2023届安徽省滁州市定远县育才学校高考冲刺数学试卷（四)（Word版含答案）

2023届安徽省滁州市定远县育才学校高考冲刺数学试卷（四)
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知为正整数，则“是的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的条件．( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，如图为年中国服务机器人各行业渗透率调查情况年中国服务机器人各行业渗透半调查情况根据该图，下列结论错误的是( )
A. 物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业
B. 教育业目前在大力筹备应用服务机器人
C. 末计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业
D. 图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是
4. 已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，则( )
A. B. C. D.
5. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为和的概率相等，则该线路公交车两个站台各有个乘客候车的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7. 设，，则( )
A. B. C. D.
8. 定义在上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设，是复数，则下列命题中正确的是( )
A. 若是纯虚数，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若复数满足，则的最大值为
10. 已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数是周期为的函数
B. 函数在区间上单调递减
C. 当时，方程在上有个不同的实数根
D. 若方程在上有个不同的实数根，则
11. 已知函数，，有下列结论，正确的是( )
A. 任意的，等式恒成立
B. 任意的，方程有两个不等实根
C. 任意的，，若，则一定有
D. 存在无数个实数，使得函数在上有个零点．
12. 设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的解，且从小到大分别为，，，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，有种不同的颜色供选择，给图中块区域，，，，染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______ 种不同的染色方法．
14. 已知直线与椭圆在第二象限交于，两点，且与轴、轴分别交于，两点，若，，则的方程为 ．
15. 已知函数的导函数为，且，则 ．
16. 对任意，函数满足，，数列的前项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
18. 本小题分
设函数，若锐角的内角，，的对边分别为，，，外接圆的半径为，．
若，求
求的取值范围．
19. 本小题分
近年我国新能源产业的发展取得了有目共睹的巨大成果年国务院在正式发布的新能源汽车产业发展规划年中提出，到年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的左右力争经过年的持续努力，使纯电动汽车成为新销售车辆的主流在此大背景下，某市新能源汽车保有量持续增加，有关部门将该市从年到年新能源汽车保有量单位：万辆作了统计，得到与年份代码如代表年的统计表如下所示．
请通过计算相关系数说明与具有较强的线性相关性；若，则变量间具有较强的线性相关性
求出线性回归方程，并预测年新能源汽车的保有量．
参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：，，，．
20. 本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，为的中点，．
证明：平面平面．
若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积．
21. 本小题分
已知抛物线：的焦点为，直线：交抛物线于，点，当直线过点时，点，到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是．
求抛物线的方程；
当时，设线段的中点为，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.或
17.解：，
当时，，二者相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
18.解：由题意
得．
又根据正弦定理，有，，，
由，有，得，
因为，，所以，．
由知，，所以，
因为，所以
则
，
，有，所以，
所以的取值范围为．
19.解：，，，
，
与具有较强的线性相关性；
，，
，．
关于的线性回归方程为，
取，可得．
预测年新能源汽车的保有量为万辆．
20.解：证明：在中，，为的中点，
．
又在四棱锥中，，且，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
由题意及得，连接．在中，三角形为等边三角形，
，
，，两两垂直，
建立空间直角坐标系如下图所示：
设，则，
，
，
．
设平面的法向量为，
则，
令，得．
平面的一个法向量为，
二面角的大小为，
，
解得，
．
21.解：设，，
因为当直线过点时，点，到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是．
所以，，
解得，
所以抛物线的方程为；
当时，可设直线：，
联立，可得，
，
，，
则，
，
假设在轴上存在点，使得为定值，
即可得，
当变化时，要使上式为定值，必有，
所以，在轴上存在点，使得为定值．
22.解：，则，
若时，则，，
即切点坐标为，切线斜率，
切线方程为，即．
，即，
整理得，
故原题等价于对任意实数，都有恒成立，
构建，则，
注意到，则，
构建，则在上单调递增，且，
故在内存在唯一的零点，
可得当，则；当，则；
即当，则；当，则；
故在上单调递减，上单调递增，则，
又为的零点，则，可得且，
，
即在上的最小值为，
故实数的取值范围．