2023九年级中考数学专项提优三轮复习——图形问题(实际问题与二次函数)
1、如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．
(1)若矩形养殖场的面积为，求此时的的值．
(2)当为多少时，矩形养殖场的面积最大 最大值是多少
2、如图，在一块三角形区域 ABC 中，∠ C=90 °，边 AC=8m ， BC=6m ，现要在△ ABC 内建造一个矩形水池 DEFG ，如图的设计方案是使 DE 在 AB 上．
（1）求△ ABC 中 AB 边上的高 h ；
（2）设 DG=x ，水池 DEFG 的面积为 S ，求 S 关于 x 的函数关系式，当 x 取何值时，水池 DEFG 的面积 S 最大？
3、如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
4、园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
(1)苗圃ABCD的另一边BC长为 米（用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
5、如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.
(1)求养殖房的最大面积.
(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？
6、已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（1，0），B（－2，0）两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，BC， 点P是抛物线上一点，且∠PBC=∠ACO，求直线BP的解析式；
(3)如图2，点Q为抛物线上的一点，且在第一象限内，过Q点作直线AQ，BQ分别交y轴于E，F两点，当EF=1时，求点Q的坐标．
7、已知抛物线．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
8、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、抛物线的解析式为．
(1)如图一，若抛物线经过，两点，抛物线的对称轴为直线______；
(2)如图二：若抛物线经过、两点，
①求抛物线的表达式．
②若点为线段上一动点，过点作交于点，过点作于点交抛物线于点．当线段最长时，求点的坐标；
(3)若，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出的取值范围．
9、已知：二次函数y=x2+bx+c经过原点，且当x=2时函数有最小值；直线AC解析式为y=kx-4，且与抛物线相交于B、C．
（1）求二次函数解析式；
（2）若S△AOB∶S△BOC=1：3，求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合），过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G，是否存在点E，使△BEF和△CGE相似？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10、在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米，当为多少时，取得最大值，最大值是多少？
11、为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为m，面积为ym2．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
12、园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
13、如图，某农场要建一个矩形的菜园，菜园的一边靠墙（墙长5m），另外三边，，用木栏围成，木栏长8m．
(1)求菜园的面积能达到时的长和宽；
(2)菜园的最大面积是多少？
14、在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：yx2x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
(2)当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
15、某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
16、已知抛物线．
(1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．
17、如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上一点，当的面积为10时，求出的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．
18、如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
19、浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降. 某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
(1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)该景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成.篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当______米时，游乐场的面积达到最大，最大为______平方米．
20、如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，
(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？
21、已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
22、根据以下素材，探索完成任务
如何设计纸盒
素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒．
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。
问题解决
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由
23、如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标．
（2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标．
25、在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点、、…分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第50名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
______ ______
(1)填写上图中第四个图中y的值为______，第五个图中y的值为______．
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为______，当时，对应的______．
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话276次，问：该班共有多少名女生？
26、为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上．
(1)当点D在线段上时，
①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长；
(2)当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
27、已知抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，．
(1)求a的值；
(2)将抛物线平移后，得到抛物线，当时，抛物线上函数y的最小值是，试求出m的值；
(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图像，记作W．当直线与W恰有两个公共点时，直接写出b的取值范围．2023九年级中考数学专项提优三轮复习——图形问题(实际问题与二次函数)
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1、(1)6m
(2)当x为4.5时，矩形养殖场的面积最大，最大值为
【分析】（1）先求出，再根据矩形面积公式建立方程求解即可；
（2）设矩形养殖场的面积为，根据矩形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【解析】（1）解：∵矩形，，
∴，
由题意，得，
解得，，
当时，（舍去），
当时，．
答：此时x的值为6m．
（2）解：设矩形养殖场的面积为，
由（1）得，，
∵，
∴当时，S最大，最大值为40.5，
答：当x为4.5时，矩形养殖场的面积最大，最大值为．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意设出未知数，利用矩形面积公式列出对应的式子求解是关键．
2、（1）4.8；（2）S= - (x-2.4)2 +12, 当 x 取 2.4m 时，水池 DEFG 的面积 S 最大，且 S=12m2
【分析】（1）根据勾股定理易求AB的长，运用等积法求高；
（2）S=GD GF=x GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，从而得函数表达式，运用函数性质求解．
【解析】（ 1 ）如图，作 CH ⊥ AB 于点 H ，交 FG 于点 K ，
由∠ C=90° AC=8 ， BC=6 ，易得 AB=10 ，
∵ S △ ABC=AC × BC= AB CH ，
∴ h=CH= 6 × 8 ÷10=4.8 m；
（ 2 ）如图，设 DE=GF=y ，
∵ GF ∥ AB ，
∴△ CGF ∽△ CAB ，由此可得 y:10=(4.8-x):4.8 ，
∴y=10-
∴S=xy=x(10-)= - (x-2.4)2 +12 ，
∵a ＜ 0 ，
∴当 x=2.4 时， y 有最大值 12 ，
答：S= - (x-2.4)2 +12, 当 x 取 2.4m 时，水池 DEFG 的面积 S 最大，且 S=12m2 ．
【点评】此题的关键是用含x的式子表示矩形的长，熟练掌握相似三角形的性质和二次函数的性质求最值是解决本题的关键，难度适中．
3、(1)
(2)
(3)点P的横坐标为
【分析】（1）将将、两点代入即可求解；
（2）设点，由，可得即可求解；
（3）作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，设，PC的表达式为：，由P，C代入得，PC的表达式，由可表示PQ、PB，分别求EF、CF，由，PQ⊥BC，CE⊥l，证即可求解；
【解析】（1）解：将、两点代入得，
，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）由可得，
设点
则
∵，
∴
∴
解得：（舍去）
∴
（3）如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，
设，PC的表达式为：，
将P，C代入得，
解得：
PC的表达式为：，
将y=0代入得，，即，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
由题可知，
∴
将代入得，，
∴
∴
∵，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴
∴
∴
解得：（舍去）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，一次函数的应用，三角形的相似，勾股定理，掌握相关知识正确构造辅助线是解题的关键．
4、(1)24﹣3x
(2)5
(3)当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米
【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即可求得BC长；
（2）根据题意得：，即可解得x的值；
（3）根据题意的：w＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，由二次函数性质可得答案．
【解析】（1）解：∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，
设苗圃ABCD的一边CD长为x米，
∴BC=22－3x＋2＝(24－3x)米，
故答案为：(24－3x）；
（2）根据题意得：x（24－3x）＝45，
解得x＝3或x＝5，
∵x＝3时，24－3x＝24－9＝15，
∴x＝3舍去，
∴x的值为5；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，
∵﹣3＜0，
∴x＝4时，w最大为48，
答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
5、(1)108平方米
(2)5种购买方案.
小鹅 0 5 10 15 20
小鸡 80 73 66 59 52
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【解析】（1）解：由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
∴a＝＝80﹣≥2b，
则b≤，且b≥0，
又∵a，b都为非负整数，
∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．
6、(1)；
(2)；
(3)（，）；
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）设直线BP与线段OC相交于点E，过点E作DE⊥BC于点D，然后由等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，从而求出点E的坐标，由待定系数法即可求出BP的解析式；
（3）根据题意，设点Q为（，），分别求出直线AQ和BQ的解析式，得到点E和点F的坐标，结合，求出，即可求出点Q的坐标．
(1)
解：∵抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（1，0），B（－2，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：如图，设直线BP与线段OC相交于点E，过点E作DE⊥BC于点D，
∵抛物线的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为（0，2），
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
∵DE⊥BC，
∴是等腰直角三角形，
∴CD=DE；
∵∠PBC=∠ACO，，
∴∽，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（0，）；
设直线BP为，把点B、E代入，则
，解得：，
∴直线BP的解析式为；
(3)
解：根据题意，设点Q为（，），则
设直线AQ的解析式为，把点A、Q代入，得
，解得，
∴直线AQ的解析式为；
∴点F的坐标为（0，）；
设直线BQ的解析式为，把点B、Q代入，则
，解得，
∴直线BQ的解析式为，
∴点E的坐标为（0，），
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
∴点Q的坐标为（，）；
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，利用待定系数法求解析式、一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式是解决此题关键．
7、(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）
(2)y＝﹣x+3，P的坐标为（1，2）
(3)D（，）或（，）．
【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标；然后根据抛物线的对称性求得对称轴，进而确定点C的坐标；
（2）先用待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；
（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方程求得x的值即可．
【解析】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）．
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）．
（3）解：∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB于E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴DE·（3-x）+DE·x=（﹣x2+3x）×3＝，解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝或
∵在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y）
∴D（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积等知识点，求出相关点的坐标是解题的关键．
8、(1)x=6
(2)①抛物线的表达式为；②点E坐标为(6，4)
(3)或
【分析】（1）求出A（4，8），将将A、D代入y=ax2+bx，求出二次函数的解析式即可求解；
（2）①将A、C两点的坐标代入y=ax2+bx，即可求解析式；②求出直线AC的解析式，设点E的坐标为（x，-2x+16），由E、G的横坐标相同，求出G的坐标为(x， x2+4x)，再利用二次函数的性质求EG长的最值即可；
（3）函数经过定点（0，0），通过图象确定二次函数与矩形有一个交点的边界情况时b的取值，进而求函数与矩形无交点时b的取值范围即可．
(1)
解：∵B（4，0）、C（8，0）、D（8，8），四边形ABCD是矩形，
∴A（4，8），
将A、D代入y=ax2+bx，
∴，
∴，
∴，
∴对称轴为直线x=6，
故答案为：x=6；
(2)
解：①将A、C两点的坐标代入y=ax2+bx，
得，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝ x2+4x；
②设直线AC的解析式为y=kx+c，
将A、C两点的坐标代入，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=-2x+16，
设点E的坐标为（x，-2x+16），
∵EG⊥AD，AD//x轴，
∴点E和点G的横坐标相等，
∵点G在抛物线上，
∴点G的坐标为(x， x2+4x)，
∴EG= x2+4x ( 2x+16)
= x2+6x 16
= (x 6)2+2，
∴当x=6时，EG有最大值，且最大值为2，
∴点E坐标为（6，4）；
(3)
解：∵a=-1，
∴y=-x2+bx，
∴函数经过定点（0，0），
如图：当抛物线经过点B（4，0）时，刚好与矩形有一个交点，
此时b=4，
当抛物线经过点D（8，8）时，刚好与矩形有一个交点，
此时b=9，
∴b<4或b>9时，抛物线与矩形ABCD无交点．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．
9、（1）y=x2-4x；（2）直线AC的解析式为y=x-4；（3）存在，E点坐标为E(3．-1)或E(2，-2 ) ．
【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c经过原点可知c=0，当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2，故可求出b，即可求解；
（2）连接OB，OC，过点C作CD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，根据得到，，由EB∥DC，对应线段成比例得到，再联立y=kx-4与y=x2-4x得到方程 kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0，求出x1,x2，根据x1,x2之间的关系得到关于k的方程即可求解；
（3）根据（1）（2）求出A,B,C的坐标，设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m），根据题意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分别找到图形特点进行列式求解．
【解析】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c经过原点，
∴c=0
∵当x=2时函数有最小值
∴，
∴b=-4，c=0，
∴y=x2-4x；
（2）如图，连接OB，OC，过点C作CD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，
∵
∴
∴
∵EB∥DC
∴
∵y=kx-4交y=x2-4x于B、C
∴kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0
∴，或
∵xB＜xC
∴EB=xB=，DC=xC=
∴4 =
解得 k=-9（不符题意，舍去）或k=1
∴k=1
∴直线AC的解析式为y=x-4；
（3）存在．理由如下：
由题意得∠EGC=90°，
∵直线AC的解析式为y=x-4
∴A(0，-4 ) ，C（4，0）
联立两函数得，解得或
∴B（1，-3）
设E（m，m-4）（1＜m＜4）
则G（m，0）、F（m，m2-4m）
①如图，当∠EFB=90°，即CG//BF时，△BFE∽△CGE．
此时F点纵坐标与B点纵坐标相等．
∴F（m，-3）
即m2-4m=-3
解得m=1（舍去）或m=3
∴F（3，-3）
故此时E（3，-1）
②如图当∠EBF=90°，△FBE∽△CGE
∵C（4，0），A(0 ，4 )
∴OA=OC
∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE
过B点做BH⊥EF，
则H（m,-3）∴BH=m-1
又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE
∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF
∴EH=HF，EF=2BH
∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)
解得m1=1（舍去）m2=2
∴E(2,-2)
综上，E点坐标为E(3.-1)或E(2,-2)．
【点评】此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三角形及等腰三角形的性质．
10、80
【分析】由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值
【解析】 .
，
当时，有最大值，最大值
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
11、（1）（1）.（）；（2）当x为时，小花园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB边长为x m，可得BC=(40-2x)m，然后根据矩形面积即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长25m，即可求得自变量的x的范围；
（2）用配方法求最大值解答问题．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=x m，
∴BC=(40-2x)m，
∴花园的面积为：y=AB BC=x (40-2x)=-2x2+40x，
∵40-2x≤25，x+x<40，
∴x7.5，x<20，
∴7.5≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；
（2）∵ ，()
∴ 当时，．
答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
12、(1)（36-3x）
(2)8
(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
13、(1)菜园的面积能达到时的长为，宽为
(2)菜园的最大面积是
【分析】(1) 设，则，依题意列方程计算即可．
(2) 设菜园的面积为，依题意构造二次函数计算即可．
【解析】（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜园的面积能达到时的长为，宽为．
（2）设菜园的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为8．
答：菜园的最大面积是．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．
14、(1)y＝2x2﹣6x﹣8
(2)P（，﹣5）
(3)P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）
【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；
（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当A、C、P三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；
（3）根据点A、B、C坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可．
【解析】（1）当y＝0时，x2x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x，
∴点P在直线x上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）
（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵yx2x﹣2（x）2，
∴顶点D（，），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，，
设Q（x，x2x﹣2），则P（，x2x﹣2），
∴DPx2x﹣2﹣（）x2x，QP＝x，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3x2x，解得x或（舍弃），
∴P（，）．
②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，
xx2﹣3x，
解得x或（舍弃），
∴P（，）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时， ，
过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴，由图3﹣3可知，M（，），Q（，），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝4，
由，可得PD＝10，
∵D（，）
∴P（，）．
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．
同法可得M（，），Q（，），
∴DM，QM＝1，QD，
由，可得PD，
∴P（，）．
综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．
15、(1)2
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【分析】（1）由，求得 ，利用矩形养殖场的总面积为，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】（1）解：如图，∵，矩形的面积是矩形面积的2倍，
∴，
∴，
依题意得：，
解得： ，
当时，，不合题意，舍去，
故x的值为2；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：，
∵墙的长度为13，
∴ ，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析
(2)b<或b>
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
【解析】（1）①解：把，代入，得
，
解得：，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把， 代入，得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点是线段的三等分点，
则或，
即或，
解得：m=2或m=或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（，-）
（2）解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，
∴直线，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD==5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点在抛物线上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴，
∵该抛物线与线段没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b<
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b>
综上所述，b<或b>
【点评】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
17、(1)
(2)点的坐标为或
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的面积为10求出D点的纵坐标，将其代入二次函数求得横坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当时，，点与点重合； 当时，，根据点在点上方时，点在点下方时，分别求得M点坐标．
【解析】（1）将点，点代入，
∴，解得，
∴；
（2）设点的坐标为，
∵的面积为10，
，即，解得，
当时，，解得：，
∴或，
当时，，此方程无实数根，
综上所述，点的坐标为或；
（3）当时，，
∴点与点重合，
∴；
当时，，
如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得或，
∴或，
∵点在对称轴的左侧，
∴点坐标为；
如图2，当点在点下方时，同理可得，
∴，解得（舍）或，
∴；
综上所述：M点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
18、(1)
(2)
(3)点Q的横坐标为，，，1．
(4)G(-4 +，0)．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式求解即可；
（2）如图，连接，令，求得点B的坐标，再根据各点的坐标确定OC、OB的长，然后再根据求解即可；
（3）如图，作轴，交直线于点F，可得，即，进一步说明当最大时，最大．设，则，根据线段的核查运算求得PF的最大值；设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，再分、、三种情况解答即可．
(4)作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根据 GLC≌ CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT= IW，构建方程求得n的值．
【解析】（1）解：∵抛物线经过点，
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图，连接，令，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如图1所示，作轴，交直线于点F，
则．
∴．
∵是定值，
∴当最大时，最大．
设，
∵，
∴．
设，则．
∴．
∴当时，取得最大值，此时．
设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，下面分三类情况讨论：
若，如图2所示，
过点P作轴于点，作交的延长线于点，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如图3所示，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如图4所示，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1．
（4）如图，作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌ CRH，△ITM≌△HWI.
RH = OG= -n，
CR= GL= OC= 3，
MT= IW，
G(n，0)，H(3，3+ n)，
+n+3+3)
∵TM=IM
∴ (n+3)2+ 2(n+3)- 12= 0，
∴n1 = -4+ ，
n2 =-4- (舍去)
∴G(-4 +， 0)．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
19、(1)平均每年降低了20%
(2)①AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；②12，360
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为x，根据增长率公式列方程解答；
（2）①设，则，根据游乐场的面积为320平方米列方程，求解即可；
②设游乐场的面积为y平方米，列得函数关系式，根据二次函数的性质得到答案．
【解析】（1）解：设平均每年降低的百分率为x，
由题意得：，
解得：（舍去），，
答：平均每年降低了20%；
（2）①设，则，
由题意得：，
解得：，，
，
，
，
（米），
答：∴AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；
②设游乐场的面积为y平方米，得
，
∴当x=12时，面积y有最大值360，
故答案为12，360．
【点评】此题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列得方程或函数关系式是解题的关键．
20、(1)长是14米，宽是8米
(2)猪圈的长是15米，宽是米时，猪圈的面积最大，为米
【分析】（1）设猪圈的长为m，则宽为m，其中，根据，计算求出满足要求的的值，进而可得结果；
（2）由（1）可知，根据二次函数的性质可确定最大值时的值，进而可得结果．
【解析】（1）解：设猪圈的长为m，则宽为m，其中，
∴矩形ABCD的面积，
∴，
解得（不合题意，舍去），或，
∴，
∴猪圈的长为14m，宽为8m．
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴当时，最大，
∴，
∴猪圈的长为15m，宽为m时，猪圈的面积最大，最大值为m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识．解题的关键在于根据题意列等式．
21、当矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
【分析】设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得a＋b＝18．因为旋转形成的圆柱侧面积是：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由此能求出结果．
【解析】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的周长为36，
∴2（a＋b）＝36，
解得：b＝18 a，
∵旋转形成的圆柱侧面积是：2πab，
∴要求侧面积最大，即求ab的最大值，
ab＝a（18 a）＝18a a2
＝ （a 9）2＋81，
∴当a＝9时ab有最大值81，
此时b＝9．
答：矩形的长，宽都为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度一般，熟练掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．
22、任务1：剪掉的正方形的边长为．
任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【分析】任务1：假设剪掉的正方形的边长为，根据长方形盒子的底面积为，得方程，解所列方程并检验可得；
任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为，盒子的侧面积为，利用长方形盒子的侧面积为：得出即可．
【解析】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程和函数关系式是解决问题的关键．
23、（1）S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；（2）当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2．
【分析】（1）根据BC=（栅栏总长-2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据配方法求出二次函数最值即可．
【解析】解：（1）∵AB=CD=xm，
∴BC=（80-2x）m，
∴S=x（80-2x）=-2x2+80x，
∴，
∴，
∴，
∴15≤x＜40，
∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；
（2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x=20时，S有最大值为800，
∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键．
24、（1）解析式为，顶点的坐标为；（2）动点的坐标为或
【分析】（1）、两点与轴相交，可结合抛物线的对称轴求得坐标，进而求出抛物线的解析式，也可求得顶点坐标；
（2）与以点、、为顶点的三角形相似，又轴，所以分两种情况讨论：①当∽时，；②当∽时，．
【解析】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为．
∵抛物线的对称轴为，
∴，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，抛物线的解析式为，顶点的坐标为
（2）设动点的坐标为，
①当∽时，，则，
∴，（舍去），
∴点的坐标为．
②当∽时，，则，
∴，（舍去），
∴点的坐标为．
∴动点的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数和相似三角形．与以点、、为顶点的三角形相似，要注意分情况讨论．
25、(1)10；15
(2)；
(3)该班共有24名女生
【分析】（1）观察图形即可得到答案；
（2）根据前五个图的数据得出规律，列出通电话次数y与该班级人数x之间的关系式，再把代入计算即可；
（3）把通话次数276代入函数关系式，解一元二次方程即可得到答案．
【解析】（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，，，，，
∴，
当时，．
故答案为：；．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有24名女生．
【点评】此题考查了二次函数的应用、解一元二次方程，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
26、(1)①米；②4米
(2)小型农场的宽为3米时，小型农场的面积最大，最大面积为平方米．
【分析】（1）①设的长为x米，根据题意，列出代数式即可；②根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可．
（2）设小型农场的面积为，的长为x米，根据题意，列出二次函数表达式，利用二次函数的性质求最值即可；
【解析】（1）①设的长为x米，
∵点D在线段上，
∴米，
∵，
∴，即，
∴；
②设的长为x米，根据题意得：
，
解得：（此时点D不在线段上，舍去），
∴，
答：小型农场的长为4米；
（2）设小型农场的面积为，的长为x米，
点D在线段的延长线上，此时，
则，
∵，
∴时，S有最大值， ，
∴小型农场的宽为3米时，小型农场的面积最大，最大面积为平方米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出方程，求出二次函数的解析式，是解题的关键．
27、(1)a＝1
(2)m的值为－1或－5
(3)或－1＜b＜3
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，根据对称性求得点A、B坐标，再代入抛物线求值即可；
（2）根据二次函数的对称性，分情况讨论①当m≥－1时， x＝m取最小值，②当m＋2≤－1时，x=m+2取最小值，③当m＜－1＜m＋2时，x=-1取最小值，根据最小值计算求值即可；
（3）由题意作出函数图象，求得直线过点B、点A时的b值，再求得直线与二次函数翻折部分恰好有一个交点时的b值，结合一次函数平移的性质求值即可；
【解析】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝－1，
∵抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB＝4，
∴点A和点B各距离对称轴2个单位，
∵点A在点B的左侧，
∴，，
∴将代入，得a＋2a－3＝0，
∴a＝1；
（2）解：的对称轴为，
根据抛物线的对称性可分为三种情况讨论：
①当m≥－1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，，
解得：m＝－1或m＝－2（舍）；
②当m＋2≤－1即m≤－3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m＋2时，，
解得：m＝－2（舍）或m＝－5；
③当m＜－1＜m＋2即－3＜m＜－1时，
当x＝－1时，，
解得：m＝－1（舍）；
综上所述：m的值为－1或－5．
（3）解：由题意作图如下，
当直线过点B（1，0）时，0=1+b，b=-1，
当直线过点A（-3，0）时，0=-3+b，b=3，
由一次函数的平移可得当-1＜b＜3时，直线与W恰好有两个交点，
∵
沿x轴翻折后解析式为（-3≤x≤1），与直线联立可得
，
令△=0可得9-4（b-3）=0，解得：b=，
代入b可得：，，x=，
此时直线与图象W有3个交点，
由一次函数的平移可得当时，直线与W恰好有两个交点，
综上所述：－1＜b＜3或时，直线与W恰有两个公共点．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的综合，二次函数的对称性求最值，一次函数的平移，翻折变换等知识；数形结合掌握二次函数的对称性和一次函数的平移性质是解题关键．
