青海省西宁市北外附属新华联外国语高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

新华联外国语高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分，每小题5分）
1．已知点，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．4 D．6
3．在中，D为的中点，E为边上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线
5．的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则角C的大小（ ）．
A． B． C． D．
6．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．7
7．在，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共20分，每小题5分，少选得2分，不选或错选得0分）
9．下列四式可以化简为的是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
11．在中，分别是的中线且交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．为函数的一个对称中心点
C．为函数的一个递增区间
D．可将函数向右平移个单位得到
三、填空题（共20分，每小题5分）
13．向量的夹角为，且，则等于___________．
14．中，角4，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_____________．
15．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为_____________．
16．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为_____________m．
四、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）
17．化简：
（1）；
（2）．
18．已知平面向量．
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求实数x的值．
19．已知为单位向量，且的夹角为，向量．
（1）求；
（2）求与的夹角．
20．如图，在正方形中，E，F分别是边的中点．
（1）判断线段与F的位置关系，并用向量的方法证明．
（2）求的余弦值．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：．
（2）若D为的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
22．已知平面向量，函数，若函数的最小正周期为．
（1）求函数的解析式．
（2）先将图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取得最小值时，函数的单调递增区间．
新华联外国语高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 9．ABC
10．AC 11．BCD 12．ABD
13．
【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．
【详解】向量，的夹角是，，，
则，
则
，
即有．
故答案为：．
14．##
【分析】由正弦定理结合三角形中角的范围即可得出结果.
【详解】由题知，，，
在中，由正弦定理，得，
所以，解得，
因为中，，所以，所以.
故答案为：.
15．##
【分析】直接根据公式求解即可.
【详解】在方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
16．##
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为，且，
所以，解得；
（2）解：因为，所以，
又且，所以，解得．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；
（2）先求得，再利用夹角公式求解.
【详解】（1）解：∵，为单位向量，且，的夹角为120°，
∴．
∴．
（2）设与的夹角为．
∵，
，
∴．
又∵，
∴，
∴与的夹角为．
20．（1）证明见详解.
【分析】建立直角坐标系表示出，然后利用向量垂直的坐标运算得出答案.
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
方法2：基底法
方法1：向量夹角公式
方法2余弦定理
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；
（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，
①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
②③①
已知，，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式将的解析式化为正弦型函数，利用周期求出的值可得答案；
（2）首先根据图象的变换得到的解析式，然后求出的最小值，然后结合正弦函数的单调性可得答案.
【详解】（1），
因为函数的最小正周期为，，所以，解得，所以，
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象，
再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象，
所以.
因为的图象关于直线对称，
所以，，
因为，所以，此时，
由可得，
所以函数的单调递增区间为.