【全国百强校】福建省三明一中高中数学系统化单元检测：必修五第三章 不等式（含解析）

第三章 不等式
一、选择题
1．已知x≥，则f(x)＝有( )．
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
2．若x＞0，y＞0，则＋的最小值是( )．
A．3 B． C．4 D．
3．设a＞0，b＞0 则下列不等式中不成立的是( )．
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C．≥a＋b D．≥
4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )．
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
5．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为( )．
A．2 B． C．4 D．
6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )．
A．18 B．6 C．2 D．2
7．若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )．
A． B． C． D．
8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的坐标是( )．
A．(－5，1) B．(－1，5) C．(－7，2) D．(2，－7)
9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为( )．
A．－ B．
C． D．不存在
10．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )．
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
二、填空题
11．不等式组 所表示的平面区域的面积是 ．
12．设变量x，y满足约束条件 若目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是 ．
13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ．
14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y的最小值为 ．
15．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为 ．
16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 ．
三、解答题
17．求函数y＝(x＞－1)的最小值．
18．已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？
20．(1)已知x＜，求函数y＝4x－1＋的最大值；
(2)已知x，y∈R＊(正实数集)，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(3)已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值．
参考答案
1．D
解析：由已知f(x)＝＝＝，
∵ x≥，x－2＞0，
∴ ≥·＝1，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
2．C
解析：＋
＝x2＋
＝＋＋．
∵ x2＋≥2＝1，当且仅当x2＝，x＝时取等号；
≥2＝1，当且仅当y2＝，y＝时取等号；
≥2＝2(x＞0，y＞0)，当且仅当＝，y2＝x2时取等号．
∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝时原式取最小值4．
3．D
解析：
方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有≥不成立．
方法二：可逐项使用均值不等式判断
A：a＋b＋≥2＋≥2＝2，不等式成立．
B：∵ a＋b≥2>0， ＋≥2>0，相乘得 (a＋b)( ＋)≥4成立．
C：∵ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝2，
又≤≥，∴≥a＋b 成立．
D：∵ a＋b≥2≤，∴≤＝，即≥不成立．
4．D
解析: 因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
＜0＜0xf(x)＜0，满足x与f(x)异号的x的集合为所求．
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x) 在(－∞，0)的图象．
由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x与f(x)异号．
5．C
解析：由0＜x＜，有sinx＞0，cosx＞0．
f(x)＝＝＝＋
≥2＝4，当且仅当＝，即tan x＝时，取“＝”．
∵ 0＜x＜，∴ 存在x使tan x＝，这时f(x)min＝4．
6．B
解析：∵ a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．
故3a＋3b的最小值是6．
7．A
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
△ABC．
由得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，)．
由于直线y＝kx＋过点C(0，)，设它与直线
3x＋y＝4的交点为D，
则由S△BCD＝S△ABC，知D为AB的中点，即xD＝，∴ yD＝，
∴ ＝k×＋，k＝．
8．A
解析：设P点的坐标为(x0，y0)，则 解得
∴ 点P坐标是(－5，1)．
9．B
解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．
∵ kAC＝＝－，
∴ －m＝－，即m＝．
10．D
解析：由x＋＝(x－1)＋＋1，
∵ x＞1，∴ x－1＞0，则有(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
则a≤3．
二、填空题
11．24．
解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组．
或
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．
图中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为＝24．
12．．
解析：若z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y－3＝0的斜率，可得：－a＜－，即a＞．
13．ab≥9．
解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用≥构造一个不等式．
∵ ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，
∴ ()2－－3≥0，
∴ (－3)(＋1)≥0，∴≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．
14．(＋)2．
解析：由已知，均为正数，
∴ x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2，
即x＋y≥(＋)2，当且仅当 即 时取等号．
15．8．
解析：因为y＝loga x的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知，均为正，
∴ ＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋≥4＋＝8，当且仅当 即 时取等号．
16．．
解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0，
1＋p2＞0，
所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a＝a，解得
p≤，当且仅当1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2时取等号．所以p的最大值是．
三、解答题
17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，
y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．
18．解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，
故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，
则l的方程可写成y－2＝k(x－3)，其中k＜0．
令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－＋3．
S△AOB＝(2－3k)(－＋3)＝≥＝12，当且仅当(－9k)＝(－)，即k＝－时，S△AOB有最小值12，所求直线方程为
y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0．
19．解：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料用量
B原料用量
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有，目标函数z＝5x＋3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知
当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元.
20．解：(1)∵ x＜，∴ 4x－5＜0，故5－4x＞0．
y＝4x－1＋＝－(5－4x＋)＋4．
∵ 5－4x＋≥＝2，
∴ y≤－2＋4＝2，
当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)时，等号成立，
故当x＝1时，ymax＝2．
(2)∵ x＞0，y＞0，＋＝1，
∴ x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16．
当且仅当＝，且＋＝1，即时等号成立，
∴ 当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．
(3)a＝a＝·a≤＝，
当且仅当a＝，即a＝，b＝时，a有最大值．