广东省汕头市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省汕头市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-09 11:20:00 | ||
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文档简介
2022-2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知两条直线，，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是丈尺，高丈尺，问它的体积是多少若取，估算该圆堡的体积为 ( )立方尺丈尺.
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
6. 已知直线与曲线相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7. 楼道里有盏灯，为了节约用电，需关掉盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在底面半径为，高为的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切。一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10. 的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是( )
A. 第项的二项式系数最大 B. 所有奇数项的系数和为
C. D.
11. 一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中无放回的随机取两次，每次取个球，记事件第一次取出的是红球 事件第一次取出的是白球 事件取出的两球同色 事件取出的两球中至少有一个红球，则( )
A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为独立事件
C. D.
12. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，
，为内部含边界的动点，则( )
平面
球的表面积为
C. 的最小值为
D. 若与平面所成角的正弦值为，则点轨迹长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，，若，则实数 ．
14. 的值为 ．
15. 某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共______种．
16. 被称为欧拉公式。我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式。如：
类比方法，我们可以得到
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，是直角三角形斜边上一点，．
若，求角的大小；
若，且，求的长．
18. 本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面．
求与平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率
球队胜率
当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.
20. 本小题分
设为等差数列前项和，已知，，
求；
若成等比数列，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知椭圆：的焦点在轴上，它的离心率为，且经过点．
求椭圆的方程；
若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，且过点，和点的圆的圆心在轴上，求直线的方程及此圆的圆心坐标．
22. 本小题分
已知函数．
若，证明：；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
高二数学期中考试答案和解析
17.解：在中，由正弦定理得 ， ····1分
所以， ····2分
又 ····3分
所以，． ····4分
由，且知： ····5分
所以，直角三角形中， ····6分
在中，由余弦定理得
····8分
所以，． ····10分
18. 证明：如图，连接，． ····1分
因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点， ····2分
又因为为的中点，所以． ····3分
又平面，平面．所以平面． ····5分
解：由题可知，,，，两两垂直，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ····6分
则，，，． ····7分
所以，，， ····8分
设平面的法向量为，
则 ····9分
令，得 ····10分
记与平面所成角为，
则． ····12分
19. 解：设表示“甲球员担当边锋”表示“甲球员担当前卫”表示“甲球员担当中场”， ，，两两互斥， 表示“球队赢了某场比赛”， ····2分
则 ····4分
····5分
， ····7分
该球队某场比赛获胜的概率为. ····8分
由知：，则 ····10分
， ····11分
所以球员甲担当前卫的概率为. ····12分
20. 解：设等差数列的公差为， ····1分
由，，得 ····2分
解得，， ····4分
； ····5分
由知，，，
，，，，，，的首项为，公比为， ····6分
是该数列的第项， ····7分
， ····8分
又，， ····9分
， ····10分
设数列的前项和为，
． ····12分
21.解：椭圆的方程为， ····1分
依题意， ····3分
解得，，
椭圆的方程为； ····4分
设圆心，，，
显然直线的斜率存在，设：，
由，则， ····5分
又，代入得到：， ····6分
同理可得，则，分别是的两根，
由韦达定理可得， ····8分
又联立：与，
得， ····9分
，解得， ····10分
直线的方程为或， ····11分
此时的中点横坐标为，解得，
此圆的圆心坐标为． ····12分
22. 解：证明：因为的定义域为，
若，．
要证：即证． ····1分
令，所以， ····2分
易得在上单调递减，在上单调递增， ····3分
所以，所以． ····4分
解：原不等式可转化为对任意的恒成立．····5分
令．
若，则．
由知，所以，
又，所以，
又，所以，符合题意； ····6分
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，，，
，，且， ····7分
所以，
当时，，
所以，所以在上单调递减． ····8分
当时，，所以，
当时，在上单调递增，
所以，
所以当时，，所以在上单调递增，····9分
所以，解得． ····10分
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即． ····11分
综上所述，的取值范围为． ····12分
第8页，共4页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知两条直线，，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是丈尺，高丈尺，问它的体积是多少若取，估算该圆堡的体积为 ( )立方尺丈尺.
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
6. 已知直线与曲线相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7. 楼道里有盏灯，为了节约用电，需关掉盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在底面半径为，高为的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切。一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10. 的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是( )
A. 第项的二项式系数最大 B. 所有奇数项的系数和为
C. D.
11. 一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中无放回的随机取两次，每次取个球，记事件第一次取出的是红球 事件第一次取出的是白球 事件取出的两球同色 事件取出的两球中至少有一个红球，则( )
A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为独立事件
C. D.
12. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，
，为内部含边界的动点，则( )
平面
球的表面积为
C. 的最小值为
D. 若与平面所成角的正弦值为，则点轨迹长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，，若，则实数 ．
14. 的值为 ．
15. 某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共______种．
16. 被称为欧拉公式。我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式。如：
类比方法，我们可以得到
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，是直角三角形斜边上一点，．
若，求角的大小；
若，且，求的长．
18. 本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面．
求与平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率
球队胜率
当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.
20. 本小题分
设为等差数列前项和，已知，，
求；
若成等比数列，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知椭圆：的焦点在轴上，它的离心率为，且经过点．
求椭圆的方程；
若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，且过点，和点的圆的圆心在轴上，求直线的方程及此圆的圆心坐标．
22. 本小题分
已知函数．
若，证明：；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
高二数学期中考试答案和解析
17.解：在中，由正弦定理得 ， ····1分
所以， ····2分
又 ····3分
所以，． ····4分
由，且知： ····5分
所以，直角三角形中， ····6分
在中，由余弦定理得
····8分
所以，． ····10分
18. 证明：如图，连接，． ····1分
因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点， ····2分
又因为为的中点，所以． ····3分
又平面，平面．所以平面． ····5分
解：由题可知，,，，两两垂直，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ····6分
则，，，． ····7分
所以，，， ····8分
设平面的法向量为，
则 ····9分
令，得 ····10分
记与平面所成角为，
则． ····12分
19. 解：设表示“甲球员担当边锋”表示“甲球员担当前卫”表示“甲球员担当中场”， ，，两两互斥， 表示“球队赢了某场比赛”， ····2分
则 ····4分
····5分
， ····7分
该球队某场比赛获胜的概率为. ····8分
由知：，则 ····10分
， ····11分
所以球员甲担当前卫的概率为. ····12分
20. 解：设等差数列的公差为， ····1分
由，，得 ····2分
解得，， ····4分
； ····5分
由知，，，
，，，，，，的首项为，公比为， ····6分
是该数列的第项， ····7分
， ····8分
又，， ····9分
， ····10分
设数列的前项和为，
． ····12分
21.解：椭圆的方程为， ····1分
依题意， ····3分
解得，，
椭圆的方程为； ····4分
设圆心，，，
显然直线的斜率存在，设：，
由，则， ····5分
又，代入得到：， ····6分
同理可得，则，分别是的两根，
由韦达定理可得， ····8分
又联立：与，
得， ····9分
，解得， ····10分
直线的方程为或， ····11分
此时的中点横坐标为，解得，
此圆的圆心坐标为． ····12分
22. 解：证明：因为的定义域为，
若，．
要证：即证． ····1分
令，所以， ····2分
易得在上单调递减，在上单调递增， ····3分
所以，所以． ····4分
解：原不等式可转化为对任意的恒成立．····5分
令．
若，则．
由知，所以，
又，所以，
又，所以，符合题意； ····6分
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，，，
，，且， ····7分
所以，
当时，，
所以，所以在上单调递减． ····8分
当时，，所以，
当时，在上单调递增，
所以，
所以当时，，所以在上单调递增，····9分
所以，解得． ····10分
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即． ····11分
综上所述，的取值范围为． ····12分
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