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第十讲 字母表示数的加减
一、要点复习
(1)设计目的:会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的化简及求值.
(2)基本方法:知识点提问、典型例题回顾
二、知识梳理
1. 同类项
(1)所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项;
(2)所有的常数项都是同类项.
2. 合并同类项
(1)定义:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项;
(2)合并同类项法则:同类项的系数相加作为新的系数,字母和字母的指数不变.
3. 去括号、添括号法则
(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里的各项都不改变符号;括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里的各项都改变符号.
(2)括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不改变符号;括号前面是“—”号,括到括号里的各项都改变符号.
4. 整式加减的一般步骤
(1)如果有括号,那么先去括号;
(2)如果有同类项,再合并同类项.
三、典型例题
例1:合并同类项
(1) (2)
(3) (4)
【解析】根据去括号法则进行去括号,括号前面是加号时,去掉括号,括号内的算式不变;括号前面是减号时,去掉括号,括号内加号变减号,减号变加号.
【解答】(1)原式=2a-3a+b= -a+b;
(2)原式=3x-3-2x=x-3;
(3)原式=5x-3y-4x+8y=x+5y;
(4)原式=x-2x+y+3x-2y=2x-y;
故答案为:(1)-a+b;(2)x-3;(3)x+5y;(4)2x-y;
变式:合并同类项
(1) (2)
【解析】先去括号,再合并同类项即可;
【解答】(1)原式=9a2-6ab-8a2+2ab=a2-4ab;
原式=2x-(2x+6y-3x+6y)=2x+x-12y=3x-12y;
故答案为:(1)a2-4ab;(2)3x-12y;
例2:求下列多项式的值:
,其中x=2,;
【解析】先合并同类项,然后代入求值即可;
【解答】原式=.当x=2,时,原式=;
故答案为: ;
变式:已知(a+2)2+|a+b+5|=0,求3a2b一[2a2b-(2ab-a2b)-4a2]-ab的值.
【解析】由平方与绝对值的非负性,得出a与b的值,先化简再求值;
【解答】∵(a+2)2≥0,|a+b+5|≥0,又(a+2)2+|a+b+5|=0;
∴a+2=0且a+b+5=0;
∴a=-2,b=-3;
原式=3a2b-(2a2b-2ab+a2b-4a2]-ab=4a2+ab=4×(-2)2+(-2)×(-3)=16+6=22;
故答案为:22;
例3:某地电话拨号上网有两种方式,用户可以任选其一:
A.计时制:0.05元/分;
B.包月制:50元/月(限一部个人住宅电话上网).
此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为x小时,请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用;
(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时,你认为采用哪种方式较为合算?
【解析】(1)第一种是费用=每分钟的费用×时间+通信费;第二种的费用=月费﹢通信费;
(2)分别计算x=20时对应的费用,再进行比较;
【解答】(1)采用计时制应付费用为:0.05x·60﹢0.02·x·60=4.2x(元);采用包月制应付的费用为:50﹢0.02·x·60=(50﹢1.2x)(元);
(2)若一个月的上网时间为20个小时,代入到(1)中的代数式求值,则计时制应付的费用为84元,包月制应付的费用为74元,很明显,包月制较为合算;
故答案为:(1)计时制应付费用为:4.2x元,包月制应付费用为:(50+1.2x)元;
(2)包月制比较合算;
例4:已知A=5a2b+4ab+a,B=4a2b+5ab-3a,求3B-2(3B-A)的值,其中a=-2,b=-1.
【解析】先将3B-2(3B-A)化简为2A-3B,然后用2(5a2b+4ab+a)-3(4a2b+5ab-3a)代替,然后去括号,合并同类项,得出结果-2a2b-7ab+11a,然后代数式求值即可;
【解答】3B-2(3B-A)=2A-3B=2(5a2b+4ab+a)-3(4a2b+5ab-3a)=-2a2b-7ab+11a;
因为a= -2,b= -1;当a= -2,b=-1时,原式=-2×(-2)2×(-1)-7×(-2)×(-1)+11×(-2)=8-14-22=-28;
故答案为:-28;
变式:若(x2+ax-2y+7)―(bx2―2x+9 y-1)的值与字母x的取值无关,求a、b的值.
【解析】将原式化简,组成“Ax2+Bx-Cy+常数”的形式,根据题意可知x的二次方系数之差为0,x的一次方系数之差也为0,由此可解出a,b的值;
【解答】(x2+ax-2y+7)―(bx2―2x+9 y-1)=x2+ax-2y+7-bx2﹢2x-9 y﹢1
=(1-b)x2+(a﹢2)x-11y﹢8;
∵原式的值与字母x的取值无关,
∴1-b=0,a﹢2=0,
∴a=-2,b=1;
故答案为:a=-2,b=1;
例5:若多项式的值与字母x无关,试求多项式的值
【解析】对多项式进行合并同类项,然后由多项式的值与字母x无关,使得x的系数为0,得出关于a,b的方程组解出a,b,再化简代值计算得值;
【解答】2x2-ax+3y-b+bx2+2x-6y+5=(2+b)x2+(2-a)x-3y+5-b;
∵多项式2x2-ax+3y-b+bx2+2x-6y+5的值与字母x无关,
∴2+b=0,2-a=0,
解得b=-2,a=2;
6(a2-2ab-b2)-(2a2-3ab+4b2)
=6a2-12ab-6b2-2a2﹢3ab-4b2
=4a2-9ab-10b2
=4×22-9×2×(-2)-10×(-2)2
=12
故答案为:12;
四、易错指津
1.计算:(2mn﹣m2+n2)+(m2﹣n2+mn).
2.已知:ax2+2xy-x与2x2-3bxy+3y的差中不含2次项,求a2-15ab+9b2的值.
3.先化简,再求值:(﹣4x2+2x﹣8y)﹣(﹣x﹣2y),其中x=,y=2012.
五、课堂练习
一、选择题
1.下列各式中去括号正确的是( ).
A. a2﹣(2a﹣b2+b)=a2﹣2a﹣b2+b
B. ﹣(2x+y)﹣(﹣x2+y2)=﹣2x+y+x2﹣y2
C. 2x2﹣3(x﹣5)=2x2﹣3x+5
D. ﹣a3﹣[﹣4a2+(1﹣3a)]=﹣a3+4a2﹣1+3a
2. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是( ) .
A.-5x-1 B.5x+1 C.-13x-1 D.13x+1
3.代数式的值( ).
A.与x,y都无关 B.只与x有关 C.只与y有关 D.与x、y都有关
4.如果,那么代数式的值为( ).
A. 6 B.8 C. -6 D. -8
5.化简5(2x﹣3)﹣4(3﹣2x)之后,可得下列哪一个结果( ).
A. 2x﹣27 B. 8x﹣15 C. 12x﹣15 D. 18x﹣27
6. 已知有理数在数轴上的位置如图所示,且,则代数式的值为( ).
A. B . 0 C. D.
7.﹣[x﹣(y﹣z)]去括号后应得( )
A.﹣x+y﹣z B.﹣x﹣y+z C.﹣x﹣y﹣z D.﹣x+y+z
8.如果对于某一个特定范围内的任意允许值,的值恒为一个常数,则此值为 ( ).A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
9.
.
10.计算:2(a﹣b)+3b= .
11. 当时,代数式的值等于-17,那么当时,代数式的值等于 .
12. 有理数a,-b在数轴上的位置如图所示,化简= .
13. 任意一个三位数,减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除.
六、举一反三
一、选择题
1.下列各组中,不是同类项的是( )
A. 52与25 B. ﹣ab与ba C. 0.2a2b与﹣a2b D. a2b3与﹣a3b2
2.代数式的值( ).
A.与x,y都无关 B.只与x有关 C.只与y有关 D.与x、y都有关
3. 三角形的一边长等于m+n,另一边比第一边长m-3,第三边长等于2n-m,这个三角形的周长等于( ).
A.m+3n-3 B.2m+4n-3 C.n-n-3 D.2,n+4n+3
4. 若为自然数,多项式的次数应为( ).
A. B. C.中较大数 D.
5.下列运算中,正确的是( )
A.3a+2b=5ab B.2a3+3a2=5a5 C.5a2﹣4a2=1 D.5a2b﹣5ba2=0
6. 如图所示,是一个正方体纸盒的平面展开图,其中的五个正方形内都有一个单项式,当折成正方体后,“ ”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项,则“ ”所代表的单项式可能是( ).
A.6 B.d C.c D.e
7.若A是一个七次多项式,B也是一个七次多项式,则A+B一定是( ).
A.十四次多项式 B.七次多项式
C.不高于七次的多项式或单项式 D.六次多项式
二、填空题
8. (1);(2);
(3)
9. 找出多项式中的同类项 、 、 。
10.若与﹣3ab3﹣n的和为单项式,则m+n= .
11.当k= 时,代数式中不含xy项.
12.按下面程序计算:输入x=3,则输出的答案是 .
13.把正整数依次排成以下数阵:
2, 4 , 7,… …
5, 8,… …
6, 9, … …
10, … …
如果规定横为行,纵为列,如8是排在2行3列,则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
14.若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项,求3m+n的值.
15.先化简,再求值.
(1),其中x=-2,;
(2).其中a=1,b=-2.
16.要使关于的多项式不含三次项,求的值.
七、拓宽视野
国王做了一顶金王冠,他怀疑工匠用银子偷换了一部分金子,便要阿基米德鉴定它是不是纯金制的,且不能损坏王冠。阿基米德捧着这顶王冠整天苦苦思索,有一天,阿基米德去浴室洗澡,他跨入浴桶,随着身子浸入浴桶,一部分水就从桶边溢出,阿基米德看到这个现象,头脑中像闪过一道闪电,“我找到了!”
阿基米德拿一块金块和一块重量相等的银块,分别放入一个盛满水的容器中,发现银块排出的水多得多。于是阿基米德拿了与王冠重量相等的金块,放入盛满水的容器里,测出排出的水量;再把王冠放入盛满水的容器里,看看排出的水量是否一样,问题就解决了。
第十讲 整式的加减
【答案与解析】
1.【解析】
解:原式=2mn﹣m2+n2+m2﹣n2+mn
=3mn.
2. 【解析】
解: (ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y.
∵此差中不含二次项,
解得:
当a=2且3b= -2时,
a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.
3.【解析】
解:原式=﹣x2+x﹣2y+x+2y=﹣x2+x,
当x=,y=2012时,原式=﹣+ = .
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】A、a2﹣(2a﹣b2+b)=a2﹣2a+b2﹣b,故本选项错误;
B、﹣(2x+y)﹣(﹣x2+y2)=﹣2x﹣y+x2﹣y2,故本选项错误;
C、2x2﹣3(x﹣5)=2x2﹣3x+15,故本选项错误;
D、﹣a3﹣[﹣4a2+(1﹣3a)]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a,故本选项正确.
2.【答案】A
【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)=3x2+4x-1-3x2-9x=-5x-1.
3.【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为,故它的值只与有关.
4.【答案】C
【解析】,.
5. 【答案】D
【解析】5(2x﹣3)﹣4(3﹣2x)=5(2x﹣3)+4(2x﹣3)=9(2x﹣3)=18x﹣27.
6.【答案】A
【解析】由图可知:,
所以.
7.【答案】A
【解析】解:﹣[x﹣(y﹣z)]
=﹣(x﹣y+z)
=﹣x+y﹣z.
故选:A.
8.【答案】B
【解析】值恒为一常数,说明原式去绝对值后不含项,进而可得下图:
由此得:P =.
二、填空题
9. 【答案】
10. 【答案】2a+b
【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b.
11.【答案】 22
【解析】由题意可得:,即有.
又因为.
12.【答案】
【解析】,所以原式=.
13.【答案】9
【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中a是1~9的正整数,b,c分别是0~9的自然数.
∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用m表示整数11a+b) .
∴任意一个三位数,减去它的三个数字之和所得的差一定能被9整除.
六、举一反三
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为,故它的值只与有关.
3.【答案】B
【解析】 另一边长为,周长为
.
4.【答案】C
【解析】是常数项,次数为0,不是该多项式的最高次项.
5.【答案】D
【解析】解:A、3a+2b无法计算,故此选项错误;
B、2a3+3a2无法计算,故此选项错误;
C、5a2﹣4a2=a2,故此选项错误;
D、5a2b﹣5ba2=0,正确.
故选:D.
6.【答案】D
【解析】题中“ ”所表示的单项式与“5e”是同类项,故“ ”所代表的单项式可能是e,故选D.
7.【答案】C
二、填空题
8. 【答案】
9. 【答案】
10. 【答案】4.
【解析】解:∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式,
∴2m﹣5=1,n+1=3﹣n,
解得:m=3,n=1.
故m+n=4.
故答案为:4.
11. 【答案】
【解析】合并同类项得:.由题意得.故.
12. 【答案】12
【解析】根据输入程序,列出代数式,再代入x的值输入计算即可.
由表列代数式:(x3﹣x)÷2
∵x=3,∴原式=(27﹣3)÷2=24÷2=12.
13. 【答案】101
【解析】第10行的第一个数是:1+2+3+…+10=55,第10行的第5个数是:55+10+11+12+13=101.
三、解答题
14.【解析】解:由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项,得,
解得.
当m=2,n=2时,3m+n=3×2+2=6+2=8.
15.【解析】(1)原式.当,时,原式=1;
(2)原式,当,时,原式=5.
16.【解析】原式=
要使原式不含三次项,则三次项的系数都应为0,所以有:
,即有:
所以.
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