即可，
即证，
即证，
不妨设，
则即证，
令，
只需证，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以，
因此当时，若的两根为，则，故D正确．
故选：BD．
13．/
，，
，，，……
数列是以3为周期的周期数列，
，.
故答案为：.
14．
设∠AFx＝θ，则由抛物线的定义知x＋1＝2＋3cosθ＝3，得cosθ＝.
又|BF|＝x＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，∴|BF|＝.
15．
由已知，显然，
两端同时除以，得，又
所以，数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以，.
所以，.
故答案为：.
16．
令，
函数与的图像有两个不同的公共点，
等价于在有两个零点，
，
令，则，
令，，易得恒成立，
故在单调递增，易得，
故存在，使得，即，即，
当时，，等价于，则在上单调递减，
当时，，等价于，则在上单调递减，
故为极小值，因为在有两个零点，
则，即，
因为，则，
则，即，解得
故答案为：.
17．（1）；（2）
（1）设直线上的点的坐标为
则有
化简得
（2）由
所以圆的半径
圆心坐标为
所以圆的方程为
18．(1)
(2)分布列见详解，3
（1）甲3次投篮投进的次数为，则，
故甲3次投篮的得分超过3分的概率.
（2）记“乙第次投篮投进”为事件，
由题意可得：的可能取值为，则有：
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 4 6
故的期望.
19． (2)
（1）
如图，连接，
在正方形中，因为为中点，故，，
而，，故，，
故四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面.
（2）连接，则，
因为平面，故到平面的距离为，
而，
故.
20．（1）；（2）.
（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∴.
21．（1）；（2）.
（1），且B在圆上，
所以圆心到弦的距离
由抛物线和圆的对称性可得，
代入抛物线可得，解得，
∴抛物线E的方程为；
（2）设，，
由，可得，
∴，
则的方程为：，即——①，
同理的方程为：——②，
联立①②解得，，
又直线与圆切于点，
易得方程为，其中，满足，，
联立，化简得，
∴，，
设，则，，
∴点M到直线的距离为：
，
易知d关于单调递减，，
即点M到直线距离的最大值为.
22．（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）
解：（1）的定义域为.
当时，，.∴.
所以，函数在处的切线方程为
即
（2）∵，∴，.
当时，.∴是单调减函数.符合
当时，若是单调增函数，则，
即恒成立，这不可能；
若是单调减函数，则，
即恒成立，令，其开口方向向上，对称轴方程为
，，故，∴
又，.
综上，满足条件的非负整数的值是0，1，2
（3）∵
∴
∴
①当0时，.
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数.
所以当时，，不符合题意.
②当时，.
（i）当，即时，当变化时，，的变化情况如下：
1
－ 0 + 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
若满足题意，只需满足，整理得.
令，
当时，，
所以在上为增函数，
所以，当时，.
可见，当时，恒成立，故当，时，函数的最小值为.；所以满足题意.
（ⅱ）当，即时，，，0，当且仅当时取等号.
所以在上为减函数.从而在上为减函数.符合题意.
（ⅲ）当，即时，当变化时，，的变化情况如下表：
1
－ 0 + 0 －
↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘
若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），
即，且.
又，∴.
综上，.
所以实数的取值范围是.