人教版数学九年级上册 25.2 《用列举法求概率》教案

第二十五章概率初步——用列举法求概率（第三课时）
教材解读
本节内容选自人教版九年级数学上册第二十五章《概率初步》第2小节，属于概率与统计板块的重点内容。在利用枚举试验结果的方法，计算简单的一步随机试验中随机事件的概率后，用列举法求两步及以上试验中的随机事件的概率的学习，有助于学生更进一步感悟从不确定性的角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法。
本学段的概率内容处在比较初级的水平，应重视学生对古典概型的两个前提条件——①所有可能结果种数有限；②各种结果等可能的理解，
以及分步列举的方法的应用，为下节求试验结果不受限制的随机事件的概率做区分准备，也为高中学习分步乘法计数原理奠基。因此，本节内容应引导学生学会从概率的角度认识、理解和表达现实世界中大量存在的随机现象，能通过列表、画树状图的方法列出生活中简单随机事件所有可能的结果，并用所学概率模型求出相应随机事件的概率；更注重在情境中的问题解决，促进学生模型观念和推理能力的形成。
学情分析
九年级学生观察力接近成年人水平，意义识记逐渐占主导地位，思维能力趋于抽象、概括，但部分学业一般和学业不良学生的工作记忆在学习中的发挥受到限制，他们在用列表法或画树状图法列举出试验所有可能的结果中，可能会多写结果，也可能会遗漏结果。
利用班级小管家组织学生在线完成《用列举法求概率（第三课时）知识前测》，反馈、评价与诊断学生学习掌握情况。其中有5位学生自制力较差，且家长无法陪伴监督学习，所以他们的知识前测不是在线上进行的。由知识前测第3题可知，他们已经学习了用列举法求概率，能够通过模仿解决一些简单的问题。根据知识前测第4题可发现，部分学生没有真正理解古典概率模型，以及欠缺应用意识，导致无法正确将实际问题抽象为数学问题，进而不能灵活地使用列举法解决问题。基于此，本节的教学难点是在实际问题中如何分步分析，从而列举所有可能的试验结果。
教学目标
1.知识与技能：用列举法解决生活中的概率问题，进一步理解概率的意义。
2.过程与方法：经历生活中的情境，体会分步分析和化归思想。
3.情感态度与价值观：积极参与数学活动，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。
教学重难点
教学重点：用列举法解决生活中的概率问题，借助化归解决路线问题。
教学难点：如何正确分步分析，从而列举所有可能的试验结果；理解抽到某一主题的概率与先后抽取顺序无关。
教学过程
一、情境导入
概率问题是日常生活中经常碰到的问题，人们都在自觉或不自觉地应用概率的思想.隔壁班的卓越之星菲菲最近对此深有感触.
导入动画视频.菲菲：大家好，我是菲菲.前不久我参加了学校举办的“重温党史百年路喜迎党的二十大”活动，感触很深，我们何其有幸，生于华夏，生于盛世，见证百年.作为新时代青少年，我们必将“以志为先，以新为径，以苦为食”，以青春之名，启航新征程.在这个过程中，我用数学的眼光观察到生活中蕴含的概率问题，迫切地想和你们分享我的发现！
【设计意图】
开端引入隔壁班的卓越之星菲菲参加“重温党史百年路喜迎党的二十大”活动这件真人真事，抓住学生的注意力.一方面，在数学课堂上植入爱国爱党情感教育，确立他们“强国复兴有我”的信念.菲菲在生活中的积极思考、学以致用也能够产生正向影响；另一方面，激起学生的好奇，预知菲菲的发现，且积极认真参与进课堂活动来.
【能力点分析】
能力点6：技术支持的问题呈现与解决——使用来画、剪映制作和剪辑导入视频，直观展示问题情境.
二、解决问题——搭配问题
菲菲的参赛备选服装有上装：条纹、蓝色和粉色衬衣，下装：格子半裙、黑色和卡其色西裤.她在纠结怎样搭配，于是决定随机挑选两件来搭配，其中每件衣服被选中的可能一样.这样挑选共有几种可能的搭配？菲菲选中粉色衬衣和黑色西裤的概率是多少？
【学生活动】
学生在白板前模拟随机挑选上装和下装的试验.感受此试验的结果数量，及各结果出现的可能性.
【师生活动】
教师以对话的形式向模拟搭配上下装的学生提问：
1.请问完成一次搭配包含几步？
2.挑上装有几种可能的结果？这些结果是等可能的吗？
3.挑上装有几种可能的结果？这些结果是等可能的吗？
4.综合起来完成一次搭配可能出现的结果数是有限还是无限的？各结果是等可能还是不等可能？
5.满足结果数有限、各结果等可能这两前提，如何将所有等可能的结果找出来？
6.最后用什么表示概率？（P=m/n，即结果数的比值）
【师生活动】
教师展示学生解题过程，并指出答题规范.
方法1：
方法2：
【教师追问】
列举这个问题中所有可能出现的结果使用的方法与列举抛掷两枚硬币的结果有何共同点？
【师生活动】
抛掷两枚硬币的问题：抛第一枚硬币有两种结果——正、反面等可能出现，抛第二硬币也有两种结果——正、反面等可能出现；此问题：选上装有三种结果，各结果等可能，选下装有三种结果，各结果等可能.都满足“结果有限”“各结果等可能”两个前提，且都是分两步分析结果.我们可以将上述两种随机试验类比为抛两枚硬币模型.
【设计意图】
大多数学生已经会用模型思想解决简单的概率问题，但在具体应用中，将实际问题抽象成数学问题的能力仍有所欠缺。为使学生深度理解概率模型，提高应用意识，故设计此环节.利用希沃软件设计模拟随机搭配上下装的活动，让学生置身真实情境中，感受随机事件的随机性，真切地体会“结果有限”和“各结果等可能”，并强化分步分析的思想，即先选上装，再选下装；或先选下装，再选上装.巩固计算概率的方法，并形成模型，联系上一课时的抛两枚硬币的问题使“学习路径”可视化，让学生形成模型观念、结构化知识.
【能力点分析】
能力点5：技术支持的教学组织.①教学内容与呈现内容相匹配：利用希沃软件设计模拟随机搭配上下装的试验，让学生置身情境中，真实确切地感受随机事件的随机性，及古典概型的两个前提.②交互式课件制作与使用：在回顾求简单随机事件的概率的方法时，为使学生对概率模型：两个前提条件→两种列举法的选择→概率公式的印象更深刻、知识更体系化，制作了“聚光灯”“强调声音”效果的动画.
三、解决问题——红绿灯问题
菲菲成功晋级，她和妈妈乘车前往雷锋大剧院进行决赛.如图，有两条路程相等的路线可供选择.她们希望尽早赶到目的地，选哪条路线更合适？
【师生活动】
学生用数学的眼光看问题，简单交流后发现“为尽早赶到目的地，选哪条路线更合适？”，即选哪条路线不用等红灯的概率更大？
【设计意图】
此情境问题具有一定迷惑性.预设学生可能会回答选路线一，原因是路线一只有一个红绿灯，不用等红灯的概率更大.也可能会答选路线二，原因是路线二的两个红灯的总时长是30秒，跟路线一的一样，而两个绿灯总时长是60秒，比路线一的绿灯时长要多.这两种回答虽然都考虑到了概率，但都是直观感受，没有进行数据分析，缺乏科学的准确性.教师可在学生初步表达观点后引导回归定量分析随机事件发生的可能性大小，加强数据观念的渗透.
【教师提问】
在路线一中，经过一个红绿灯路口是否满足“结果有限，各结果等可能”？
【师生活动】
学生思考、小组合作交流，发现“结果有限——遇到红灯和遇到绿灯两种结果，但两种结果发生的可能不相等”.将路线一中第一个路口的30秒的红灯等分成两份15秒的红灯，与15秒的绿灯组成3个等可能的结果.于是，我们就可以用结果数的比值表示“不用等红灯”的概率.
【设计意图】
此处是问题解决的关键，也是最能碰撞出思想火花的环节.学生通过小组讨论，发现已有的求概率的方法必须满足“结果有限”“各结果等可能”两个前提，而所遇问题的结果不等可能.虽然两种结果不等可能，但是可以通过转化，将问题变成“各结果等可能”的情况.教师需要鼓励学生思考“等可能”和“不等可能”之间的联系，使学习真正地发生，培养学生的学习迁移能力，落实学科核心素养应用意识.
【师生活动】
设选路线一和路线二不用等红灯的概率分别为P1，P2，学生小组合作求解P1和P2，比较P1和P2的大小即可.其中，求P1较易，而P2的求解
不仅需要转化为等可能的结果，还需要分步分析.
【梳理小结】
利用划归思想，将看似不等可能的事件转化为等可能事件.另外，此情境也体现了概率的决策作用.它被应用于人们出门必备的导航软件中.
【设计意图】
用路线决策问题，使学生体会数据分析的重要性、直观感受不一定准确，加深对概率的意义的理解，考查学生对列表法或画树状图法在真实情境中的应用水平.同时，体现大单元教学的学习路径：随机事件→结果有限且各结果等可能的随机试验中的事件的概率：结果数的比值，用列举法列举所有等可能的结果→结果数有限但各结果不等可能的：将各结果转化为等可能的情况.介绍概率在导航软件中的应用，起到连接课堂与真实世界的作用，使课堂更贴近生活.
【能力点分析】
能力点5：技术支持的教学组织.①在学生合作完成求P1，P2的任务中，放置了附带“滴答”声的时间进度条，能够营造有秩序感的任务氛围.同时，培养学生的时间观念和高效的解题习惯.②利用班级优化大师随机抽选小组，然后拍照将小组合作学习成果投屏至白板，并由该组学生代表解说.由于班级优化大师抽选小组是随机的，每个小组均有可能被抽到，小组评价是确保组内合作学习效果的重要因素，也能加强学生的合作意识.
四、解决问题——先后问题
决赛时，菲菲和另外两名选手需要依次抽选三个不同的主题——革命时期、探索时期、社会主义新时期进行即兴演讲，三名选手均抽选完后再公布结果.菲菲想抽到探索时期的主题，她问妈妈第一个抽选，选中的概率是不是大一些？
【教师提问】
你认同菲菲的观点吗？
【师生活动】
学生表达观点，教师适时引导.
【设计意图】
此情境是本节的一个教学难点。学生可能会有认为假如第一位选手抽选到探索时期主题，那么菲菲选到探索时期主题的概率就是0了.这时，教师提问：第一位选手选完后，我们知道他选到什么主题吗？学生能从题中找出“三名选手均抽选完后再公布结果”回答出“不能”.从而使学生意识到随机事件是指在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，而“假如第一位选手抽选到探索时期主题”这个条件并不是题目条件.这将令学生更进一步理解概率.
【教师提问】
如何计算第一个、第二个、第三个抽选选中探索时期主题的概率？
【师生活动】
学生分析回答，满足结果有限且各结果等可能，可以用列举法求概率.
【教师追问】
是否可以用列举法中的列表法和画树状图法中的任意一种来求此概率呢？
【师生活动】
学生合作学习，发现此问题需要分三步分析，列表法只有横竖两表头，只适用于两步试验.因此，应该使用画树状图法列举所有可能的结果.通过计算发现，第一个、第二个、第三个抽选选中探索时期主题的概率均为1/3，菲菲先后抽选并无区别.教师小结，此处求概率的过程，可归结为无放回摸小球模型.
【设计意图】
借助“先后问题”加深“分步”分析问题的意识.此处设计的是三步试验问题，进一步区分列表法和画树状图法，加固知识间的联结.课堂进行至此，教师提问是为了用对话评估学生能否有意识考虑古典概率的两个前提.另外，纠正“第一个抽选，选中的概率大一些”这类常见的错误直觉，从而进一步理解概率的意义.
【能力点分析】
能力点5：技术支持的教学组织——用班级优化大师随机抽选学生个人到白板的板中板进行解题板演，班级优化大师抽选小组的算法是确保随机性的，可避免教师点名的主观性；使人人都有机会在课堂中展现自己，建立学习自信、激发学习热情.
能力点13：评价数据的伴随性采集——利用班级优化大师APP对学生的课堂学习进行评价，形成过程性评价.
五、归纳总结
学生在本单元起始课《随机事件》中制作的思维导图的基础上，添加本节课的学习内容，并向同学解说制作思路.
【设计意图】
归纳小结，从整体的角度看本单元的学习内容.借助制作思维导图、同学互评的形式，评估学生对本节内容在大单元学习中的掌握情况，考查学生的核心概念、知识和技能是否连贯统一.同时，丰富评价形式，促进教学.
【教师提问】
如果我们抛掷一枚图钉（质地不均匀），如何求针尖朝下的概率？
【设计意图】
这是一个“结果有限但各结果不等可能”的随机试验.抛出这个问题是为下节课学习“用频率求概率”做铺垫，再次凸显大单元的学习路径：随机事件→结果有限且各结果等可能的随机试验中的事件的概率：结果数的比值，用列举法列举所有等可能的结果→结果数有限但各结果不等可能的：将各结果转化为等可能的情况→不受“结果有限且各结果等可能”限制的：用频率估计概率.逐步落实核心素养.
【能力点分析】
能力点6：技术支持的学法指导——使用亿图脑图MindMaster软件制作思维导图，使知识去零碎化.用思维导图整合后的知识能更好地体现单元学习内容，且更有助于学生主动理解、加工知识.
六、应用提升
1.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使L1灯亮的概率是多少？
2.双眼皮是由显性基因A控制的，小雅的爸爸、妈妈的基因组成分别为Aa和Aa，他们准备生养二胎.请问他们的二胎宝宝更有可能是双眼皮还是单眼皮？并说明理由.
3.布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，三位同学依次从袋中随机取出一个球，他们抽到红球的概率一样吗？说明理由.
4.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为多少？
【设计意图】
借助课堂小练的形式评估学生是否能自主地对概率的古典定义适用条件进行判断，能否将试验结果不等可能的随机试验转化为等可能的，能否区分一步试验、两步试验或多步试验，能否在具体情境中恰当地选择列表法和画树状图法解决问题.设置了较多的解答题，目的是考查学生的解决问题的思路是否准确和清晰.设置了跨学科问题，让学生体会数学与物理、生物之间的联系.
【能力点分析】
能力点4：跨学科教学活动设计——应用提升第2题的“同时闭合两个开关能使L1灯亮的概率”问题融合了物理学科的电学知识，解决问题的过程中使用使用NB物理实验室APP内的电路工具间演示同时闭合哪两个开关能使L1灯亮.
能力点8：技术支持的学法指导——对难度较大的题目制作讲解视频，利用WPS办公软件生成二维码附在学案对应题的旁边，供课堂上暂时未理解的学生二次学习利用.
七、分层作业
A组
1.完成知识管理
2.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是_________．
3.李明有红色、黑色、白色三件运动短袖上衣和白、黑两条运动短裤，若任意组合穿着，则李明穿“衣裤同色”的概率是______．
4.布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，三位同学从袋中随机依次取出三个球，第三位同学抽到红球的概率是________．
5.为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
B组
6.在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）
7.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．
8.长沙某医院的三名医生甲、乙、丙报名去做抗疫志愿者，他们被随机安排在A、B、C三个医疗队中，每人的去哪支队伍互不影响．
(1)最终甲球被安排在B医疗队的概率为______；
(2)求甲、乙、丙三人在同一个医疗队的概率（请用“画树状图”等方法写出分析过程）．
C组
9.看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6，求田忌能赢得比赛的概率．
10.
请为你的学习合作伙伴设计一道用列举法求概率题目，并自备答案.
模型背景
题目
答案
【设计意图】
根据不同层次的学生设计分层作业，充分发挥评价的导向功能和激励功能.巩固本节课所学内容，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”.完成知识管理意在使学生去孤立化知识，形成大单元学习思路.每一层都有本课所对应的重难点知识体现，且有梯度呈现.第10题是特色作业，概率是与生活最贴近的数学知识之一，学生自己设计求概率的题目，对学生的模型思想掌握水平有更高的要求，同时能激发学生学习的热情.