【备考2023】湖北省十堰市中考数学模拟试卷2（含解析）

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【备考2023】湖北省十堰市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．）
1．下面几组数中,不相等的是(　　)
A．﹣3和+(﹣3) B．﹣5和﹣(+5) C．﹣7和﹣(﹣7) D．+2和|﹣2|
2．下列命题中，真命题的个数有（ ）
（1）内错角相等；（2）两个无理数的差还是无理数；（3）立方根等于它本身的数有两个，是0和1；（4）实数与数轴上的点是一一对应的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用全面调查的方式
B．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3
C．某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖
D．若甲组数据的方差s甲2＝0.1，乙组数据的方差s乙2＝0.2，则乙组数据比甲组数据稳定
6．一艘轮船顺水航行40km所用的时间与逆水航行30km所用的时间相同，若水流速度为3 km/h，求轮船在静水中的速度.设轮船在静水中的速度为xkm /h，根据题意列方程得（）
A． B． C． D．
7．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
9．观察下列式:
……
根据你发现的规律，则第10个等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．四川芦山发生7.0级地震后，一周之内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨．将15810用科学记数法表示为_____．
12．因式分解：_______________．
13．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是_______．
14．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是_____cm2．
15．如图，在等边三角形中，，，分别为边和上的点，连接，将沿折叠得到．若点始终落在边上，则线段的取值范围为___________．
16．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式_________________.（不写函数定义域）．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．计算：
18．计算：
（1）；
（2）．
19．若关于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)．判断(a＋b)2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
20．为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89
教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100
教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表
统计量 改进前 改进后
平均数 88 88
中位数
众数 98
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表、、的值；
（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由．（至少写2条理由）；
（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？
21．如图1，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于E．
（1）求证：E为AC的中点；
（2）如图2，过点D作QD⊥AB交BC的延长线于Q，过点E作EP⊥AC交CB的延长线于P，连AP、AQ．若PQ＝12，AP+AQ＝20，求DE的长．
22．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OB，OC是x2﹣12x+32＝0的两根，OC>OA，
（1）求B点的坐标．
（2）把ABC沿AC对折，点B落在点处，线段与x轴交于点D，在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23．某公司开发一种新产品，计划投入当地市场销售15个周期，经过市场调研及前两个周期的销售发现：销售总收入（万元）与销售周期之间满足函数关系式：前两个周期的销售总收入情况如下：
销售周期（个） 第1个周期 第2个周期
销售总收入（万元） 19 36
(1)求、的值．
(2)若开发这种新产品的总成本为60万元，问销售第几个周期时，销售总利润最大？最大是多少？
(3)当单个周期销售收入小于5万元时，该公司开始准备推出另一种产品，问该公司应在第几个销售周期开始推出新产品？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）
（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______；
（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；
（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．
25．如图，抛物线与x轴分别交于点 A(-2，0)，B(4，0)，与轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)动点P、Q以相同的速度从点O同时出发，分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点P作轴的垂线，交抛物线于点E．
①过点E作EM⊥BC于点M，连接BE，CE，PM，QM，设 BPM的面积为， CQM的面积为，当PE将 BCE的面积分成1:3两部分时，求出的值；
②连接CP，DQ，求出CP+DQ的最小值．
参考答案：
1．【分析】根据有理数的符号法则以及绝对值的性质，把各数进行化简计算，最后得出结论．
解：A. 3和+( 3)都等于-3，故它们相等；
B. 5和 (+5)都等于 5，故它们相等；
C. 7和 ( 7)互为相反数，故它们不相等；
D. +2和| 2都等于2，故它们相等，
故选C.
【点评】此题考查相反数，绝对值，解题关键在于掌握其性质定义.
2．【分析】根据内错角定义，无理数的意义，立方根的意义，实数与数轴的关系可得答案．
解：（1）内错角不一定相等，故原命题是假命题；
（2）两个无理数的差可能是无理数、也可能是有理数，故原命题是假命题；
（3）立方根等于它本身的数有三个，是0，1和-1，故原命题是假命题；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题是真命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质、定理等知识．
3．【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可
解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形，则立体图形的主视图是，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知从正面看得到的图形是主视图．
4．【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，逐项判断即可求解．
解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可．
解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；
C、某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票可能会中奖，不符合题意；
D、若甲组数据的方差s甲2＝0.1，乙组数据的方差s乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．【分析】根据关键语句“轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同．”列出方程即可．
解：设轮船在静水中的速度为，则顺水速度为km/h，逆水速度为(km/h，
由题意得：
故选：B．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
7．【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO=AB h=AO BO sin∠AOB可得答案．
解：由题意可知，AB=2，AO=，BO=，
∵S△ABO=AB h=AO BO sin∠AOB，
∴×2×2=×2×2×sin∠AOB，
∴sin∠AOB=，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
8．【分析】设正六边形的中心是，一边是，过作于，在直角中，根据三角函数即可求得边长，从而求出周长．
解：如图，
在中，，，
；
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．
9．【分析】先根据所给的等式分析出第n个等式左边为n-，右边为，根据此规律即可求得答案.
解：=，
=，
=，
=，
…
第n个等式为：n-=，
所以第10个等式为，即，
故选C.
【点评】本题考查了规律型——数字的变化类，认真分析，找到存在的规律，然后运用发现的规律解决问题是关键.
10．【分析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
解：设数据的平均数为m，则①，
，
整理得②，
把①代入②，得：，
化简得
解得：x=-2或5.5．
故选A．
【点评】本题主要考查的是方差公式，平均数公式，以及一元二次方程的解法，方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将15810用科学记数法表示为：1.581×104．
故答案为1.581×104．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．
解：原式=x3（y2-1）=x3（y+1）（y-1），
故答案为x3（y+1）（y-1）．
【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．
13．【分析】求出方程的解得到x的值，利用三角形的三边关系判断即可得到结果．
解：x2-12x+36=0，
因式分解得：（x-6）2=0，
解得：x1=x2=6，
当x=6时，三角形三边长为6，6，8，
则周长为20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
14．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．
解：S扇形OAB=，
S阴影=S扇形OAB=×π=π．
故答案为
【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．
15．【分析】当A点与F点重合，D点与E点重合时，此时DE最大；当点F在BC上且DE∥BC时，此时DE最短，结合等边三角形的性质和中位线定理求解，从而确定DE的取值范围．
解：当A点与F点重合，D点与E点重合时，此时DE最大
由折叠性质可得，此时DE⊥AB，∠AED=∠BED=30°
∵在等边三角形中，，
∴BD=3，DE=
当点F在BC上且DE∥BC时，此时DE最短
由折叠性质可得此时DE为△ABC的中位线
∴DE=3
∴线段的取值范围为
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°的直角三角形性质以及三角形中位线定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
16．【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式．
解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H，
根据题意，，即，
解得，
∵在中，AD⊥AB，E为BD中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
即有，整理得．
∴y与x之间的函数解析式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法．
17．【分析】化简绝对值，运用负指数幂，0次幂的公式及特殊角的三角函数值计算即可．
解：原式．
【点评】本题主要考查绝对值的化简，负指数幂，0次幂的计算，特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，能够熟练运用公式是解题关键．
18．【分析】（1）先根据积的乘方法则去括号，再根据单项式乘单项式法则以及负整数指数幂法则计算即可；
（2）首先把已知的分式分子分母分解因式，把除法转化为乘法，计算乘法，然后计算分式的减法即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了积的乘方法则，单项式乘单项式法则、负整数指数幂法则以及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
19．【分析】先把原式进行化简，再根据根与系数的关系得到，由一元二次方程跟的判别式大于等于0即可得出结论．
解：(a＋b)2≤4是正确，理由如下：
∵　关于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，即［3(a＋b)2］-4×3×4ab≥0，
即：3(a＋b)2-16ab≥0 ①
　x1、x2为方程的两个实数根，由根与系数的关系得到：
x1＋x2=，x1·x2＝，
∵　x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)，
∴　x12＋x1＋x22＋x2＝x1x2＋x1＋x2＋1，
x12＋x22＝x1x2＋1，
(x1＋x2)2-3x1x2＝1．
∴，
∴，
∴ ②
把②代入①，得
，
∴．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及跟的判别式，根据题意得出关于ab的不等式是解答此题的关键．
20．【分析】（1）根据中位数，众数的定义判断即可；
（2）根据题目中的数据，从中位数，众数的大小可以得出结论；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
解：（1）由教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89，可得改进前中位数；
∵教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100，
∴教学方式改进后抽取的学生成绩按从小到大排列是：70，72，76，82，84，86，86，88，90，93，95，98，100，100，100，
∴改进后的中位数，改进后的众数．
（2）改进后的好．
理由：两个年级的平均成绩一样，从中位数看，改进后的成绩比较好；从众数看改进后的成绩比较好．
（3）估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数（人）
答：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数为140人．
【点评】本题考查平均数，中位数，众数，用样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．【分析】（1）作CF∥AB交DE的延长线于点F，证明△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得到AE＝CE；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到QA＝QB，AP＝CP，求出BC的长，根据三角形中位线定理解答即可．
（1）证明：作CF∥AB交DE的延长线于点F，
则∠A＝∠FCE，
∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AE＝CE，即E为AC的中点；
（2）∵点D为AB的中点，QD⊥AB，
∴QA＝QB，
同理，AP＝CP，
∴BC＝CP+BQ﹣PQ＝AP+AQ﹣PQ＝20﹣12＝8，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝4
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
22．【分析】（1）x2﹣12x+32＝0，解得x1=4，x2=8，OC>OA，故OA=4，OC=8，故B（8，4）．
（2）由对折可知，∠DAC=∠BAC，故∠DAC=∠ACO，AD=CD，设AD=x，则OD=8-x，在中，满足，解得x=5，故D点坐标为（3，0），由平行四边形性质可知P1（3，4），P2（13，4），P3（3，-4）时D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形．
解：（1）x2﹣12x+32＝0，
解得x1=4，x2=8，
∵OC>OA，
∴OA=4，OC=8，
故B点坐标为（8，4）
（2）由对折可知，∠DAC=∠BAC，
又∵四边形OABC为矩形，
∴AB//OC，∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD=CD，
设AD=x，则OD=8-x，
在中，满足有
化简得
解得x=5，
故OD=8-5=3
故D点坐标为（3，0）
由平行四边形性质可知P1（3，4），P2（13，4），P3（3，-4）时D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，求出D点坐标，再根据平行四边形两对边分别平行且相等即可求得P点坐标．
23．【分析】（1）当时，；当时，，代入，即可求解；
（2）根据销售总利润等于销售总收入减去总成本，列出函数关系式，即可求解；
（3）根据本周期销售总收入减去上一周期销售总收入小于5万元，列出不等式，即可求解．
解：（1）由题意可知，当时，；当时，，
即，
解得
（2）设销售总利润为，则，
即，
∴，最大，最大为40万元．
（3）根据题意，得，
整理，得，
解得，
∴在第9个销售周期，该公司开始推出新产品．
【点评】本题考查二元一次方程组、二次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据题意，列出函数表达式和一元一次不等式．
24．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；
（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.
（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得=，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.
解：（1）结论：△ECK是等腰直角三角形．
理由：如图1中，
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∴CA=CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵DK=KB，
∴EK=KB=DK=BD，
∴∠KEB=∠KBE，
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，
∵∠DCB=90°，DK=KB，
∴CK=KB=KD=BD，
∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，
∴△ECK是等腰直角三角形．
（2）如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．
∵∠α=45°，DE⊥AE，
∴∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BG，
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AC=BC，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴CE=CG，∠5=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴CK=EK=KG，
∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK．
（3）结论：BE-AE tanα=2CK．
理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．
，∠ACB=90°，
∠CAE=∠CBG，
在Rt△ACB中，tanα=，
在Rt△ADE中，tanα==，
∴=，
∴△CAE∽△CBG，
∴∠ACE=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴EG=2CK，
∵BE-BG=EG=2CK，
∴BE-DE=2CK，
∴BE-AE tanα=2CK．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
25．【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式即可，则点D坐标可求．
（2）①分三角形的面积之比为，可分析出分线段为，分两种情况讨论，分别求出和，则比值可求．
②转化线段为线段，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的长度就是的最小值．
解：(1)将点A、B代入解析式，得
，
解得，
，
，
∴顶点D(1，-)．
(2)①令，，
∴C(0，-4)，
将的面积分成两部分，
将线段分成两部分，
情况一：如图1所示，
当过靠近点的四等分点时，点的坐标为(1，0)，点E(1，-)，
点Q(0，-1)，
直线的解析式为，
当时，，
点G(1，-3)，
，
，
，
，，
，，
．
情况二：当过靠近点的四等分点时，点P(3，0)，点Q(0，3)，点E(，-)，点G(3，-1)，
，
，
，，
，，
．
综上所述：或．
②如图2所示，
，，，
，
，
，
作点关于轴的对称点D′(-1，-)，
连接，与轴的交点即为点，
．
的最小值为．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转化为线段长度，以及最短路径问题，最后一问将线段转换为线段为解题关键．
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