【全国百强校】福建省三明一中高中数学系统化单元检测：必修三第三章 概率（含解析）

第三章 概率
一、选择题
1．下列事件属于不可能事件的为( ).
A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4
B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8
C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12
D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16
2．给出下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两球队比赛，强队胜利了；
③一所学校共有730名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合A，B，C，满足A(B，B(C，则A(C；
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；
⑥7月天下雪；
⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；
⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．
其中属于随机事件的有( ).
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，如果每题都选择第一个选择支，则结果是( ).
A．恰有3道题选对
B．选对的题数与3无一定大小关系
C．至多选对3道题
D．至少选对3道题
4．下列事件属于必然事件的为( ).
A．没有水分，种子发芽
B．电话铃响一声时就被接听
C．实数的平方为正数
D．全等三角形的面积相等
5．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件时，必然事件是( ).
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
6． 事件A的概率P(A)必须满足( ).
A．0＜P(A)＜1
B．P(A)＝1
C．0≤P(A)≤1
D．P(A)＝0或1
7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ).
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
8．如果事件A，B互斥，那么( ).
A．A＋B是必然事件
B．是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
9．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( ).
A． B． C． D．
10．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为( ).
A． B． C． D．
二、填空题
11．向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为 ．
12．任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．
13．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交弧AB于P，则同时满足∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为 ．
14．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有 个．
15．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　　　 　．
16．把两封不同的信投入A，B两个信箱，A，B两信箱中各有1封信的概率为 ．
三、解答题
17．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
19．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
20．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2 ＝0．若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
(1)已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
第三章 概率
参考答案
一、选择题
1．D
解析：两次点数和的最大值为12．
2．C
解析：①②③⑥⑧为随机事件．
3．B
解析：由于每次试验的结果都是随机的，因而不能保证做12次试验中，一定有3道题是正确的，也不能保证选对的题数大于（或小于）3．
4．D
解析：C中实数的平方是非负才是正确的．
5．D
解析：因次品共2件，故抽出的3件中至少有1件为正品．
6． C
解析：概率的第一条基本性质．
7．C
解析：恰有一个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有一个白球与恰有2个白球的事件不可能“必有一个发生”．
8．B
解析：借助集合的Venn图加以理解，为全集．
9．D
解析：抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件总数．一次也不出现6，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现6的事件总数为5×5×5＝125．于是
P(没有出现一次6点向上)＝．
∴P(至少出现一次6点向上)＝1－P(没有出现一次6点向上)＝．
10．C
解析：总事件数为36种．而满足条件的(X，Y)为(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情形．
二、填空题
11．答案：．
解析：作△ABC的边BC上的高AD，取E∈AD且ED＝，过E作直线MN∥BC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，△PBC的面积小于△ABC的面积的，故P＝＝．
12．答案：．
解析：总事件数为6×6＝36种，相同点数的有6种情形．
13．答案：．
解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°－45°－75°，就是30°，P＝＝．
14．答案：15．
解析：1－0.42－0.28＝0.30，21÷0.42＝50，50×0.30＝15．
15．答案：．
解析：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3 个，故
P＝＝．
16．答案：．
解析：分别记两封信为a，b，共有投法(即所有基本事件)为：A中a，b，B中无；A中a，B中b；A中b，B中a；A中无，B中a，b，共有4种，并且这4种投法都是等可能的．其中A中投1封，B中投1封的有2种投法，故所求概率为．
三、解答题
17．解法1：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝．
(2)从12只球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为．
解法2： (利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取一球为黑球}，A3＝{任取一球为白球}，A4＝{任取一球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝．
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
解法3：(利用对立事件求概率的方法)
(1)由解法2知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4．所以取得一红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝．
(2) A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝．
18．解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，
(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝．
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件有3个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝．
19．解：(1)总体平均数为(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5．
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，
(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，
(8，10)，(9，10)，共15个基本结果．
事件A包含的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果，所以所求的概率为P(A)＝．
20．分析：本题的要点在于认清：试验的全部结束所构成的区域是什么？事件“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”对应的区域是什么？
解： 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2 ＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2 ＝0有实根的充要条件为a≥b．
试验的全部结束所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
因此所求的概率为P(A)＝＝．
21．分析：本题考查了古典概型及分层抽样统计的知识，对数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识都有要求．
解：(1)∵＝0.19，
∴x＝380.
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y，z)；
由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N，基本事件空间包含的基本事件有：
(245，255)、(246，254)、(247，253)、…、(255，245)共11个．
事件A包含的基本事件有：
(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254，246)、(255，245) 共5个．
∴P(A)＝．
初三年级中女生比男生多的概率为．