【暑期预习】第十四讲 一元一次方程复习 学案（含答案）-苏科版七年级上册

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第十四讲 一元一次方程复习
一、要点复习
（1）设计目的：理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；会根据实际问题列方程解应用题．
（2）基本方法：知识点提问、典型例题回顾
二、知识梳理
1.一元一次方程及一元一次方程的解
（1）方程都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）。像这样的方程，叫做一元一次方程。例如：2x=6 x-7=3 5-2x=7+x
（2）能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
求方程解的过程叫做解方程。
等式的性质
等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
3.解方程的一般步骤
（1）去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
（2）去括号(按去括号法则和分配律)
（3）移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
（4）合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
（5）系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解)
4.列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案．（注意带上单位）
三、典型例题
例 1：下列方程中是一元一次方程的是____________________
(1) 5+3=8 (2)x－3<0 (3)3x—2 （4）
(5)2x－y=1 (6)x=0 (7) (8)
【解析】考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式；一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0；
【解答】解：（1）5+3=8是等式；（2）x－3<0 是不等式；（3）3x—2 是代数式；
是分式方程；（5）2x－y=1 是二元一次方程；（6）是一元一次方程；
（7）是一元二次方程；（8）是一元一次方程；
故答案为：（6），（8）.
例2：解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【解析】考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
【解答】解：（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）。
变式：关于x的方程与的解互为相反数．求m的值；
【解析】将m看做已知数分别表示出两方程的解，根据互为相反数两数之和为0列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
【解答】解：，
移项合并得：，
解得：，
根据题意得：，
解得：；
故答案为：。
例3：某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要x张做盒身，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程；
【解答】解：由题意可得，
，故选：B．
故答案为：B
变式：一个两位数，个位上的数与十位上的数之和为12，若交换个位与十位的位置，则得到的两位数为原来的，这个两位数为 ．
【解析】考查一元一次方程的数字问题，根据题意找出等量关系即可；
【解答】解：设个位上的数为，则十位上的数为，根据题意得：
解得：
十位上的数为：
答：这个两位数为84；
故答案为：84.
例4：某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：① 西装和领带都按定价的90％付款；② 买一套西装送一条领带．现某客户要到该服装厂购买x套西装（x≥1），领带条数是西装套数的4倍多5．
（1）若该客户按方案①购买，需付款_____________________元．（用含x的代数式表示）
若该客户按方案②购买，需付款_____________________元．（用含x的代数式表示）
（2）若x=10，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算
【解析】考查一元一次方程的应用，明白领带和西装的数量关系以及商家的活动，根据方案计算；
【解答】解：（1）客户要到该服装厂购买x套西装（x≥1），领带条数是西装套数的4倍多5．
领带条数是，
若该客户按方案①购买，需付款（元）；
若该客户按方案②购买，需付款（元）；
若x=10，该客户按方案①购买，则（元），
该客户按方案②购买，则（元），
，方案②合算；
故答案为：（1），；（2）方案②合算。
变式：小邢和小华相约放学后去公园跑步，她们一起以4km/h的速度从学校出发，走了15分钟后小邢发现忘了带作业，就以5km/h的速度回学校去拿，到达学校后，又用了6分钟取作业，之后便以同样的速度去追赶小华，结果在距公园3km处追上了小华，试求学校与公园的距离．
【解析】根据路程＝速度×时间，计算出走了15分钟后，二者与学校的距离，根据时间＝路程÷速度，计算出小邢返回学校所用的时间，两段时间相加，就是二者分开后小华走的时间，根据小华走的速度和时间，计算出二者分开后小华走的距离，设小邢追上小华所用的时间为th，根据二者的速度，时间，路程之间的关系，列出关于t的一元一次方程，解之，求出这段时间小华走的距离，四段距离之和即为学校与公园的距离，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
走了15分钟后，二者与学校的距离为：，
小邢返回学校所用的时间，
二者分开后小华走的时间为，
二者分开后小华走的距离为：4×0.3＝1.2（km），
设小邢追上小华所用的时间为th，
根据题意得：5t＝4t+1+1.2，
解得：t＝2.2，
这段时间小华走的距离为：4×2.2＝8.8（km），
学校与公园的距离为：8.8+1+1.2+3＝14（km），
答：学校与公园的距离为14km．
故答案为：学校与公园的距离为14km．
四、易错指津
1．解方程：
（1）．
（2）
（3）｜3x-2｜-4=0
2.方程和方程的解相同，求a的值．
3.小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小明与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．
4．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？
五、课堂练习
一、选择题
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )．
A． B． C． D．x＝0
2. 下列变形错误的是( )
A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x－2 =2x + 1得x= 3
C.由4－3x = 4x－3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= －
3. 某书中一道方程题：，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是，那么□处应该是数字( )．
A．-2.5 B．2.5 C．5 D．7
4. 将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( )
A 3x＋2－2x＋1 B 3x＋2－4x＋1 C 3x＋2－4x－2 D 3x＋2－4x＋2
5. 当x=2时，代数式ax－2x的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ）
A.－8 B.－4 C.－2 D.8
6．在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
8.某单位元旦期间组织员工到正定出游，原计划租用28座客车若干辆，但有4人没有座位，若租用同样数量的33座客车，只有一辆空余了11个座位，其余客车都已坐满，则该单位组织出游的员工有（　　）
　 A．80人 B． 84人 C． 88人 D． 92人
二、填空题
9．在0，－1，3中， 是方程3x－9=0的解.
10．如果3x＝－6是关于x的一元一次方程，那么a＝ ，方程的解 .
11.若关于x的方程2x+a=5的解为x=﹣1，则a=　　．
12．由3x＝2x＋1变为3x－2x＝1，是方程两边同时加上 .
13．“代数式9－x的值比代数式－1的值小6”用方程表示为 .
14．当x＝ 时，代数式与互为相反数.
15．有两桶水，甲桶水装有180升，乙桶装有150升，要使两桶水的重量相同，则甲桶应向乙桶倒水 升.
16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 .
三、解答题
17．（1）；
（2）．
18．已知代数式的值为0，求代数式的值．
19.在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配
六、举一反三
一、选择题
1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( )．
A．±1 B．1 C．-1 D．0或1
2．已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( )．
A．y＝1 B．y＝-1 C．y＝0 D．方程无解
3．已知，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4.甲数是2013，甲数是乙数的还多1．设乙数为x，则可列方程为（　　）
　 A．4（x﹣1）=2013 B．4x﹣1=2013 C． x+1=2013 D． （x+1）=2013
5．一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（　　）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
7．某书中一道方程题：，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x＝﹣2.5，那么□处应该是数字( )．
A．-2.5 B．2.5 C．5 D．7
8. 已知：，，，，…，
若符合前面式子的规律，则a＋b的值为（ ）．
A． 179 B． 140 C． 109 D． 210
二、填空题
9．已知方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为________．
10．已知和互为相反数，则________．
11．当x＝________时，代数式的值为-1．
12．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元．
13. 20××年3月份有5个星期六，它们的日期之和是80，若当月第三个星期六的日期为x，那么x=　　．
14．有一列数，按一定的规律排列：―1，2，―4，8，―16，32，―64，128，…，其中某三个相邻数之和为384，这三个数分别是 ．
15．已知关于的方程和方程有相同的解，则出该方程的解为 ．
16.方程|x﹣k|=1的一个解是x=2，那么k=　 　．
七、拓宽视野
数学家维纳的年龄，全题如下： 我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，维纳的年龄是多少 解答：咋一看，这道题很难，其实不然。设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=第十四讲 一元一次方程复习
【答案与解析】
1．【解析】
解：（1）整理，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得．
（2）原方程可化为：
解得：x=
（3）原式可化为：｜3x-2｜=4
由，可得：；由，可得：
所以原方程的解为：x=2，x=-；
2. 【解析】
解：解方程，
分母化为整数可得：，
去分母，得：2（17﹣20x）﹣6=8+10x，
去括号，得：34﹣40x﹣6=8+10x，
移项、合并同类项，得：﹣50x=﹣20，
系数化为1，得：x=，
根据题意，将x=代入方程，
得：，
，
，
，
a=．
3.【解析】
解：设小明家到学校的距离为x米，
由题意，得+40=，
解得x=6000．
答：小明家到学校的距离为6000米．
4．【解析】
解：（1）①解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机（50－）台，根据题意，得
1500＋2100（50－）=90000．
解得： =25，则50－=25．
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台．
②设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机（50－ ）台，根据题意，得
1500＋2500（50－）=90000．
解得： =35，则50－=15．
故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
③设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机（50－）台，根据题意，得
2100＋2500（50－）=90000．
解得： =87.5（不合题意）．
故此种方案不可行．
（2）上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25=8750元，
第二种方案可获利：150×35＋250×15=9000元，
因为8750<9000，故应选择第二种进货方案．
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】D
【解析】由，得
3.【答案】C
【解析】把x＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．
4.【答案】D
【解析】
5．【答案】B
【解析】将代入得：，得；将代入得：
6．【答案】B
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故选B．
7．【答案】C
【解析】设该队获胜x场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x＝6．故选C．
8.【答案】C.
【解析】设租用28座客车x辆．则28x+4=33x﹣11，解得 x=3，则28x+4=28×3+4=88（人），
即该单位组织出游的员工有88人．
二、填空题
9. 【答案】3；
【解析】代入验证即可．
10. 【答案】，-2；
【解析】，
11.【答案】7.
【解析】把x=﹣1代入方程2x+a=5，得：﹣2+a=5，解得：a=7．
12. 【答案】-2x；
13. 【答案】；
14. 【答案】；
【解析】，解得：
15. 【答案】15；
【解析】设倒升，得：，解得：
16. 【答案】3000.
【解析】设标价为元，则,解得：
三、解答题
17．【解析】
解：(1)去分母，得3x-0.4＝2x+1.4．
移项，得3x-2x＝1.4+0.4．
合并同类项，得x＝1.8．
(2)去分母，得12x-3(x-1)＝4(x+3)．
去括号，得12x-3x+3＝4x+12．
移项，得12x-3x-4x＝12-3．
合并同类项．得5x＝9．
系数化为1，得．
18．【解析】
解：由题意，得．去分母，得．
移项合并同类项，得．系数化为1，得y＝2．
当y＝2时，，
即若代数式的值为0，则代数式的值为．
19.【解析】
解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，
依题意得：（x+2）×2=118﹣x，
解得：x=38．
答：七年级收到的征文有38篇．
20．【解析】
解：设两人一起做x天，据题意，得：
，解得x＝2．
师傅应得报酬为×2×450＝225(元)．
徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．
答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】由题意得|m|＝1，且m+1≠0，所以m＝1，故选B．
2. 【答案】C
【解析】由x＝1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)＝2ay+4a中，求出y的值．
3. 【答案】D
【解析】由原式可得：，将“”看作整体，合并化简即可．
4.【答案】C.
【解析】设乙数为x，由题意得，x+1=2013．故选C．
5. 【答案】A
【解析】解：∵两城距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，
∴顺风速度=，逆风速度=，
∵风速为24千米/时，
∴可列方程为：
6．【答案】C
【解析】解：设最多降价x元时商店老板才能出售．则可得：×（1+20%）+x=360
解得：x=120．
7．【答案】C
【解析】把x＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．
8．【答案】C
【解析】观察规律可得b＝10，a＝b2－1＝99，所以a＋b＝109．
二、填空题
9．【答案】x＝1
【解析】首先将原方程整理成的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0，所以a＝5，代入方程中即可求出x的值．
10．【答案】-8
【解析】两数互为相反数，则和为0，由非负数的性质可知m-n+4＝0，且n-3＝0．从而得m＝-1，n＝3．
11．【答案】
【解析】由题意可得方程，化简方程可解出．
12．【答案】40
【解析】解：设标价为元，则有，解得：
13.【答案】16.
【解析】根据当月第三个星期六的日期为x，依题意得：x﹣14+x﹣7+x+7+x+x+14=80
解得：x=16，即这个月第三个星期三是16号．
14．【答案】128，－256，512
【解析】通过观察可得：第个数为：，所以第9,10个数分别为：，经检验满足题意．
15．【答案】
【解析】分别解得这两个关于x的方程的解为，，由它们相等得，代入其中一解可得答案．
16．【答案】1或3．
【解析】解：由题意得，|2﹣k|=1，
则2﹣k=1或2﹣k=﹣1，
解得，k=1或k=3．
故答案为：1或3．
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