数列+立体几何+解析几何
第一天 时间： 成绩评估：
1、已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2、如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．
(1)证明：平面ACQ；
(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．
3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．
第二天 时间： 成绩评估：
1、设数列{}的前n项和为，已知，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
2、如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面,,，，、分别是、的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
3、已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
第三天 时间： 成绩评估：
1、已知数列的前项和为，若对任意，都有．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，数列的前项和为，求证：＜1．
2、如图，在四棱锥中，是直角梯形，，，，，，点在上，且平面.
(1)求的值；
(2)若，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.
3、设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程.
第四天 时间： 成绩评估：
1、已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
2、如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．
(1)请确定点在线段上的位置；
(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．
3、已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为轴上一定点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，点关于轴的对称点为（，，三点互异），直线交轴于点，试探究是否为定值，若为定值，并求出该定值.
第五天 时间： 成绩评估：
1、数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前100项和.
2、如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．
(1)证明：平面；
(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
3、已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
第六天 时间： 成绩评估：
1、已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
2、如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．
3、已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.数列+立体几何+解析几何
第一天 时间： 成绩评估：
1、已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为①，
当时，则，
当时②，
①②得，即，
则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.
（2）因为，所以，
所以③，
④，
③④得
，
所以.
2、如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．
(1)证明：平面ACQ；
(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．
【详解】（1）如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，
∵，，则，
∴，，
∵，∴，
平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；
（2）平面，平面,，
因为底面,则AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，．
设平面ACQ的法向量为，
由，，有，令，，，可得，
由，有，，
则．
故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．
3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．
【详解】（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，
由题设条件知，，，
故椭圆C的方程为．
（2）设点是直线上任意一点，
由题可知点P，M，O，N在以为直径的圆上，
此圆方程为 ①
又圆O的方程为， ②
①－②可得直线方程为：，则直线恒过定点．
第二天 时间： 成绩评估：
1、设数列{}的前n项和为，已知，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【详解】（1）数列{}的前n项和为，
由，可得,
整理得，即，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，则，
当时，，
两式相减得，，又，
则数列{}的通项公式为
则，
则数列的前n项和
2、如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面,,，，、分别是、的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：：，是的中点，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
平面，，
设，则，，
在中，由余弦定理得，
.，，
是中点，四边形是平行四边形，则，且，
所以，四边形为平行四边形，，则，
，、平面，平面.
平面，平面平面.
（2）解：由（1）知，且平面，，
以过点平行于的直线为轴，分别以直线、为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
，，则，，，
则、、、，
是中点，，则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
易知平面一个法向量为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
3、已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立
整理得，
则，即
又，
因为，所以，
所以
所以，
即
整理得，即，此时
则直线的方程为，故直线过定点.
第三天 时间： 成绩评估：
1、已知数列的前项和为，若对任意，都有．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，数列的前项和为，求证：＜1．
【详解】（1）证明：由，
当时，，解得，
当时，，
则，
即，所以，，
又因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列．
（2）证明：由（1）可知，，所以，
则
所以．
由，有，则，即.
2、如图，在四棱锥中，是直角梯形，，，，，，点在上，且平面.
(1)求的值；
(2)若，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）连接交于，连接.
∵平面，平面平面，平面，∴，∴.
∵，∴，∴，
过点作，垂足为，∵，，∴四边形ABED为矩形，
又，，，∴，∴，∴.
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）知，，∴，∴，则，，
设平面的法向量为，则，所以，
令，得，
设平面的法向量为，又，，
则，所以，令，得，
∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
3、设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程.
【详解】（1）易知双曲线的离心率为，
所以在椭圆中，，得，所以，所以椭圆的方程为.
（2）不妨设，，联立方程组得，
由得，由韦达定理知，
所以
，
将代入椭圆方程得，，解得，
又到直线AB的距离为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积取最大值时的直线方程为或.
第四天 时间： 成绩评估：
1、已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【详解】（1）因为 ①，
所以当时， ②．
因为，所以由得，即．所以，即．
由，得，所以，所以．
所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，即，
所以．
所以
．
2、如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．
(1)请确定点在线段上的位置；
(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．
【详解】（1）如图1，连接与相交于，连接，连接与交于点.
∵平面，平面平面，平面，∴.
∵，，∴，∴，∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴点是线段上靠近点的四等分点.
（2）如图2，取的中点，连接，，∵四边形为边长为2的菱形，，
∴，为等边三角形.
∵，为等边三角形，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
∵为等边三角形，，∴，可得，，两两垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，由，，有，
取，，，可得.
设平面的法向量为，由，，
有取，，，可得.
所以，，，所以，
所以平面和平面所成二面角的正弦值为．
3、已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为轴上一定点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，点关于轴的对称点为（，，三点互异），直线交轴于点，试探究是否为定值，若为定值，并求出该定值.
【详解】（1）由已知可得，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为，，，，
则直线的方程为，令，
联立方程，所以，，
所以，所以，所以为定值4.
第五天 时间： 成绩评估：
1、数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前100项和.
【详解】（1）取，由，得；
当时，由，
得，
两式相减得，整理得；
当时，也符合上式，综上，；
（2）由（1）得，则，
2、如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．
(1)证明：平面；
(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
成的角的正弦值最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，过点作的垂线，垂足为，
∵平面平面，且交线为，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵四边形为菱形，∴，又∵，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，，平面，∴平面．
（2）连接，由（1）知为与平面所成的角，
∴，因为为定值，且，所以当点为的中点时取得最小值，此时取最大值，
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量，
则，即，令得，即，
设平面与平面的夹角为，则，
所以当与平面所成的角的正弦值最大时，平面与平面夹角的余弦值为．
3、已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
【详解】（1）由题意得，解得所以椭圆C的方程为；
（2）F（1，0），A（-2，0），
设直线l的方程为，
由得
直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.
设P（，），Q，），
则.
直线AP的方程为，
令，得，即M（4，），
同理，N（4，），
所以，
所以
，
所以以MN为直径的圆恒过点F.
第六天 时间： 成绩评估：
1、已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
【详解】（1）由题意可得：，
整理得，则
可得或，
故或.
（2）∵，由（1）可得，
则，
故
所以.
2、如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．
【详解】（1）连接，由，为中点，得，
又∵四边形为直角梯形，，，
所以，则四边形是平行四边形，∴，
在中，，，，则，则，
又平面，平面，，∴平面，
又平面，∴．
（2）由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，
方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
，，，，，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，，
∴，
故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为．
3、已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点或
【分析】（1）设椭圆的右顶点为，根据题意可得，求出b，即可求解；
（2）设，由向量的坐标表示可得，设，表示出直线的方程，联立直线PQ与AP、AQ方程，求出点P坐标，代入椭圆方程得、，结合韦达定理，即可求解.
【详解】（1）由题意知，设椭圆的右顶点为，，
所以，即的最大值为2，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，
由得到：，即，
设，直线的方程分别是，
联立，解得，即点的坐标为，
因为点在椭圆上，所以，化简得；
同理，，所以m、n是方程的两个异根，
得.有，
当且仅当，即时恒成立，
因此，存在点或使得恒成立.
