南科大附中2023年春季学期高一年级期中考试
数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D C A C B B
二、多选题
9 10 11 12
CD AB BCD BCD
三、填空题
13． 14． 15． （答一个即可） 16． ①②④
四、解答题
17．【解】（1）设点C的坐标为，
因为，，，可得，
则， ..……..……..……..……..…… ..…… 2分
若四边形OACB为平行四边形，可得，
则，解得，
故点C的坐标为. ..……..…….……..……..……..…… ..…… 5分
（2）设点P的坐标为，
由（1）可知：，则，.……..…….……..……..…… ..…… 6分
若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，
则，解得， .……..…….……..……..…… ..……9分
故点P的坐标为.. ……..…….……..……..…… ..………..…….……..……..…… ..…… 10分
18．【解】（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN. ..…….……..……..…1分
∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD，∴AB∥MN ..…….……..……..… 3分
∴四边形ABMN为平行四边形， ∴BM∥AN. ..…….……..……..… 4分
又BM 平面PAD，AN 平面PAD ， ∴BM∥平面PAD. ..…….……..……..…5分
（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.
∵PD⊥平面ABCD，BE 平面ABCD∴PD⊥BE.
又AD 平面PAD，PD 平面PAD，AD∩PD＝D
∴BE⊥平面PAD. ..…….……..……..… 7分
由（1）知，BM∥平面PAD
∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE. ..…….……..……..…9分
连接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝ ..…….……..……..… 11分
则三棱锥P ADM的体积VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝. ..…….……..……..… 12分
19．【解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，
即，而M是BC的中点．所以， ..…….……..……..… 2分
因为是正三棱锥，所以，而M是BC的中点．所以， ..…….……..……..… 4分
因为棱锥的侧面积等于底面积的2倍，
所以有； ..…….……..……..… 6分
（2）因为是正三棱锥，所以在底面的射影为底面的中心，设为，
由（1）可知是三角形的中线，所以在上，且， ..…….……..……..… 8分
由（1）可知，，所以是二面角的平面角，..….……..…….… 10分
在直角三角形中，；.……..…….……..……..…… ..……12分
20．【解】（1）证明：因为，所以，..…….……..…………1分
所以．
所以，
即．
因为在△ABC中，所以，即，
故．即．..…….……..……..…6分
（2）解：由（1）可知．
因为，所以．则．．..…….……..……..…8分
由正弦定理可知．则．．..…….……..……..…10分
故△ABC的面积．..…….……..……..…12分
21．【解】（1）连接交于点，连接，如图所示,
在正三棱柱中，平面平面, ..…….……..……..… 1分
是棱的中点，则,同理 ..…….……..……..… 3分
在正方形中，是的中点，则,
同理可得是的中点，则, ..…….…….…..… 4分
又平面，则平面, ..……..……..… 5分
又平面，则平面平面...…….……..……..… 6分
（2）由（1）得平面平面，平面平面，
平面, ..…….……..……..… 8分
平面，则即为与平面所成的角，..…….……..……..… 9分
又，在中，， ..…..… 11分
故与平面所成角的正弦值为. ..…….……..……..… 12分
22．【解】（1）在中，由于巡逻艇速度是走私船速度的2倍，则，..…….……..……..1分
由正弦定理可得，所以. ..…….……..…….. 3分
（2）设，则，则，即， ..…….……..……..…4分
由余弦定理可得，所以，..…….……..……..… 6分
如图所示，过F作交于Q，
则，..…….……..……..… 8分
由题意得对任意恒成立，
则，当且仅当时，等号成立. ..…….……..……..… 10分
当警戒水域的宽的最小值为20海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截. ..…….……..……..…12分南科大附中2023年春季学期高一年级期中考试
数学
（本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。
2．作答时，务必将答案正确填写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。
一、选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）
1．下面空间图形的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．圆锥
2．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A． B． C．16 D．8
3．已知两个单位向量的夹角是，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（ ）
A．2i B． C． D．
7．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
8．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A．z在复平面对应的点位于第二象限 B．z的虚部是i
C． D．
10．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
11．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在棱长为2的正方体中，P是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的面积无最大值、无最小值
B．存在点P，满足DP//平面
C．存在点P，满足
D．与BP所成角的正切值范围为[,]
三、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．已知点，，则与向量同方向的单位向量为_______。
14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则三角形外接圆半径为_____________。
15．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等，且模为1的复数z的代数形式______。
16． “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美。某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）。小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的，请写出正确判断的序号______________________________。
①．这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面
②．一个体积为1立方米的正方体石料最多可以切割出9个这样的石凳（不计损耗）
③．这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）
④．如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加
四、解答题（本大题包括6小题，第17小题10分，其余每题12分，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知，向量，。
(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
(2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标。
18．如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC。
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥的体积。
19．如图，正三棱锥中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点。求：
(1)的值；
(2)二面角的大小。
20． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。
(1)证明：；
(2)若，，求△ABC的面积。
21．如图，在正三棱柱中，是棱的中点。
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值。
22．如图，某巡逻艇在A处发现正东方向30海里的B处有一艘走私船正沿东偏北
（）的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北
（）的方向直线追去，并在F处拦截.若点F在警戒水域内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截。已知B为的中点。
(1)若，求；
(2)若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值。
高一期中考试 数学 第4页 共6页
高一期中考试 数学 第5页 共7页
答案第8页，共19页
