奎屯市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过点且垂直于直线 的直线方程为( )
A． B． C． D．
2．与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知等比数列若的前n项和（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的半正多面体为二十四等边体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有（ ）种排法.
A．120 B．144 C．192 D．240
7．抛物线的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点,若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知在函数与函数的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，少选得2分，错选得0分.共20分.
9．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项 B．常数项为64
C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64
10．等差数列的前n项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项
C．满足的的最大值为13 D．
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．记为等差数列的前n项和．若，则_______．
14．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为___________．
15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_________．
16．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）数列的前项和为，若，()，求．
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
18．已知函数在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求的极值．
19．如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值．
20．定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满足.
（1）证明:数列为“3型数列”；
（2）若,数列的通项公式为,求数列的前15项和．
21．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过点作椭圆的切线，且点在第三象限，求的面积．
22．已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，证明：．参考答案
1--8: BDCA CBCD
9:CD 10:BCD 11:AC 12:ABD
13: 666 14: (x 1)2 (y 1)2 5 15: (0, 1) 16: ( , 2) (0, 2)
4
17 :解：(1)因为 an 1 4Sn ,即Sn 1 Sn 4Sn ,
得 Sn 1 5Sn ,又 S1 a1 1,
所以数列 Sn 是首项为1，公比为5的等比数列. 即Sn 5 n 1.
(2)当所求直线 l的斜率存在时，设方程y 1 k(x 1) 即kx y k 1 0 ,
3k 1 3
圆心C到直线 l的距离d r 1,解得k 0或k ;
k 2 1 4
当所求直线 l的斜率不存在时，不合题意；
故所求直线方程为 y 1或 3x 4y 1 0.
18：解：(1)依题可知点 P 2，f 2 为切点，代入切线方程 y=x 4可得， f 2 ＝ 2，
所以 f 2 ＝8＋4a＋2b 4＝-2，即 2a＋b＝－3，
f x ＝x3又由 ＋ax2＋bx＋5，则 f' x ＝3x2＋2ax＋b，
而由切线 y=x 4的斜率可知 f' 2 ＝1，∴12 4a b＝1，即 4a b＝ 11，
2a b 3 a 4
由 ，解得4a b 11
．
b 5
(2)由(1)知 f (x)=x3 4x2+5x 4，则 f x ＝3x2 8x 5＝ 3x－5 x 1 ，
令 f' x 5＝0，得 x 或 x＝1，
3
当 x变化时， f x ， f' x 的变化情况如下表：
x 5 5 5 - ，1 1 1, ,
3 3 3
f' x ＋ 0 － 0 ＋
f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ f x 的极大值为 f 1 5 58＝-2，极小值为 f ．
3 27
19.解析：（1）证明：∵ AD是 BC边上的高，
∴ PD AD, AD BD，
∵ PD BD D，PD,BD 平面 PBD，
AD 平面 PBD，
∵ PB 平面 PBD，
AD PB ,
又 PB AB, AD, AB 平面 ABD, AD AB A，
∴ PB 平面 ABD；
（2）以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x轴，DB 所在直线为 y 轴，垂直 ADB 平面为 z 轴，
建立空间直角坐标系， AD PB 4,BD 2，
则 B 0, 2,0 ,P 0, 2, 4 , A 4,0,0 ,D 0,0,0 ，
BP 0,0,4 ,PA 4, 2, 4 ,DA 4,0,0 ，
设平面 BPA与平面 PAD的一个法向量分别为
n1 x1, y1, z1 ,n2 x2 , y2 , z2 ，
n1 BP 4 z 0
故 1 ，解得： z1 0，令 x1 1，得： y1 2，
n1 PA 4x1 2 y1 4 z1 0
则 n1 1,2,0 ，
n2 PA 4x2 2y2 4z2 0
，解得： x2 0，令 z2 1，则 y2 2，
n1 DA 4x2 0
故 n1 0, 2,1 ，
设二面角 B PA D平面角为 ，显然 为锐角，
n1 n2 1,2,0 0, 2,1
cos 4 4 ，
n1 n2 1 4 1 4 5 5 5
sin 1 cos2 3 .
5
1 1
20.解析：（1）解:由题知an 1 ,所以有 an 2 ,且 a
1
n 3 a ,n 1 1 an 1 1 an 2
a 1 1n 3 1 1 a n 1 1 1 1 1 1 a
1 a 1 a
n ,
n 1
1 an 1
n 1 1 an
所以数列 an 为“3 型数列”;
（2）由（1）知 an 3 an , a1 1,所以 a1 a4 a7 a13 1 ,
a2 a a a
1 1 a a 15 8 14 a 1 2 , 3 6
a9 a15 2
1 a2 1
,
所以 S15 a1b1 a2b2 a3b3 a15b15
a1b1 a4b4 a13b13 a2b2 a5b5 a14b14 a3b3 a6b6 a15b15
1 b1 b4 b13
1 b2 b5 b14 2 b 3 b6 b2 15
1 25 5 1 3 27 5 2 5 29 5 2 2 2 2
285
.
2
21.解：（1）由题意，椭圆的下顶点为 0, 1 ，故b 1.
1, 3
1 3
由对称性，椭圆过点 2
，代入椭圆方程有
a2
1，解得： a 2 .
4
x2
故椭圆 E的标准方程为： y2 1.
4
（2）由题可知，切线 PA 的斜率一定存在且不为 0，设其方程为 y k x 1 1，
x2
y2 1 4k 2 1 x2与 联立得： 8k k 1 x 4k k 2 0.
4
64k 2 k 1 2 16k k 2 4k 2 1 16k(3k 2) 0，因为 k 0 , 2所以 k .
3
带入得 25x2 80x 64 0，即 (5x 8)2 0 8解得 x .
5
所以 A 8 3点坐标为 ( , ) .
5 5
直线OP的方程为 x y 0 ,OP 2 , A到直线OP的距离d 1 2 ，
2 2
POA S 1 1所以 的面积为 d OP .
2 2
