【全国百强校】福建省三明一中高中数学系统化单元检测：必修四第三章 三角恒等变换（含解析）

第三章 三角恒等变换
一、选择题
1．的值是( )．
A． B．－ C．2 D．－2
2．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos2 15°－1的值是( )．
A．0 B． C． D．
3．已知sin(?－?)cos ?－cos(?－?)sin ?＝，且?在第三象限，则sin的值是( )．
A．－ B．－ C．± D．±
4．已知＝，则tan ?＝( )．
A． B． C． D．
5．tan(? +45°)－tan(45°－?)等于( )．
A．2tan 2? B．－2tan 2? C． D．－
6．已知sin(?－?)cos??－cos(?－?)sin ?＝，且 ??为第三象限角，则cos ?等于( )．
A． B．－ C． D．－
7．2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于( )．
A． B．－ C． D．－
8．在△ABC中，若0＜tan Α·tan B＜1，那么△ABC一定是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不确定
9．已知 ??为第三象限角且sin4?＋cos4?＝，则sin 2?等于( )．
A． B． C．－ D．－
10．sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为( )．
A． B． C． D．
二、填空题
11．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为 ．
12．化简＝__________．
13．若3sin ?＝cos ?，则tan 4?＝ ．
14．若＜?＜，＝－，则tan ?＝ ．
15． 求函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x的最小正周期＝ ．
16．已知＝k(＜?＜)，试用k表示sin ?－cos ?的值 ．
三、解答题
17．化简：cos2A＋cos2(＋A)＋cos2(＋A)．
18．已知：?∈(0，)，?∈(，)且cos(－?)＝ ，sin(＋?)＝，
求：cos ?，cos(?＋?)．
19．(1)已知tan(?－?)＝，tan ?＝?，且?，?∈(0，?)，求2?－?的值．
(2)已知cos(?－)＝，sin(－?)＝，且＜?＜?，0＜?＜，求cos(?＋?)的值．
20．已知tan 2?＝??，2?∈，求．
第三章 三角恒等变换
参考答案
一、选择题
1．D
解析：原式＝＝＝＝－＝－2．
2．C
解析：原式＝＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°
＝＋
＝．
3．D
解析：∵sin(?－?－?)＝，∴sin ?＝－．
又知 ??是第三象限角，∴cos ?＝－．又cos ?＝1－2sin2，
∴sin ＝±＝±．
4．B
解析：∵＝＝，
∴＝，即tan ＝2．
∴ ＝＝＝－．
5．A
解析：原式＝－
＝
＝
＝2tan 2?．
6．B
解析：由已知得sin(－?)＝，即sin ?＝－，又 ??为第三象限角，
∴cos ?＝－．
7．A
解析：原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)
＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°
＝sin(31°＋14°)
＝sin 45°
＝．
8．B??
解析：∵A，B是△ABC内角，
又∵0＜tan Α·tan B＜1，∴A，B∈(0，)．
∵0＜＜1，cos Acos B＞0，
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，
∴?－(A＋B)＝C＞，
∴△ABC一定是钝角三角形．
9．A
解析：∵＝，
∴(sin2?＋cos2?)2－2sin2?·cos2?＝，
∴1－sin22?＝，
∴sin22?＝．
∵2k?＋?＜?＜2k?＋?，
∴4k?＋2?＜2?＜4k?＋3?．
∴sin 2?＝．
10．A
解析：sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°
＝
＝
＝
＝．
二、填空题
11．答案：－．
解析：由 平方相加，可求cos(x－y)＝．
∵0＜x＜，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，
∴0＜x＜y＜，
∴－＜x－y＜0，
∴ sin(x－y)＝－，
∴tan(x－y)＝－．
12．答案: －cos 2．
解析：原式＝
＝
＝
＝|cos 2|．
∵＜2＜?，
∴cos 2＜0．
∴原式＝－cos 2．
13．答案：．
解析：∵3sin ?＝cos ?，
∴tan ?＝．
∴tan 2??＝＝，
tan 4??＝＝．
14．答案： -2．
解析：∵＜?＜，
∴5?＜2?＜，＜＜，
∴，2??均为第三象限角，?为第二象限角．
∵sin 2?＝－，∴cos 2?＝－，
又cos 2?＝2cos2 ?－1，
∴cos ?＝－＝＝－．
又sin 2?＝2sin ?cos ?＝－，
∴sin ?＝＝，
∴tan ?＝＝－2．
15．答案：?．
解析：y＝1＋sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin(2x＋)＋2．
故最小正周期为?．
16．答案：．
解析：∵＝＝2sin ?cos ?，
∴k＝2sin ?cos ?．
而(sin ?－cos ?)2＝1－2sin ?cos ?＝1－k．
又＜?＜，于是sin ?－cos ?＞0，所以sin ?－cos ?＝．
三、解答题
17．解析：
原式＝＋＋
＝＋[cos 2A＋cos()＋cos()]
＝＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)
＝．
18．答案：＝，cos(?＋?)＝－．
解析：∵＜?＜，∴－＜－?＜0．
∵cos(－?)＝，∴sin(－?)＝－，
∴cos ?＝cos[－(－?)]
＝cos·cos(－?)＋cos·sin(－?)
＝·＋·(－)
＝．
又∵0＜?＜，∴＜＋?＜?．
∵sin(＋?)＝，∴cos(＋?)＝，
∴cos(?＋?)＝sin[＋(?＋?)]＝sin[(＋?)－(－?)]
＝sin(＋?)·cos(－?)－cos(＋?)·sin(－?)
＝·－(－)·(－)
＝－．
19．答案：(1)2?－?＝－；(2)cos(?＋?)＝－．
解析：(1)∵tan(?－?)＝，
∴tan 2(?－?)＝＝．
又∵2?－?＝2(?－?)＋?且tan ?＝－，
∴tan(2?－?)＝＝1．
∵?，?∈(0，?)且tan ?＝－＜0，
tan ?＝＝∈(0，1)，
∴0＜?＜，＜?＜?0＜2?＜，－?＜－?＜－－?＜2?－?＜0，
而在(－?，0)内使正切值为1的角只有一个－，
∴2?－?＝－．
(2)∵＜?＜?，0＜?＜，∴＜?－＜?，?＜－?＜．
又∵cos(?－)＝－，sin(－?)＝，
∴sin(?－)＝，cos(－?)＝，
∴cos＝cos[(?－)－(－?)]
＝cos(?－)cos(－?)＋sin(?－)sin(－?)
＝，
∴cos(?＋?)＝2cos2－1＝．
20．答案：－3＋2．
解析：＝＝，
∵tan 2?＝＝－2，
∴tan2?－tan ?－＝0，
解得 tan ?＝或tan ?＝－．
∵＜2?＜?，∴＜?＜，∴tan ?＝，
∴原式＝＝－3＋2．