四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高二下期期中考试文科数学试题（含解析）

成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高二下期期中考试
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2i D．-2
2．某电影院有座位45排，每排有40个座位，在观看《流浪地球2》时恰好坐满了观众。为了了解观众意见，需要抽取45名观众进行座谈，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数表法
3．用反证法证明“是无理数”时，正确的假设是（ ）
A．是无理数 B．不是无理数 C．不是有理数 D．是整数
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在R上单调递减 D．在R上单调递增
6．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．y=x C．y=x+1 D．
7．变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则a=（ ）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
8．张同学15次模考成绩的茎叶图如图所示，第1次到第15次的考试成绩依次记为，将15次成绩输入程序框图，则输出的结果是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．11
9．在等比数列中，有，类比上述性质，在等差数列中，有（ ）
A． B． C． D．
10．若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
11．已知函数在时的极值为-8，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
12．已知对任意恒成立，其中a，b为常数且a<0，则（ ）
A．ab≥0 B．b>-1 C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数，则________．
14．函数的最小值为________．
15．以下是标号分别为①、②、③、④的四幅散点图，它们的样本相关系数分别为，那么相关系数的大小关系为________（按由小到大的顺序排列）．
16．已知不等式恰有2个整数解，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
计算下列复数运算：（1） （2）
18．（12分）
已知函数在点处的切线与直线x-y+3=0垂直．
（1）求a的值；
（2）求函数的极值．
19．（12分）
每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表．
健康生活 亚健康生活 合计
男 30 45 75
女 15 10 25
合计 45 55 100
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）
（2）用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率．
20．（12分）
一艘渔船在进行渔业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，人工费用是4050元/小时，记渔船的航行速度为v（海里/小时），满足0≤v≤30，记渔船航行一个小时的主要费用为q元（主要费用=燃油费+人工费），渔船每航行1海里产生的主要费用为p元．
（1）用航行速度v（海里/小时）表示出航行一小时的主要费用q元；
（2）用航行速度v（海里/小时）表示出航行1海里产生的主要费用p元；
（3）求航行1海里产生的主要费用p（元）的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里/小时）的大小．
21．（12分）
市场研究机构Counterpoint发布了最新全球电动汽车市场报告，2022年总计销量超1020万辆，比亚迪、特斯拉和大众集团位列排行榜前三．某电动汽车公司调研统计了之前5年（2018年到2022年）自己品牌电动汽车年销售量y（单位：万辆），并制作了如下表格．
年份（年） 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量y（单位：万辆） 9 16.5 29 46.5 69
（1）请根据表格中统计的数据作出散点图：
（2）记年份代码为x，2018年到2022年分别对应x=1，2，3，4，5，请根据散点图判断，模型①y=a+bx，②y=c+dx2，③y=e+lnx，哪一个更适合作为年销售量y关于年份代码x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（3）根据（2）的判断结果，求出年销售量y关于年份代码x的回归方程，并预测今年（2023年）该公司电动汽车的年销售量．
参考数据：
34 55 979 660 2805
参考公式：最小二乘估计公式：，．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若x1，x2是函数的两个不同极值点，且满足：x11，求证：．
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1~5：DBBCD 6~10：ACADA 11~12：DC
1．解：∵的虚部为b，∴的虚部为-2，故选D．
2．解：该电影院总体容量较大，又有编号，符合系统抽样的特点，故最合理的抽样方法为系统抽样，故选B．
3．解：“反证法”就是从命题的反面即否定形式推导出否命题是不成立的，“是无理数”的否定是“不是无理数”，故选B．
4．解：，，，，故选C．
5．解：∵导函数图象在x轴上方，则，原函数为增，导函数图象在x轴下方，则，原函数为减，∴在R上递增，故选D．
6．解：∵，∴，又，∴切线过，∴切线为，即，故选A．
7．解：∵，，而回归直线过样本中心，∴，∴，故选C．
8．解：∵程序框图输出的是成绩小于等于120的次数，∴输出结果为4，故选A．
9．解：∵，∴，故选D．
10．解：由得-111．解：由函数，∴，
∴，解得，∴，
令，则，解得，令，则x<0或x>2，
∴在x=2处取极值且函数的单调递减区间为，故选D．
12．解：由题意知：定义域为R，；
∵a<0，若，则；若，则；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
若恒成立，则，即；
综上所述：，故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
13．解：∵，∴，故答案为．
14．解：，当时，递减，当时，递增，
∴时，取极小值．，∴，故答案为．
15．解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，∴，又图①②的散点图近似在一条直线上，∴图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，∴，故答案为．
16．解：原不等式等价于，设，
∴，令，得．当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，当时，取极大值1．
又，且时，，∴与的图象如下，直线恒过点，
当k≤0时，显然不满足条件；当k>0时，只需要满足，解得，
∴k的取值范围为，故答案为．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）；
（2）．
18．（12分）
解：（1）易得，
又函数在点处的切线与直线x-y+3=0垂直，
∴，
得a=1；
（2）由（1）得，
令有x=0或x=2，可得
x 0 2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
∴，
∴．
19．（12分）
解：（1）由，
∵3.030<3.841，
∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；
（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，
用a，b，c，d，1，2表示此4男2女，则基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，
记两名联络员均为男性为事件A，
事件A包含6个基本事件，，
∴两名联络员均为男性的概率为．
20．（12分）
解：（1）设渔船每小时的燃油费用为y元，
由题设可设，
又当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时
得，
航行一小时的主要费用为：；
（2）由（1）知；
（3）易得；
由，
可得函数的增区间为，减区间为，
∴当时，，
即当航行速度为15海里/小时时，航行1海里产生的主要费用p有最小值405元．
21．（12分）
解：（1）
（2）②y=c+dx2更适合；
（3）令t=x2，则，，，，
对于回归方程，可得：，
，
∴回归方程为，即y=6.5+2.5x2，令x=6，得，
预测2023年该公司电动汽车的年销售量为96.5万辆．
22．（12分）
解：（1）易知，
可得，
①当a≤0时，由，此时在，；
②当a=1时，由恒成立，此时在；
③当0此时在，，；
④当a>1时，由或，，
此时在，，；
综上所述：当a≤0时，在，；
当a=1时，在；
当0当a>1时，在，，；
（2）由（1）可得：，，
，
欲证，即证，只需证，
记，，
可得，即在为减函数，∴，即得证．