【暑期预习】第三讲 数的再认识（2） 学案（含答案）-苏科版七年级上册
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| 名称 | 【暑期预习】第三讲 数的再认识（2） 学案（含答案）-苏科版七年级上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 519.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-10 22:11:13 | ||
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文档简介
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第三讲 数的再认识（2）
一、要点复习
什么是有理数？怎样去表示这些数？
二、知识梳理
绝对值
1.绝对值的几何意义：一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值 .数a的绝对值记作|a|.
2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5符号是负号，绝对值是5.
求字母a的绝对值：
① ② ③
相反数
相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
1.代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如+5和-5互为相反数，或者说+5是-5的相反数，-5是+5的相反数，
而单独的一个数不能说是相反数．
另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．
例如+3与-3互为相反数，而+3与-2虽然符号不同，但它们不是相反数．
2.几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
这两点是关于原点对称的．
3.求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．
一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意-a不一定是负数．
当时，；当时，；当时，.
4.互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则，
反之，若，则a与b互为相反数．
5.多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.
三、典型例题
（3）例1：根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 ( http: / / www. / s q=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&ie=utf-8&src=se_lighten_f" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )A：_____；B：____；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：_________；
（3）若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数______表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：______N：_______
【解析】（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（4）A点与-3表示的点相距4单位，其对称点为-1，由此得出与B点重合的点；
（5）对称点为-1，M点在对称点左边，离对称点个单位，N点在对称点右边，离对称点1005个单位，由此求出M、N两点表示的数。
【解答】解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5。
故答案为：1，﹣2.5；
（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5。
故答案为：﹣3或5；
（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合。
故答案为0.5；
（4）由对称点为1，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），可知，M点表示数﹣1006，N点表示数1004．
故答案为：﹣1006，1004．
变式：如图，在数轴上有A、B、C三个点．请回答下列问题：
(1)将点B向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小 是多少
(2)将点A向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数谁最小 是多少
(3)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B所表示的数比点C所表示的数大多少
(4)怎样移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同 有几种移动的方法
【解析】对于（1），点B在数轴上表示-2，将它向左移动3个单位长度后，点B在-5的位置上，再比较三点表示的数的大小关系即可，同理可解答（2）；
对于（3），首先判断出将点C向左移动6个单位长度后，点C表示的数的大小，然后用点B表示的数减去点C表示的数即可解答；
对于（4），移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同，∴有移动点B、C到A，移动点A、C到B，移动点A、B到C共3种移动方法．
【解答】解：（1）B移动后表示的数为：-2-3=-5，所以，B表示的数最小，是-5；
故答案为：B表示的数最小，是-5；
（2）A移动后表示的数是：-4+4=0，所以，B表示的数最小，是-2；
故答案为：B表示的数最小，是-2；
（3）C移动后表示的数是：3-6=-3，所以，点B所表示的数比点C所表示的数大：-2-（-3）=-2+3=1；
故答案为：B所表示的数比点C所表示的数大1；
（4）∵移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同，∴有移动点B、C到A，移动点A、C到B，移动点A、B到C共3种移动方法．
故答案为：3种；
①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度，移动后它们与B点表示的数相同；
②将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度，移动后它们与A点表示的数相同；
③将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度，移动后它们与C点表示的数相同；
例2：－2的绝对值是（ ）
A. ﹣2 B. C.2 D.
【解析】考查绝对值的概念；
【解答】解：根据负数的绝对值为该数的相反数可知，-2的绝对值为它的相反数，即2.
故选：C
变式：|﹣3|的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解析】考查绝对值的概念；
【解答】解：根据负数的绝对值为该数的相反数可知，|﹣3|的绝对值为它的相反数，即3.
故选：A
例3： =_______，=_______，=_______，=_______，
=_______，=_______.
【解析】考查了正、负数的运算，以及绝对值的含义和求法；
【解答】解：=，=，=，=，
=，=.
故答案为：；；；；；。
变式：正数公司和负数公司招聘职员，要求是经过绝对值符号“︱︱”这扇大门后，结果为正就是正数公司职员，结果为负就是负数公司职员．
（1）负数公司能招到职员吗？ （2）0能找到工作吗？
【解析】考查绝对值性质；
【解答】解：（1）负数公司不能招到职员；正数的绝对值为正数，负数的绝对值为负数；
（2）0不能找到工作；0既不是正数，也不是负数，0的绝对值是0.
故答案为：（1）不能；（2）不能。
例4：求下列数的绝对值，并用“<”号把这些绝对值连接起来．
-1.5，-3.5，2，1.5，-2.75．
【解析】考查有理数的大小比较和绝对值的应用，关键是求出每个数的绝对值；
【解答】解：|-1.5|=1.5，|-3.5|=3.5，|2|=2，|1.5|=1.5，|-2.75|=2.75，
；
故答案为：|-1.5|=1.5，|-3.5|=3.5，|2|=2，|1.5|=1.5，|-2.75|=2.75；
。
变式：用“>”、“<”、“=”连接下列两数:
∣∣___∣∣ ∣-3.5∣___-3.5
∣0∣____∣-0.58∣ ∣-5.9∣___∣-6.2∣
【解析】先求绝对值，再比较大小；
【解答】解：，，，
；
故答案为：=；；；。
例5：计算：
（1） （2）
【解析】考查了绝对值的性质以及简单的运算；
【解答】解：（1）|-2|=2；|3.2|=3.2，|-2.5|=2.5，
；
（2），，，
故答案为：（1）2.7；（2）。
例6：若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为 ．
【解析】考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键．
【解答】解：∵|x-3|+|y+2|=0，∴x-3=0，y+2=0，∴x=3，y=-2，
∴x+y的值为：3-2=1；
故答案为：1
变式：若|4－x|＋|y-2|＋|z-2|＝0，则2x-y+z的值为多少？
【解析】考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y，z的值是解决问题的关键．
【解答】解：∵|4－x|＋|y-2|＋|z-2|＝0，
∴4-x=0，y-2=0，z-2=0∴x=4，y=2，z=2，
∴2x-y+z的值为：8；
故答案为：8
例7：如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【解析】由数轴的概念求值。根据数轴可知，利用加法法则得a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，最后利用绝对值的性质，去掉绝对值的符号，化简求值。
【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
故答案为：2c。
例8：如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a和-（-a）互为相反数 B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数 D．-（+a）和+（-a）一定相等
【解析】考查相反数的定义；
【解答】解：A.+a和-（-a）互为相反数；错误，二者相等；
B.+a和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；
C.-a一定是负数；错误，当a=0时不符合；
D.-（+a）和+（-a）一定相等；正确．
故选：D。
变式：相反数不大于它本身的数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【解析】设这数是a，得到a的不等式，求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．
【解答】解：设这个数为a，根据题意，有-a≤a，所以a≥0．
故答案为：D
例9;﹣4的倒数的相反数是（ ）
A.﹣4 B.4 C. D.
【解析】利用相反数及倒数的概念解题；
【解答】解：-4的倒数是，的相反数是；
故选：D
变式：（1）5与_____互为相反数； （2）5的相反数是________；
（3）-5的相反数是_____； （4）-9是____的相反数；
【解析】考查了相反数的定义
【解答】解：负数的相反数是正数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，（1）5与-5互为相反数；（2）5的相反数是-5；（3）-5的相反数是5；（4）-9是9的相反数；
故答案为：-5；-5；5；9.
例10：化简：（1） （2）-[-(-3)] (3)-(+b) (b>0)
【解析】考查了相反数的定义；
【解答】解：，-[-(-3)] =-3，-(+b)=-b；
故答案为：；-3；-b。
变式：化简下列各式：
（1）-（+2）＝_____； （2）+（-2）＝_____； （3）-（-5）＝_____；
（4）+（+3）＝_____； （5）-（-3a）＝____； （6）- [-（-2）] ＝ ___；
【解析】考查了相反数的定义；
【解答】解：（1）-（+2）＝-2；（2）+（-2）＝-2；（3）-（-5）＝5；
（4）+（+3）＝3；（5）-（-3a）＝3a；（6）- [-（-2）]＝-2 ；
故答案为：-2；-2；5；3；3a；-2
四、易错指津
1．如果＝，则x＝________．
2．比较下列每组数的大小，用“>”“＝”或“<”填空．
(1) －3________－0.5；
(2)＋(－0.5)_______＋；
(3)－8________－12；
(4)_______－；
(5)－_______－(－3.32)．
3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，用“>” “＝”或“<”填空．
(1)a________b； (2)________；
(3) －a________－b； (4)________a；
(5) __________b．
4．在＋(－2)与－2、－(＋1)与＋1、－(－4)与＋(－4)、－(＋5)与＋(－5)、－(－6)与＋(＋6)、＋(＋7)与＋(－7)这几对数中，互为相反数的有 ( )
A．6对 B．5对 C． 4对 D．3对
5．如果＝－a，那么 ( )
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
6．的相反数是 ( )
A．3 B．－3 C． D．－
7．下列各数中，一定互为相反数的是 ( )
A．－(－5)和－ B．和
C．－(－5)和 D．和
8．若一个数大于它的相反数，则这个数是( )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
9．下列判断：①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
10．比较－与－的大小，并说明理由．
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，试求＋的值．
12．在数轴上标出3、－2.5、2、0、以及它们的相反数．
13．下面是一个正方体纸盒的展开图，请将－10、7、10、－2、－7、2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．
14．已知a与b互为相反数，则－2012a－3－2012b的值是 ( )
A．3 B．－3 C．－4013 D．0
15．已知a、b是有理数，且＝－a，＝b，>，用数轴上的点来表示a、b，下图正确的是 （ ）
16．点A1、A2、A3、…、An(n为正整数)都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1A10＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4，……依照上述规律，点A2012、A2013所表示的数分别为 ( )
A．2 012，－2 013 B．－2 012，2 013 C．1 006，－1007 D．1006，－1006
17．点A、B分别是数－3、－在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是________，点A移动的距离是_______．
18．已知A、B分别为数轴上表示互为相反数的2个点，且A、B之间的距离为8，请你结合数轴，写出这两个点所表示的数．
19．根据数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数．
(2)请问A、B两点之间的距离是多少？
(3)在数轴上画出与点A的距离为2的点(用不同于A、B的其他字母表示)，并写出这些点表示的数．
20．请在数轴上画出表示3、－2、－3.5及它们相反数的点，并分别用A、B、C、D、E、F来表示．
(1)把这6个数按从小到大的顺序用“<”号连接起来．
(2)点C与原点之间的距离是多少？点A与点C之间的距离是多少？
21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求的值．
22．出租车司机小李某天下午在东西走向的中山东路上进行运营，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行程如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6．
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多少千米？
(2)若汽车耗油量0.4 L/km，这天下午小李的车共耗油多少升？
五、课堂练习
1. ﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2.如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C
3. -的绝对值是（ ）
A．5 B． C．- D．﹣5
4.|x|=3，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
5.下列语句：正数与负数互为相反数；任何有理数都有相反数；一个数的相反数一定是负数，正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6．（1）若a，b互为相反数，则_______。
(2）若a，b互为倒数，则 ________ 。
（3）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则_______。
7．代数式﹣2a+1与1+4a互为相反数，则a= 。
8．（1）化简：= ．（2）的相反数是 。
9.化简下列各式．
①﹣（﹣5）； ②﹣（+5）； ③﹣[﹣（+5）]； ④﹣{﹣[﹣（+5）]}．
10．若|m－101|＋|n－200|＝0，则2m-n的值为多少？
六、举一反三
1．计算的结果为( )
A. B．－ C．3 D．－3
2．有关相反数的说法正确的是( )
A．－和0.25不互为相反数 B．－3是相反数
C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数
3．比较大小 ：0________－2；－5________－4；4________0.
4．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．2与－3 B．－3与－ C．2018与201.8 D．－0.2和
5．若a的相反数是－3，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．相反数等于本身的数为( )
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
7．如图1所示，表示互为相反数的两个数的点是( )
图1
A．A和C B．A和D C．B和C D．B和D
8.绝对值等于9的数是( )
A．9 B．－9 C．9或－9 D.
9.如果|a|＝－a，下列成立的是( )
A．－a一定是非负数 B．－a一定是负数
C．|a|一定是正数 D．|a|不能是0
10．下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②－a一定是一个负数；③没有绝对值为－3的数；④若|a|＝a，则a是一个正数；⑤－2018的绝对值是2018.其中正确的有________．(填序号)
11．若绝对值相等的两个数在数轴上的对应点的距离为6，则这两个数为( )
A．＋6和－6 B．－3和＋3 C．－3和＋6 D．－6和＋3
12．化简：(1)－|－5|＝________； (2)＋|－5|＝________；
(3)－|0|＝________； (4)|－5|×＝________．
13．若|x|＝|－2|，则x＝________．
14．⑦若|x－1|＋|y－2|＝0，求x和y的值．
15．在－2，－5，5，0这四个数中，最小的数是( )
A．－2 B．－5 C．5 D．0
16．比较大小：(1)－________－；(2)－(－18)________－|－20|.
17．在数轴上表示下列各数：－(－4)，－|－3.5|，＋(－)，0，＋(＋2.5)，1.并用“＜”把这些数连接起来．
图2
18．某工厂生产一批螺帽，螺帽的内径要求为1.5 cm，超过规定内径数记为正数，不足规定内径数记为负数，检查结果如下：①＋0.03 cm，②－0.018 cm，③－0.025 cm，④－0.015 cm.上述四个螺帽质量最好的是( )
A．① B．② C．③ D．④
19．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义：在数轴上，数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|.也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．
已知|x－1|＝2，求x的值．
解：在数轴上，与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和－1，即x的值为3或－1.
依照阅读材料的解法，求式子中x的值：|x＋2|＝4.
七、拓宽视野
当高斯还在上小学二年级的时候，有一天他的数学老师因为想借上课的时光处理一些自我的私事，因此打算出一道难题给学生练习。他的题目是：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？
因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的。自我也就能够藉此机会来处理未完的事情。但是才一转眼的时光，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里。老师看了，很生气地训斥高斯。
但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55。老师听了吓了一跳，就问高斯如何算出来的。高斯答道：“我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又因为11+11+11+11+11=55，所以我就是这么算出来了。”老师同学听了以后，都对高斯竖起了大拇指。之后的高斯长大后，成为了一位很伟大的数学家。
第三讲：易错指津
1．±5 2．(1)< (2)< (3)> (4)< (5)< 3．(1)< (2)> (3)> (4)> (5)＝
4．D 5．D 6．B 7．A 8．A 9．C 10． 理由略 11． b－a－c＋3
12．略 13．答案不唯一，如：横向分别是－7、10、7、－10，纵向分别是2、7、－2
14．B 15．B 16．C 17．
18．4，－4
19．(1)点A表示1，点B表示－2.5 (2)3.5 (3)图略 3－1
20．如图所示：
(1)－3.5<－3<－2<2<3<3.5 (2)3.5 6.5
21．3
22．(1)39 km (2)26L
课堂练习：1.A 2.C 3.B 4.C 5. B
6.(1)0 (2)1 (3)5 7.-1 8.(1)6,(2)m+n-p
9. 5 -5 5 -5
10.2
举一反三：
1．A
2．C
3．> < >
4．D
5．C .
6．C 7．A
8．C 9．A
10．③⑤
11．B12．(1)－5 (2)5 (3)0 (4)6
13．2或－2 14．x＝1，y＝2
15．B
16．(1)> (2)>
17．解：在数轴上表示如图所示：
－|－3.5|<＋(－)<0<1<＋(＋2.5)<－(－4)．
18．D
19．解：在数轴上，与－2对应的点的距离为4的点表示的数为2和－6，即x的值为2或－6.
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第三讲 数的再认识（2）
一、要点复习
什么是有理数？怎样去表示这些数？
二、知识梳理
绝对值
1.绝对值的几何意义：一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值 .数a的绝对值记作|a|.
2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5符号是负号，绝对值是5.
求字母a的绝对值：
① ② ③
相反数
相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
1.代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如+5和-5互为相反数，或者说+5是-5的相反数，-5是+5的相反数，
而单独的一个数不能说是相反数．
另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．
例如+3与-3互为相反数，而+3与-2虽然符号不同，但它们不是相反数．
2.几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
这两点是关于原点对称的．
3.求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．
一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意-a不一定是负数．
当时，；当时，；当时，.
4.互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则，
反之，若，则a与b互为相反数．
5.多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.
三、典型例题
（3）例1：根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 ( http: / / www. / s q=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&ie=utf-8&src=se_lighten_f" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )A：_____；B：____；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：_________；
（3）若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数______表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：______N：_______
【解析】（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（4）A点与-3表示的点相距4单位，其对称点为-1，由此得出与B点重合的点；
（5）对称点为-1，M点在对称点左边，离对称点个单位，N点在对称点右边，离对称点1005个单位，由此求出M、N两点表示的数。
【解答】解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5。
故答案为：1，﹣2.5；
（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5。
故答案为：﹣3或5；
（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合。
故答案为0.5；
（4）由对称点为1，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），可知，M点表示数﹣1006，N点表示数1004．
故答案为：﹣1006，1004．
变式：如图，在数轴上有A、B、C三个点．请回答下列问题：
(1)将点B向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小 是多少
(2)将点A向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数谁最小 是多少
(3)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B所表示的数比点C所表示的数大多少
(4)怎样移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同 有几种移动的方法
【解析】对于（1），点B在数轴上表示-2，将它向左移动3个单位长度后，点B在-5的位置上，再比较三点表示的数的大小关系即可，同理可解答（2）；
对于（3），首先判断出将点C向左移动6个单位长度后，点C表示的数的大小，然后用点B表示的数减去点C表示的数即可解答；
对于（4），移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同，∴有移动点B、C到A，移动点A、C到B，移动点A、B到C共3种移动方法．
【解答】解：（1）B移动后表示的数为：-2-3=-5，所以，B表示的数最小，是-5；
故答案为：B表示的数最小，是-5；
（2）A移动后表示的数是：-4+4=0，所以，B表示的数最小，是-2；
故答案为：B表示的数最小，是-2；
（3）C移动后表示的数是：3-6=-3，所以，点B所表示的数比点C所表示的数大：-2-（-3）=-2+3=1；
故答案为：B所表示的数比点C所表示的数大1；
（4）∵移动点A、B、C中的两个点，使三个点表示的数相同，∴有移动点B、C到A，移动点A、C到B，移动点A、B到C共3种移动方法．
故答案为：3种；
①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度，移动后它们与B点表示的数相同；
②将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度，移动后它们与A点表示的数相同；
③将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度，移动后它们与C点表示的数相同；
例2：－2的绝对值是（ ）
A. ﹣2 B. C.2 D.
【解析】考查绝对值的概念；
【解答】解：根据负数的绝对值为该数的相反数可知，-2的绝对值为它的相反数，即2.
故选：C
变式：|﹣3|的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解析】考查绝对值的概念；
【解答】解：根据负数的绝对值为该数的相反数可知，|﹣3|的绝对值为它的相反数，即3.
故选：A
例3： =_______，=_______，=_______，=_______，
=_______，=_______.
【解析】考查了正、负数的运算，以及绝对值的含义和求法；
【解答】解：=，=，=，=，
=，=.
故答案为：；；；；；。
变式：正数公司和负数公司招聘职员，要求是经过绝对值符号“︱︱”这扇大门后，结果为正就是正数公司职员，结果为负就是负数公司职员．
（1）负数公司能招到职员吗？ （2）0能找到工作吗？
【解析】考查绝对值性质；
【解答】解：（1）负数公司不能招到职员；正数的绝对值为正数，负数的绝对值为负数；
（2）0不能找到工作；0既不是正数，也不是负数，0的绝对值是0.
故答案为：（1）不能；（2）不能。
例4：求下列数的绝对值，并用“<”号把这些绝对值连接起来．
-1.5，-3.5，2，1.5，-2.75．
【解析】考查有理数的大小比较和绝对值的应用，关键是求出每个数的绝对值；
【解答】解：|-1.5|=1.5，|-3.5|=3.5，|2|=2，|1.5|=1.5，|-2.75|=2.75，
；
故答案为：|-1.5|=1.5，|-3.5|=3.5，|2|=2，|1.5|=1.5，|-2.75|=2.75；
。
变式：用“>”、“<”、“=”连接下列两数:
∣∣___∣∣ ∣-3.5∣___-3.5
∣0∣____∣-0.58∣ ∣-5.9∣___∣-6.2∣
【解析】先求绝对值，再比较大小；
【解答】解：，，，
；
故答案为：=；；；。
例5：计算：
（1） （2）
【解析】考查了绝对值的性质以及简单的运算；
【解答】解：（1）|-2|=2；|3.2|=3.2，|-2.5|=2.5，
；
（2），，，
故答案为：（1）2.7；（2）。
例6：若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为 ．
【解析】考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键．
【解答】解：∵|x-3|+|y+2|=0，∴x-3=0，y+2=0，∴x=3，y=-2，
∴x+y的值为：3-2=1；
故答案为：1
变式：若|4－x|＋|y-2|＋|z-2|＝0，则2x-y+z的值为多少？
【解析】考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y，z的值是解决问题的关键．
【解答】解：∵|4－x|＋|y-2|＋|z-2|＝0，
∴4-x=0，y-2=0，z-2=0∴x=4，y=2，z=2，
∴2x-y+z的值为：8；
故答案为：8
例7：如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【解析】由数轴的概念求值。根据数轴可知，利用加法法则得a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，最后利用绝对值的性质，去掉绝对值的符号，化简求值。
【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
故答案为：2c。
例8：如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a和-（-a）互为相反数 B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数 D．-（+a）和+（-a）一定相等
【解析】考查相反数的定义；
【解答】解：A.+a和-（-a）互为相反数；错误，二者相等；
B.+a和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；
C.-a一定是负数；错误，当a=0时不符合；
D.-（+a）和+（-a）一定相等；正确．
故选：D。
变式：相反数不大于它本身的数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【解析】设这数是a，得到a的不等式，求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．
【解答】解：设这个数为a，根据题意，有-a≤a，所以a≥0．
故答案为：D
例9;﹣4的倒数的相反数是（ ）
A.﹣4 B.4 C. D.
【解析】利用相反数及倒数的概念解题；
【解答】解：-4的倒数是，的相反数是；
故选：D
变式：（1）5与_____互为相反数； （2）5的相反数是________；
（3）-5的相反数是_____； （4）-9是____的相反数；
【解析】考查了相反数的定义
【解答】解：负数的相反数是正数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，（1）5与-5互为相反数；（2）5的相反数是-5；（3）-5的相反数是5；（4）-9是9的相反数；
故答案为：-5；-5；5；9.
例10：化简：（1） （2）-[-(-3)] (3)-(+b) (b>0)
【解析】考查了相反数的定义；
【解答】解：，-[-(-3)] =-3，-(+b)=-b；
故答案为：；-3；-b。
变式：化简下列各式：
（1）-（+2）＝_____； （2）+（-2）＝_____； （3）-（-5）＝_____；
（4）+（+3）＝_____； （5）-（-3a）＝____； （6）- [-（-2）] ＝ ___；
【解析】考查了相反数的定义；
【解答】解：（1）-（+2）＝-2；（2）+（-2）＝-2；（3）-（-5）＝5；
（4）+（+3）＝3；（5）-（-3a）＝3a；（6）- [-（-2）]＝-2 ；
故答案为：-2；-2；5；3；3a；-2
四、易错指津
1．如果＝，则x＝________．
2．比较下列每组数的大小，用“>”“＝”或“<”填空．
(1) －3________－0.5；
(2)＋(－0.5)_______＋；
(3)－8________－12；
(4)_______－；
(5)－_______－(－3.32)．
3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，用“>” “＝”或“<”填空．
(1)a________b； (2)________；
(3) －a________－b； (4)________a；
(5) __________b．
4．在＋(－2)与－2、－(＋1)与＋1、－(－4)与＋(－4)、－(＋5)与＋(－5)、－(－6)与＋(＋6)、＋(＋7)与＋(－7)这几对数中，互为相反数的有 ( )
A．6对 B．5对 C． 4对 D．3对
5．如果＝－a，那么 ( )
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
6．的相反数是 ( )
A．3 B．－3 C． D．－
7．下列各数中，一定互为相反数的是 ( )
A．－(－5)和－ B．和
C．－(－5)和 D．和
8．若一个数大于它的相反数，则这个数是( )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
9．下列判断：①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
10．比较－与－的大小，并说明理由．
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，试求＋的值．
12．在数轴上标出3、－2.5、2、0、以及它们的相反数．
13．下面是一个正方体纸盒的展开图，请将－10、7、10、－2、－7、2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．
14．已知a与b互为相反数，则－2012a－3－2012b的值是 ( )
A．3 B．－3 C．－4013 D．0
15．已知a、b是有理数，且＝－a，＝b，>，用数轴上的点来表示a、b，下图正确的是 （ ）
16．点A1、A2、A3、…、An(n为正整数)都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1A10＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4，……依照上述规律，点A2012、A2013所表示的数分别为 ( )
A．2 012，－2 013 B．－2 012，2 013 C．1 006，－1007 D．1006，－1006
17．点A、B分别是数－3、－在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是________，点A移动的距离是_______．
18．已知A、B分别为数轴上表示互为相反数的2个点，且A、B之间的距离为8，请你结合数轴，写出这两个点所表示的数．
19．根据数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数．
(2)请问A、B两点之间的距离是多少？
(3)在数轴上画出与点A的距离为2的点(用不同于A、B的其他字母表示)，并写出这些点表示的数．
20．请在数轴上画出表示3、－2、－3.5及它们相反数的点，并分别用A、B、C、D、E、F来表示．
(1)把这6个数按从小到大的顺序用“<”号连接起来．
(2)点C与原点之间的距离是多少？点A与点C之间的距离是多少？
21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求的值．
22．出租车司机小李某天下午在东西走向的中山东路上进行运营，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行程如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6．
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多少千米？
(2)若汽车耗油量0.4 L/km，这天下午小李的车共耗油多少升？
五、课堂练习
1. ﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2.如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C
3. -的绝对值是（ ）
A．5 B． C．- D．﹣5
4.|x|=3，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
5.下列语句：正数与负数互为相反数；任何有理数都有相反数；一个数的相反数一定是负数，正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6．（1）若a，b互为相反数，则_______。
(2）若a，b互为倒数，则 ________ 。
（3）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则_______。
7．代数式﹣2a+1与1+4a互为相反数，则a= 。
8．（1）化简：= ．（2）的相反数是 。
9.化简下列各式．
①﹣（﹣5）； ②﹣（+5）； ③﹣[﹣（+5）]； ④﹣{﹣[﹣（+5）]}．
10．若|m－101|＋|n－200|＝0，则2m-n的值为多少？
六、举一反三
1．计算的结果为( )
A. B．－ C．3 D．－3
2．有关相反数的说法正确的是( )
A．－和0.25不互为相反数 B．－3是相反数
C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数
3．比较大小 ：0________－2；－5________－4；4________0.
4．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．2与－3 B．－3与－ C．2018与201.8 D．－0.2和
5．若a的相反数是－3，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．相反数等于本身的数为( )
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
7．如图1所示，表示互为相反数的两个数的点是( )
图1
A．A和C B．A和D C．B和C D．B和D
8.绝对值等于9的数是( )
A．9 B．－9 C．9或－9 D.
9.如果|a|＝－a，下列成立的是( )
A．－a一定是非负数 B．－a一定是负数
C．|a|一定是正数 D．|a|不能是0
10．下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②－a一定是一个负数；③没有绝对值为－3的数；④若|a|＝a，则a是一个正数；⑤－2018的绝对值是2018.其中正确的有________．(填序号)
11．若绝对值相等的两个数在数轴上的对应点的距离为6，则这两个数为( )
A．＋6和－6 B．－3和＋3 C．－3和＋6 D．－6和＋3
12．化简：(1)－|－5|＝________； (2)＋|－5|＝________；
(3)－|0|＝________； (4)|－5|×＝________．
13．若|x|＝|－2|，则x＝________．
14．⑦若|x－1|＋|y－2|＝0，求x和y的值．
15．在－2，－5，5，0这四个数中，最小的数是( )
A．－2 B．－5 C．5 D．0
16．比较大小：(1)－________－；(2)－(－18)________－|－20|.
17．在数轴上表示下列各数：－(－4)，－|－3.5|，＋(－)，0，＋(＋2.5)，1.并用“＜”把这些数连接起来．
图2
18．某工厂生产一批螺帽，螺帽的内径要求为1.5 cm，超过规定内径数记为正数，不足规定内径数记为负数，检查结果如下：①＋0.03 cm，②－0.018 cm，③－0.025 cm，④－0.015 cm.上述四个螺帽质量最好的是( )
A．① B．② C．③ D．④
19．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义：在数轴上，数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|.也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．
已知|x－1|＝2，求x的值．
解：在数轴上，与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和－1，即x的值为3或－1.
依照阅读材料的解法，求式子中x的值：|x＋2|＝4.
七、拓宽视野
当高斯还在上小学二年级的时候，有一天他的数学老师因为想借上课的时光处理一些自我的私事，因此打算出一道难题给学生练习。他的题目是：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？
因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的。自我也就能够藉此机会来处理未完的事情。但是才一转眼的时光，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里。老师看了，很生气地训斥高斯。
但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55。老师听了吓了一跳，就问高斯如何算出来的。高斯答道：“我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又因为11+11+11+11+11=55，所以我就是这么算出来了。”老师同学听了以后，都对高斯竖起了大拇指。之后的高斯长大后，成为了一位很伟大的数学家。
第三讲：易错指津
1．±5 2．(1)< (2)< (3)> (4)< (5)< 3．(1)< (2)> (3)> (4)> (5)＝
4．D 5．D 6．B 7．A 8．A 9．C 10． 理由略 11． b－a－c＋3
12．略 13．答案不唯一，如：横向分别是－7、10、7、－10，纵向分别是2、7、－2
14．B 15．B 16．C 17．
18．4，－4
19．(1)点A表示1，点B表示－2.5 (2)3.5 (3)图略 3－1
20．如图所示：
(1)－3.5<－3<－2<2<3<3.5 (2)3.5 6.5
21．3
22．(1)39 km (2)26L
课堂练习：1.A 2.C 3.B 4.C 5. B
6.(1)0 (2)1 (3)5 7.-1 8.(1)6,(2)m+n-p
9. 5 -5 5 -5
10.2
举一反三：
1．A
2．C
3．> < >
4．D
5．C .
6．C 7．A
8．C 9．A
10．③⑤
11．B12．(1)－5 (2)5 (3)0 (4)6
13．2或－2 14．x＝1，y＝2
15．B
16．(1)> (2)>
17．解：在数轴上表示如图所示：
－|－3.5|<＋(－)<0<1<＋(＋2.5)<－(－4)．
18．D
19．解：在数轴上，与－2对应的点的距离为4的点表示的数为2和－6，即x的值为2或－6.
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