【备考2023】湖北省十堰市中考数学模拟试卷3（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
【备考2023】湖北省十堰市中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．）
1．若不是负数，则a（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是负数和零 D．不是正数
2．图①是五棱柱形状的几何体，则它的三视图为（ ）
A． B． C． D．
3．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
4．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(-x-y) B．(-x+y)(-x-y) C．(x-y)(-x+y) D．(x-y)2
5．某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩如下，根据表格中的信息判断，下列结论错误的是（ ）
甲班 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙班 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
A．甲班成绩的中位数是9.5分 B．乙班成绩的众数是10分
C．甲班的成绩较整齐 D．乙班成绩的平均数是9分
6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
7．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（ ）
A．30个月 B．25个月 C．36个月 D．24个月
8．如图,，，，是的中点的中点，那么下列结论中不正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
9．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9
②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为
③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数
④2022级浪花数中的所有数之和为0
下列说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，直线与函数的图像交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S随m的变化而变化
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知，，则__________．
12．已知等腰三角形的两边长是 和 ，则它的周长是________________．
13．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟．
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E．已 知∠C＝35°，则∠BAE 的度数为_____°.
15．定义新运算“”规定：则 ___________
16．如图所示，在中，，连接DB，，将绕点A按逆时针方向旋转至，过点作交直线于点E，连接交于点F，若，，则______．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）
18．先化简，再求值：，其中．
19．长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图是大桥的实物图，图是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．结果精确到米参考数据：，，
20．永安市2012年初中毕业升学体育考试每位考生需考三项：50米跑为必考项目，另从立定跳远、实心球、1分钟跳绳和1分钟仰卧起坐中任选两项考试．每位考生可以根据自身条件选择不同的考试方案，如小敏选择的方案是：50米跑---立定跳远---1分钟跳绳
1.每位考生有_____种选择方案；
2. 用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．
（友情提醒：各种方案用a、b、c、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）．
3.将三项考试成绩转化成等级成绩后，某校今年体育考试成绩的统计图如右图所示．则该校学生体育考试成绩的中位数落在 级内
21．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
22．已知：的两条弦相交于点M．
(1)如图1，若，连接．求证：．
(2)如图2，若，在弧BD上取一点E，使，交于点F，连．若，求的大小．
23．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了使捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
24．【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．
【特例分析】（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°．
【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；
【问题解决】（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
25．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的动点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，三个动点都不与点，，重合，连接，，，得到，直接写出周长的最小值．
参考答案：
1．【分析】根据相反数的概念进行判断．
解：若不是负数，那么a一定是负数或零，即a不是正数，
故选D．
【点评】本题考查了相反数的概念． 关键是掌握正数的相反数是负数，负数的相反数就是正数．0的相反数是0，也就是0的相反数是它本身．同时，相反数是它本身的数只有0．
2．【分析】根据图①中五棱柱形状的几何体，分别找到该几何体从正面看，从上面看，从左面看得到视图即可作出选择.
解：观察图①中五棱柱形状的几何体，可知主视图为一个正五边形，左视图为一个矩形里有一条横向的实线，俯视图为左右相邻的4个矩形里有两条纵向的虚线.只有选项符合.
故选：.
【点评】考查简单几何体的三视图，用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图分别是从正面看、从上面看、从左面看得到的平行图形.
3．【分析】根据三角形的外角的性质列式计算即可．
解：∠α=60°-45°
=15°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断即可．
解：A、没有相同项，不能用平方差公式计算；
B、有相同项和相反项，能用平方差公式计算；
C、没有相同项，不能用平方差公式计算；
D、不能用平方差公式计算，
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
5．【分析】根据中位数的定义求出甲队成绩最中间两个数的平均数，即可判断A；根据众数的定义找出乙队成绩出现次数最多的数，即可判断B；根据方差公式分别求出甲、乙两队成绩的方差，再比较大小，即可判断C；根据平均数的定义求出乙队的平均成绩，即可判断D．
解：A、把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则甲队成绩的中位数是9.5分，故本选项结论正确，不符合题意；
B、乙队成绩中10分出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分，故本选项结论正确，不符合题意；
C、甲队的平均成绩是：×（7×2+8+9×2+10×5）=9，
则甲队的方差是：×[2×（7-9）2+（8-9）2+2×（9-9）2+5×（10-9）2]=1.4，
乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）=9，
则乙队的方差是：×[4×（10-9）2+2×（8-9）2+（7-9）2+3×（9-9）2]=1，
∵1.4＞1，即甲队成绩的方差＞乙队成绩的方差，
∴乙队的成绩较整齐，
故本选项结论错误，符合题意；
D、乙队的平均成绩是9分，故本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了方差，用到的知识点是方差、平均数、中位数和众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．
7．【分析】设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成这项工程需要30个月．
故选：A
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8．【分析】已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC全等，可根据这个条件进行判断．
解：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，
∴AD=BC；
又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，
∴Rt△EAD≌Rt△ABC，
∴DE=AC；
又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，
∴∠EAF=∠ADE；
故A、B、D的结论都正确；
Rt△CAB中，AB=2BC，而不是AC=2BC（含30度角的直角三角形，直角边等于斜边的一半），所以∠CAB≠30°，因此C的结论是错误的；
故选C．
【点评】此题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于掌握各性质定义．
9．【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”，进行一一判断即可
解：①∵12，3，a为三级浪花数，
∴a+12=3，
解得：a=-9，
故①正确；
②设这四级浪花数分别为1，x+1，x，-1，
则其积为：，
当x=时，其积最大值为，
所以这列数的积的最大值不可能为，
故②错误；
③设任意组100级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
由题意得这一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……
可以看出每六个数一次循环，
36÷6=6，所以第36个数为x-y，
63÷6=10余3，所以第63个数为y-x，
所以第36个数和第63个数一定互为相反数，
故③正确；
④2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
则一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……，
可以看出每六个数一次循环，
这六个数的和为：x+y+y-x-x-y+x-y=0，且2022÷6=337，
所以2022级浪花数中的所有数之和为0
由④正确；
故选：C
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．
10．【分析】根据反比例函数图象的对称性求出四边形ODCE的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出△AOD和△OBE的面积，从而得解．
解：如图
∵直线y=mx与函数的图象交于A、B两点，
∴点A、B关于点O对称，
∴四边形ODCE的面积=2，
△AOD的面积=×2=1，
△OBE的面积=×2=1，
∴△ABC的面积S=2+1+1=4是定值．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数的中心对称性，熟记过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
11．【分析】观察两个等式，①+2×②即可求出结论．
解：∵4a-3b3=7①，3a+2b3=9②，
∴①+2×②得
10a+b3=7+2×9=25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了解方程组的运用，整式加减的运用、解题的关键是掌握数学整体思想的运用及求代数式的值．
12．【分析】没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当6为腰长时，边长分别为：6，6，8， 6+6=12>8，故能组成三角形，故周长为6+6+8=20；
当8为腰长时，边长分别为：6，8，8， 8+6=14>8，故能组成三角形，故周长为8+8+6=22；
故答案为20或22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，同时需要验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
13．【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【点评】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
14．【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，继而求得∠EAC =∠C=35°，然后由在Rt△ABC中，∠B=90°，即可求得∠BAC的度数，继而求得答案．
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C=35°，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠BAC=90°-∠C=55°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=20°．
故答案为20．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果．
解：根据题中的新定义得：3 （-1）=×32-4×3×（-1）=-3+12=9，
故答案为9．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．【分析】根据旋转的性质可得，进而根据等边对等角可得，由，可得，则，又，可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据等角对等边可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，则，根据三角形内角和定理证明，进而勾股定理即可求得，进而求得．
解：如图，过点作于点，设交于点,
将绕点A按逆时针方向旋转至，
，
，
四边形是平行四边形
，
，
，
又，
，
，
，
，
又
在与中，
的中点，连接
则，，
设，，
即
四边形是平行四边形，
旋转
在中，
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，求得是解题的关键．
17．【分析】（1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再计算即可得到答案；
（2）先分别计算乘方运算，算术平方根，绝对值，再进行加减运算即可．
解：（1）
（2）
【点评】本题考查的是有理数的加减运算，有理数的乘方，算术平方根，绝对值的含义，掌握以上知识是解题的关键．
18．【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入即可；
解：原式
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键
19．【分析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可解答．
解：在中，，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴大桥立柱的高约为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．【分析】（1）由从立定跳远、实心球、1分钟跳绳和1分钟仰卧起坐中任选两项考试，利用列举法，可求得每位考生有几种选择方案；
（2）首先用a，b，c，d，e，f分别表示6种选择方案，然后列表，由表格求得所有等可能结果与小明与小刚选择同种方案的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由中位数的定义，即可求得答案．
解：（1）用1，2，3，4，分别表示立定跳远、实心球、1分钟跳绳和1分钟仰卧起坐，
则每位考生的选择方案有：12，13，14，23，24，34共6种情况；
故答案为6；
（2）用a，b，c，d，e，f分别表示6种选择方案，
列表得：
a b c d e f
A （a，a） （b，a） （c，a） （d，a） （e，a） （f，a）
B （a，b） （b，b） （c，b） （d，b） （e，b） （f，b）
C （a，c） （b，c） （c，c） （d，c） （e，c） （f，c）
D （a，d） （b，d） （c，d） （d，d） （e，d） （f，d）
E （a，e） （b，e） （c，e） （d，e） （e，e） （f，e）
f （a，f） （b，f） （c，f） （d，f） （e，f） （f，f）
∵共有36种等可能的结果，小明与小刚选择同种方案的有6种情况，
∴小明与小刚选择同种方案的概率为：；
（3）∵A级为39%，B即为36%，
∴由中位数的定义可得：该校学生体育考试成绩的中位数在B级内．
故答案为B．
【点评】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率、扇形统计图以及中位数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握树状图法和列表法求概率.
21．【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．
22．【分析】（1）连接，通过证明即可进行证明；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再求出的度数，最后根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，即可求解．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，都为弦所对的圆周角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【点评】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质，同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等．
23．【分析】（1）根据“销售单价每上涨元，每天销量减少个结合当销售单价定为元时，每天可售出个即可表示出与之间的函数关系式；
（2）根据题意表示出每天销售纪念品获得的利润w，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据利润不低于元列出一元二次方程求解即可．
（1）解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元．
（3）由题意可得：，
解得：，
∴当时，，
又，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是．
【点评】此题考查了二次函数应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．
24．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，证明AF＝CP，利用旋转的旋转证明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，从而可得结论，
（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，再证明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性质可得答案，
（3）分情况讨论：当P在CB的延长线上时，证明△APC≌△QPC，利用等边三角形的性质可得答案，当P在BC的延长线上时，连接AQ，利用等边三角形的性质，证明△ACQ≌△PCQ，从而可得答案．
解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵PF∥AC，
∴∠BPF＝∠BFP＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，
∴AF＝CP，
由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，
∴∠QPC＝45°﹣∠APF，
又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，
∴∠PAF＝∠QPC，
∴△APF≌△PQC，
∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
故答案为：△PQC，90；
（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CP，
又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，
∴∠FAP＝∠CPQ，
由旋转可得，PA＝PQ，
∴△AFP≌△PCQ，
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴△ABC∽△FBP，
∴，
∴
（3）如图，当P在CB的延长线上时，
∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠APC＝∠QPC，
又∵AP＝QP，PC＝PC，
∴△APC≌△QPC，
∴CQ＝AC，
又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，
∴QC＝AC＝BC＝2；
如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，
由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，
又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，
∴∠CAP＝∠APA，
∴AC＝PC，
∴△ACQ≌△PCQ，
∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，
∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．
综上所述，线段CQ的长为2或8．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．
25．【分析】（1）利用抛物线的对称轴为x=-1，求出b的值，再把b的值和C的坐标代入计算即可；
（2）作PE⊥x轴于点E，利用相似三角形的判定方法可证得△PEB∽△BOC，设，则，BE=2-m，再分别讨论P的位置列式求解即可；
（3）作Q点关于AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2，连接Q1Q2与AC于G1，与CB交于点H1，连接QQ1交AC于J，连接QQ2交CB于K，此时△QG1H1的周长最小，这个最小值=QQ2，再证明Q1Q2=2JK，JK最小时，△QGH周长最小，利用图2证明当点Q与点O重合时JK最小，在图3中利用相似三角形的性质求出JK的最小值即可解决问题．
解：（1）∵抛物线对称轴为，∴，∴，
将代入中，∴，∴．
（2）如图1中，作轴于点．
∵，，∴，
∴（此处也可以由等角的正切值相等得到），
设，则，，
①当点在轴上方时：，解得，（不符题意，舍），
②当点在轴下方时：，解得，（不符题意，舍），
∴或．
（3）作点关于的对称点，作关于的对称点，连接与于，与交于点，连接交于，连接交于，此时的周长最小，这个最小值．
∵，，∴，∴当最小时，最小，如图2中：
∵，
∴、、、四点共圆，线段就是圆的直径，是弦，
∵是定值，∴直径最小时，弦最小，
∴当点与点重合时，最小，此时最小，如图3中：
∵在中，，，，∴，
∵，，，
∵，，∴，∴，
∴，
∵，，∴，∴，
∴，同理可得：，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴周长的最小值．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数，相似三角形的判断与性质，圆的性质，勾股定理，中位线，三角函数等知识点，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)